книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

3.2.

Пространства Х а, ь и Х (іѵ ,

х) основных функций

и сопряженные к ним

мысвпредполагаемп

, что

а, Ь,

с,

На1

протяжениигё г

этой главыЯ п

d

Я 1

и s G '

S 1;

исключение

составляет и. 3.11, где

Я GE

и

заменяются на

и

соответственно.

Пусть

Х а, ъ

обозначает

пространство всех

комплекснозначных

гладких функций

ф (<) на — оо <

t

< оо, для кото­

рых функционал

y h,

определенный

выражением

{yft}£L0; при этом Х а,

ь становится

счетио-мультинормиs

-

ровапным

пространством.

функцияfte-*1

Отметим, что для каждого фиксированногоb.

e~st

X a>b

тогдаs

и только тогда, когдак

s

удов­

ЕЕ Х принадлежита<ь

а

летворяет условию

аRe

s

В b.то же время

GE

для любого положительного целого числа

в том и

только том случае, если

<

Re

<

Л е м м а

3.2.1.

Х а>ь полно и, следовательно, является

Из определения (1)

видно,

пространством Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

что {фѵ}^!

является последовательностью Коши

тогда

и

только тогда,

когда каждая функция фѵ принадлежит

X atb

и для любого

к

яаіЬ(і)

D h'(

(t)

фиксированного ѵ —функции

t

pv

образуют

равномерно

сходящуюся

на — оо <;

<

оо

последовательность Коши при

оо

. В этом случае из

известной

теоремы

следует,

у

что существует такая глад­

кая функция

ф (f),

для

которой 2)*фѵ (0

—>D kcp (і)

при

любых

к

и

t,

когда ѵ ->

оо. Более

того, для любого б ]>

О

найдется такое

N к,

что для[фѵ

всех v,

р,

В

N k

|« а ,Ь

( 0 D k

{t) — Фи.

( г ) ]

I <

при всех

t.

[Переходя

к пределу

при

р

—*-

оо,

получаем

D k

t

|к а,Ь (0

фѵ

(0 —

ф ( О Н

< е> — ОО <

<

00

,v > iV h.(2)

Таким образом, при ѵ -> ооt

у к (фѵ — ср) —>- 0

дляt)Dвсехk

кt).

Наконец, вследствие равномерности сходимости и ог­

раниченности на

— оо <

< оо

всех

x 0jb (

фѵ (

существует такая постоянная

С к,

не зависящая от ѵ, что

I х а, ь

(t)

Т)Лсрѵ (

t)

I <

С к

при всех

t.

Поэтому

из (2) вы­

£текаета,ь-

неравенство |

к а<ь

(i)

D k

cp (£)|

C k

+

e,

которое

показывает, что предельная функция ср принадлежит

Применяя лемму

1.6.1,

завершаем

доказательство.

£ а,ъ

обобщенных

функций.

(Отметим,

— пространство

что х П)Ь

(t)

имеет положительную точную нижнюю грань

на каждом

компактном множестве,

и поэтому условие 3

п.2.4 выполнено.)

£ а,ъ

представляет собой

линейное

жения и

умножения

элементов на

комплексное

число.

Мы считаем,

что

пространство

Х а,ь

снабжено обычной

(слабой) топологией. Из теоремы 1.8.3 следует, что

Х а,ь

полно.

а

с

d

Ь,

£ c,d а

Х а>ь,

Если

^

и

^

то

и топология

X Cyd

сильнее

топологии,

индуцированной

на

X Cjd

про­

странством

Х а<ъ.

0Для того чтобы убедиться в этом, заме­

тим сначала,

что

<

я а>ь

(<)

xc,ä

(t)

на — оо < ;

t

< оо.

Поэтому

I К

„ , ь ( ОD* ф (t)

I <

%I c,d (t) D* cp

(t) I,

странством

X c,d.

Рассмотрим, в частности,

П р и м е р

3.2.1. Предположим, что а < с и і < і . Частично

Пусть 3}а,ъ — множество всех функций ср (Д из SSa, , для ко­

торых существуют оба предела lim eal ф (Д

и

lim

eb,cp5 (Д; £Ва,ь

формулой

t

—>+CO

t —*■

00

—

является подпространством £$а,ъ. Определим функционал / па 3)а,ь

</,Ф> =

lim e“(tp (Д +

lim еыср (Д,

ф е

ь.

t > I 00

(—»—СО

Тогда Іі< Д ф > К

2'рп,ь,о (ф) для

всех ф е <©а,ь- Из теоремы Хана —

Банаха (Люстерннк и Соболев [ 1) следует, что на SSa,ь существует

такой линейный функционал Д ,

1что <Д, ф>

= </, ф>

при ф е

âSn,b

и |</і, ф> I

2Та,ь,°

(Ф) Для всех Ф €= 35а<ъ-

Последнее неравенство

показывает,

что Д

S6a,b. Этот элемент не является

пулевым

в

5?а,ь, поскольку <Д,

ф> =

2, если функция ф е

%а,ъ

такова,

что

=

е~ЬІ для t <

— 1

и ф (г) = е~аІ для

t >

1.

Ф (ДПространство 3ic,d является подпространством

69а,ь- Действи­

тельно,

для

ф €= Sßc,d.

еа(ф (Д = е(а_с)( ес'ф (Д.

Если г —» +

оо,

то е(а- с)' —» 0 н ес1 ф (Д — О (1). Таким образом,

lim еа,ф (Д =

0.

Аналогично,

lim еь,ф (Д =

0.

Следовательно,

t-

I —*

< »-{‘ ОО

= (/, ф)

=

0.

—со

имеют

Д, ф>

Поэтому и Д , и нулевой эломент Sßa,b

одно и то же

сужение на 3Sc,d-

действительных чисел {аѵ}^=і и

{öv}^Li, такие, что а ѵ ->

—э - щ + 0

Ьп — z

— 0. Определим

X

w

,

z)

как счетное

иоо

(

объединение

всех

пространств

Х а^ Ьѵ;

таким образом,

X

(

w

,

z) —

U

Х аѵ>

ьѵ,

и последовательность

сходится в

из

пространств

Х аѵ, Ьѵ.

Это

определение

не

зависит

от

выбора {аѵ}

и {&„}.

(Докажите это.)

Функция

tke~si

при­

надлежит

X

іо, z)

для всех

к

=

0,

1,X 2,(іо.,

.z).

.тогда и только

(

тогда,

когда

w < R e s

< ;

%.

Как обычно,

X ' (іо, z)

обозна­

чает пространствою, сопряженное к

Пространства

X

(іо, z)

z)и

X ' (іо,

z)

полны

X(см(и. , по).

1.7 и теорему

1.9.2).

X

(іо,

(Пусть теперь

и

и

ѵ

z. Очевидно,

что

X (и, о)

CZ

X

CZ

іо,

z).

и сходимость

в

влечет

сходимость

в

Поэтому сужение любой обобщенной функции

/(~

X ' (іо, z)

на

X (и, ѵ)

принадлежит

X ' (и, ѵ).

Чуть

позже мы покажем,

что

X '

(w, z)

в действительностиX ' а, ь

яв­

X '

(и,

ляется

подпространством

ѵ).

Отметим, что, как

мы

уже

указывали

ранее,

пространство

а

нельзя

отождествить

с

подпространством

Х

с, d>

если

< ;

с

или

d

Х а>ъ.

X (а, Ъ)

X <(а,Ь.Ъ)

Результаты,

полученные до сих пор, показывают, что

содержится

в

Действительно,

уже,

чем

X 0tb.

Например,

функция,

тождественно

рав­

X

ная 1

для всех

t,

является элементом

Х 0>0.

Однако она не

принадлежит

(0,

0),0

так

как

0не

принадлежит

Х ач,

Ьч

ни

при

каких

а ѵ >

и

.

(Сужениеа, Ь),

любой / е

Х а<ь

на

X ' (а, Ь)

является элемен­

X '

том

X ' (а, Ь).

С

другой стороны,

существуют

элементы

Х а, ь.

которые

определены

не

на

всех

функциях

из

Примером служит функционал

</,

cp)

=

lim

teatcp (t)

(он

определяет

нулевой

со

X '

(а, Ь)).

Читатель

не

элемент

должен путать обозначения

X (а, Ь)

и

Х а> ь,

поскольку

в дальнейшем будут попользоваться оба эти пространства,

так же как и сопряженные к ним.

свойства введенных проХ ­

Перечислим теперь некоторыеX)

странств, па

которые мы будем часто ссылаться.

а, ь,

I.

X

Очевидно,

что

— подпространство

как

так и

(іо,

z)

при

любых значениях

а, b, іо, z;

более того,

сходимость

в

X

влечет

сходимость

в

Х а, ь

иХ

X (іо, z).

из

а,

ь

или

Следовательно,

сужение

любого

элемента

X

'

(іо, z)

на

X

является

элементом

X '

(см.

п.

1.9).

Однако

X

не плотно в

Х а,

ь.

Мы не можем также отож­

дествить

X ' а> ь

с

подпространством

Х'\

действительно,

можно найти

различные

элемепты

Х а,

ь,

сужения

кото­

рых на

X

совпадают.

Это утверждение иллюстрируется

примером 3.2.1 и тем фактом, что 25

содержится в про­

странстве

52c, d, рассмотренном в

том

же

примере.

w

С

другой стороныХ

,с,<2)і

плотно

в 52

(іи, z)

X

для всехd

и

z.

,Действительноа

, пустьЬ,

фw— произвольныйа

элемент из

(

w

z).

Тогда Ф GE

для

некоторых

с >

w

и

•< z.

Выберем

такие

и

что

< ;

<;

с и d ■ < fr <; z.

Мы

докажемф

наше утверждение, построивX

,последовательность,

элементы

которой

принадлежат(t) =

25

и

tкоторая

Xсходится

к

в t52ПіЬ и,

следовательно, в

(

z).

Пусть

функция

X (г) GE 25

такова, что А,

w

|

| <

1

и

(г)

= О

1, для

для

I I

2.

Пусть

также

ѵ )>

1. Мы

можем

написать

Выражение

D k~

t/v

t* [А, (

) — 1] тождественно равно нулю

при

I

t

I

V

II

ограничено постоянной,

не зависящей от

V , при

\t

I

V . Более того, для всех р

-> О, V —> о о .

|( |> Ѵ

I х а, ь (г)

П ’лф (О

I <

| ( | > ѵ с, d \ 4

s u p

Тс, з, |х (ф ) s u p

сходится к пулю на

— о о < г « < о о . Таким образом,

{А,

(і/ѵ)

ф П ) } ^ — искомая последовательность. Утвержде­

ние доказано.

w

X ' (w

X ' w,z

Из теоремы 1.9.1 вытекает теперь, что

, z)

— под­

пространство 25' для всех

и z, поэтому элементы

( )

являются распределениями;

однако это

неверно

относи­

каждой Ф ЕЕ

X

w

такую последовательность

{фѵ}^ і,

(

, z)

что Фѵ 6Е25 для всех ѵ и фѵ-> ф в

X

w

, z) при ѵ -ѵ оо. При

(

этом </, ф> = limw </, фѵ>.

v

Пусть снова

и

и

<5 z.

Мы

уже

отмечали, что

X (и, v) CZ X w

,

z)

и

что

сходимость

Xв

X (и, ѵ)

влечет

(

w

сходимость в

X

w

z).

Так

как 25 d

25 (и, у) и 25

плотно

(

,

в 52 (гу, z), то 52

(н,

у)

также плотно

в

( , z).

Поэтому

ранств Äa,ti­

а

Ъ Х а>ь

l l .

При любом выборе

и

— плотное подпро­

странство

S ,

причем

топология

L a, b

сильнее топологии,

индуцироваипой

на

Х аіЬ

пространством

S .

Действитель­

но, преждеX aib

всегоS ,

очевидноХ а, ъ

,

что

Х а>ь

— подпространствоS .

S .

Более

того,

так

как

25

плотно

в

S

(см. п. 2.3) и

2) d

d

то

также

плотно в

Далее, на­

помним, что полунормы в

S

определяются выражениями

к, и

(Ф) =

sup I

(t)

I,

ф GE

S ,

Т

ten

Та, Ь, к (ф) > sup I %а, Ъ(0

р (t) | >

С SUp | D kф (t) | =

Сф/с, к (ф)-

Наше

/е/с

te/c

топологий

утверждение

S

относительно

сравнения

пространств

Х а>ь

и

следует теперь из леммы

1.6.3.

w

Мы

можем на

основании

сказанного заключить, что

X

(w

, z) — плотное подпространство

S

при любом выборе

и z и что

сходимость в

X w

, z)

влечет

сходимость в

S .

(

Поэтому из

теорем 1.8.2 и 1.9.1 вытекает, что, независимо

от выбора a,

b, w

и z,

S'

— подпространство

X ' а, ъ

и

X

w,z

(

).

III .

Для

любой

обобщенной

функции / еЕ Ж а,ь

су­

ществуют положительная

постоянная

С

и неотрицатель­

ное целое число г,

такие,

Счто при всех ф е Ж „ іЬ

|< / , Ф > | <

ш а х Ч а . Ь . к і Ф).

ремы

1

8 1

.

а

а

b

Х а,ь

Х а,а,

.

.

^

сужение / Q

на

как

IV .

При

показано

выше,

принадлежит

Х а<а.

Справедливо и

об­

ратное

утверждение.

Предположим,

что

функционал /

является

одновременно элементом

Х а, а

и

Хъ,

ь

при

</>Ф> =

</. ЭД>>

+ </, (1 — Я)ф>, ф

Х а, ь.

(4)

Правая часть имеет смысл, так как

и

(1

— Я)ф G

е

Х ,„ ь

приф E

Ä a,j.

на

Х а, ъ,

очевидпо,

линейно.

Для

Это расшпренпе /

того чтобы доказать непрерывность,

воспользуемся

свой­

ством

III . Существуют

постояпная

С

и неотрицательное

целое число

г,

для которых

Заметим,

что к а, пКа% O

'1" 15

Я, — функция, ограниченная

па

— оо ■ <

—>-

оо. Следовательно, </,0Хфѵ>—>- 0 при ѵ Х

с»,

если

ф ѵ

0 в

X 0tb.

Аналогично,

</,

(1

— Л)фѵ>—>-0

при V

оо,

и поэтому

</, ф ѵ>-> ,

если г|зѵ — О в

а>ь.

Таким

образом, определение (4) действительно расширяет

Х а,ь

имеющие

одинаковые сужения

на Х а>а (J

X btb.

Мы можем сформулировать полученные результаты

следующим образом.

Пусть

принадлежит

одновре­

Л е м м а

3.

2.

2.

/

менно Х а, а и Хъ,ь при а

Ъ.

Тогда

существует единст­

венный

элемент Х а,ь,

сужение

которого на X а, а

Х ь, ь

<

совпадает с X . Если обозначить этот элемент также сим­

волом

/,

то его значения на X 0}Ь даются формулой

(J

где

X

{t)

(4),

выбирается указанным выше способом.

функция,

V .

Если

/t

— локально(t)интегрируемая

причем

отношение

/ (

0

/ х а,ь

(t)

абсолютно

интегри-

руемона — оо < ;

<

оо,

то

/

порождает

элемент

пространства

£ п,ь

посредством

определения

00

(5)

</.

ф

>

=

5 /(0 ф(г)^>

ф еійа, Ь-

Л

— со

Действительно,

соотношение

со

со

I </, ф> I =

I ^

к

«а, і>(*) Ф (0 d t

показывает, что (5) определяет функционал па Х а, ъ. Этот

функционал,

очевидно, линеен.

Кроме того, если {cpv}JLi

сходится в Ж а, ь к нулю, то у

0

(срѵ)

0

<

/,фѵ>Н-

, так что |

0.

Поэтому из леммы 1.8.2

следует,

что /

непрерывен

на

Х а,ь ■

Элементы

Х а, ь,

порожденные

обычными

функ­

циями

указанного

типа,

называются

регулярными

(см.

п.

2.4).

t)

а,ъ {t)

Аналогично, если /t(

— локально

интегрируемая

функция,

такая,

что

отношение

/ ( г )/ к

абсолютно

интегрируемо на — оо < ;

<

оо

при любом выборе

а

и

Ь,

удовлетворяющем условию

w

<

а

и

Ъ

<

z,

то / порождает

регулярный элемент пространства

X '

(w

, z);

этот

элемент

определяется

еформулой~аІ (t)

(5),

где

теперь

X

w

, z).

f

ф £t<C.Е

(

Указанное условие

на

(t)

/ х а, ъ (t)

будет

выполнено,

w

если функция

а

/

ограничена на — оо < ;

°°

при

любом выборе б из

интервала

<

o' <С z.

Действитель­

но,

при любых

^>

w

и

b

<

z

найдутся такие а'

и

Ъ',

что

іу < а'

<

а и

b < . Ъ' < . z.

Поэтому

абсолютная интегри­

0

руемость функции / (

/х а,ь

(0

на

— оо

<

t

< ;

оо

следует

0\ I e-0'/ (t) I di

=

§ ef“'-0)'0

sup

I e~a4f

(t)

П

dt

«

'| << “ oo

о

0

sup

|

| <[ o o .

\ \e~blf(t)\dt

=

e&'-W dt

e~b'lf (t)

З а д а ч а

3.2.1.

\

Пусть / — элемент 5?' (w, г),

сосредоточенный

на

некотором

полуинтервале

Т ^

t ■ <

где

Т

конечно.

Пусть

=

0 при —

<; f <

Т — 2

Я, (t) — гладкая функция, такая, что Я (t) оо,

функционал

/е

и

Я (t) =

1

при

Т — 1 <

t <

Определим

оо

на 5? (U , оо)

формулой

</е, Ф>

—

</, мр>.

(Это

возможно,

по-

оо.

скольку7 (1 — Я) ф =

0 на Т — 1 <

t < со, так что </, (1 — Я) ф> =

=

0

при

ф

6

Е S6{w,

2

).)

Доказать,

что

/е

является элементом

5?'(ш,

оо).

З а д а ч а

3.2.2.

Пусть

/ (і) — обычная

фупкцпя, причем

/ (<)

=

x_j г (/)•

Показать, что соотпетстпуіощап регулярная обоб­

щенная функция принадлежит SS'(—

,

), но не принадлежит SB-i,i-

Построить

регулярную

обобщенную

функцию,

принадлежащую

1

1

— 1 и

Х ' _ г lt

но не являющуюся элементом SB'a,b ирн любых а <

6

З а д а ч а

3.2.3. Доказать, что

определение

пространства

SB>(wІ,. z) не

зависят

от выбора

монотонных

последовательностей

З а

И

{

Ѵ}“=1,

где аѵ -»

ш +

0

и

> г — 0.

SBa,b

а

3.2.4. Доказать, что 3) не- плотно в

К } “

і

д а ч6

З а д а ч а

3.2.5. Пусть d? — пространство быстро убывающих

основных функции,

описанное в задаче 1.6.4, причем I

6

Е Oft}-

Пока­

зать,

что Х а,ь С d?

и что топология SBa,b сильнее

инду­

цированной на Sßa,(, пространством dp,

топологии,

тогда и только тогда,

когда

а >

0 и Ь <

0.

Показать также, что SB (ш, z) С

d? и

что сходимость

в X

(ш, z) влечет сходимость в (S’

в том н только в том случае,

если

w ^

0 и z ^

0.

Что можно сказать на основания этих результатов

Мы будем называть /

обобщенной функцией

,

преобразуемой

d

по Лапласу

, если

она обладает следующими свойствами:

1

2) / — функционал в некоторой области

0

(/) обычных0

функций;

d

0

0

и ср

+

—

3) 5/£аддитивенa<b a d

в том смысле, что если ср,

элементы

а(/),,

то

</,

+ ср>

=

</,

; + </, ср>;

)

b

(/)

хотя бы для одной

пары

действитель­

ных чисел

при

а

<

Ь;

£ Cti

d

4) для

любого

пространства

d

(/) сужение / на

£ 0,d

принадлежит

£'c,d.

Л 1,

Для каждой такой обобщенной функции / существует

единственное множество А/ в

определенное следую­

щим образом: аточка,

о

принадлежит

А/ тогда и

только

тогда, когда существуют два действительные числа

аа

и

Ьа,

зависящие от

для которых

а0

<

о <

Ьа

и

£ аа> b(j

d

d

(/).

тельно,

Af

— открытое множество2 .

Пусть

Оі — нижняя

и (Г, — верхняя точные грани

А/.

а1

—2 оо

и о = + оо

допускаются. Вы­

Значения d v =

берем две

такие

последовательности {сѵ}

и {dv},

что

сѵ

(Ti +

0,

cr — 0, cv, dv e A , .

Из

условия

4)

и

абзаца

перед

примером

3.2.1

вытекает

тогда,

что

/ ЕЕ Жсѵ,сѵ

и / ЕЕ 52(Ь,,іѵ для всех ѵ. Далее, выберем Д как

в

свойстве IV

п. 3.2, и

используем

уравнение

(4)

п.

3.2

для расширения / на все

5JCv(dv н,

следовательно,

на

X

(о-!,

ст2).

Расширенный

функционал Д

определяется па

53 (от,

ст2)

выражением

+

</.

(1

— ^)ф>.

X (t)—

</і> Ф> = </.

Я 1,

где А, Д) — такая фиксированная гладкаяXфункция на

что

0 при

t

< — 1 и

X {t)

=

1

при

t

Д> 1. Согласно

лемме 3.2.2

Д непрерывен и линеен

на

(цх, сг2)-

Более

того,

если

ср

принадлежит

одновременно

и

d

(/),

н

X

{(Ух,

а2),

то значение

<Д,

ср>, принимаемое этим расши­

рением/,

совпадает с </,

ср>. Действительно, по данному ср

найдется

некоторое ѵ,

для

которого

Алр еЕ ЖСѵ,Сч CI

d

(/)

и (1 —

X)

cp

€Е 5S<jv>c/v d

<2

(/); поэтому согласно свойству ад­

fxс </,

dср>.

X

{(Ух,

принадлежитрасширен до функционалаX '

{А) Следовательносужение fx на, / можетX {ах, быть

{В)на

(/) U

Д

ста), имеющего следующие два свойства:

сужение

на d

(/)

сг2)

/.

(сті, сг2);

совпадает с

зуемойобозначатьпо Лапласучерез /.

обобщеннойПриняв это функциисоглашениесоответствует, мы можем

единственныйсформулироватьинтервалследующий (Урезультат2), такой :,

Каждой преобра­

что

ЕЕ Х'{(Ух,(У^),

причем

ф. X '

{w, z),

ctj

либо

2

{точ­

X {сгх, а/

если либо w

<

а1,

z Д> сг

нее, функционал

линейное сужение на

имеет(непрерывное,

/

<С

2) и не определен на X

{w, z),

если либо w

(Уг

либо z

<у2).

/

общеннаяДля иллюстрациифункция, определеннаясказанноготолькорассмотримна Xo,i

(J Хг,з

и

не

П р и м е р

3.3.1.

Пусть

/ — преобразуемая по

Лапласу

об­

определенная в остальных случаях.

Тогда A f

представляет

собой

объединение интервалов (0, 1) и (2,

3). С другой стороны, соответ­

ствующая

обобщенная

функция /х

является

элементом X ' ( , 3),

по не определена на X

{ю,

г), если ш <

0 или а >

3. В

дальнейшем,

0

применяя

преобразование

Лапласа,

мы

будем

неявно расширять

/ до fx, продолжая,

однако,

использовать символ /.