книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

З а д а ч а

1.5.1.

Допустим,

что ylt

■ • •. Тп — полунормы на

линейном

пространстве

V .

Показать,

что

yt +

. . . +

уп

и

m a x llj, .

. ., уп] являются полунормами на V

. Далее,

предположив

дополнительно,

что

yt —

норма,

показать,

что

ух +

. . . +

уп

11

max [yt,

. . .,

у„] — также

нормы на V .

пространство н у

—

З а д а ч а

1.5.2.

Пусть

V

— лннейиое

норма на V . Будем говорить,

что последовательность {фѵ} в V

схо­

=1

S

и произ­

конечного подмножества {у„ }к множества

вольных положительпых чисел

е2,...,

еп

шар с центром

в

ф, где ф — фиксированная

точка

в

Ѵ ',

определяется

как множество всех tp, для которых1

2

п.

Ъп

(ф — Ф) <

к =

,

, . . . ,

Ясно, что пересечение двух шаров с центрами в одной и

той же точке ф —также шар с центром в ф.

Окрестностью в

Ѵ'

называется любое множество в

V ,

содержащее шар, а

окрестностью элемента

ф ЕЕ

V 1

называется любое мно­

жество, содержащее шар с центром в ф. Окрестностьтопона­­

логиейчала координат 0 называетсяV .

окрестностью нуля.

Се­

мы будем называть

мейство всех окрестностей в

но

будет

рассматривать

толькоу

окрестности

нуля. Ана­

логичноеУ

замечание относитсяу,

и к шарам в

І? .

Если

две полунормы

и

р эквивалентны, то шар

{ф ■'

(ф) ^ е} порожденный

содержит шар {ср : р (ф) ^

ö}, порожденный р, и наоборот. Таким

образом, ок­

ми, совпадают.

S

отделяющим

называется ли­

Мулътинормированным пространством

нейное

пространство,

имеющее топологию, порожден­

ную мультинормой

(т. е.

V

семейством полу­

норм);

если

S

счетна,

то

называется

счетно-мулъти-

нормированным пространством

(обратите внимание на то,

что счетной является мультинорма,

а не

пространство;

само пространство

не обязательно

счетно).

W

В мультинормированном

пространстве

пересече­

Ѵ*

ние всех окрестностей данного элемента ср е=

не содер­

жит никаких элементов, отличных

оту ф.

Действительно,

если Ѳ Е

W

также

содержится в

любой окрестности ф,

то для любых е

О и у е 5

имеем

(ф — Ѳ)

е. Сле­

довательно,

у (ф — Ѳ)

= 0 .

Но

S

мультинорма ■Ѵ' отде­

ляет 2^, поэтому ф = Ѳ.

пространстве

зада­

Пусть в мультинормированном

ность {фѵ}ѵ°°=і,

начиная

с некоторого

номера,

принадле­

жит2

2

N ,

что фѵ

£2

при

£ , если существует такое число

ge

V >

N .

Последовательность {фѵ} называется

сходящейся

в

^

сходящейся),

если все фѵ принадлежат

W

(или просто£2

и

существует такой

элемент ф £Е

Ѵ',

что

для

любой

окрестности

элемента ф последовательность

{фѵ},

начи­

пределом

последовательности. Мы будет говорить, что

вается2

—у

{фѵ} сходится

в f

к ф и записывать это в виде «фѵ

- у

ф

в ^ при V

оо

»

или «Ііш фѵ = ф в

Ѵ ь .

Как

обычно, ряд 2 ф„ называется сходящимся в

V ,

=1

ѵ

схо-

если последовательность частичных сумм

дится в

Ѵ'.

направленноесходитсямножествов 'p'

{фѵ} ѵ—а,а.гДе числовой индексѵ

стремится к некоторому

пределу

Мы будем говорить,

что {фѵ} ѵ-»а

к пределу ф, если любая после­

>а.

Пустъ

V

мулътинормированное

пространство

с

мультинормой

S .

Последовательность

к ф при ѵЛ. —

—

Л е м м а

1.6.1.

сходится в V

к пределу

ф

тогда и только тогда,

когда

для

каоісдиго

у Er. S

при

—у оо-

Предел

единствен.

{фѵ}^ і

ф

ѵ

В

у(ф — фѵ) — 0

По

определению

сходящей­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ся последовательности, фѵ ->

ф в У

В .

только в том случае,

если для

любого

шара

с центром ф последовательностьу S

{фѵ}, начиная с некоторого номера, принадлежит

Но

это каку

раз Sи означает, что для любой полунормы

ЕЕ

у(ф — фѵ) — 0

при V

о о . Обратно, предположим, что для

любой

у(ф — фѵ)

0

при V

о о .

Так как любая окрестность элемента ф содержит шар

с центром в ф, то отсюда вытекает,

что { ф ,} ^ , начиная

ІУ .

с некоторого номера, содержится в любой окрестности ф.

Следовательно, фѵ —>- ф в

Для того чтобы доказать единственность предела, пред­

положим,

что

существуют два

различных предела ф и

S

{фѵ}^=і- Тогда для любой полунор­

0 последовательности

мы у £Е

О

У (ф — 0) < У (ф — Фѵ) + 7 (фѵ — Ѳ)

при V

—

> -

V ,

у

(ф —

Ѳ)

= 0 . Так как муль­

о о . Следовательно,

тинорма

отделяет

то ф = Ѳ.

что

любое

Используя эту лемму,

нетрудно показать,

венциальной

сходимостью

и

мультинормированными

пространствами, так же как

и между всеми различ­

ными типами пространств,

которые рассматриваются

в этой главе.

точкой прикосно­

Пусть

М

— подмножество мультинормированного про­

странства

элемент ф б У

называется

вения М ,

если любая окрестность <р

имеет

непустое пе­

ресечение с

М .

Множество, получаемое добавлением к

М

всех его точек прикосновения, называется

замыканием М

и обозначается через

М .

Если

М —

то множество

М

называется

плотным

в

Очевидно,

что

М

плотно в

,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточность очевидна,

поэтому обратимся к доказательствуV

необходимости.

Сна­

чала мы покажем, что из счетности мультииормы

S

вы­

текает существование

в

такой

последовательности

шаров с центрами в ср, чтоу

любая

окрестностьу

ср

содержит по крайней мере один из

В к.

Действительно,

семейство всех шаров

вида {ф : (ср — ф)

б}, где

—

произвольная полунорма из

S

и е — произвольное поло­

пересечения

таких шаров содержат другое счетное

мно­

жество шаров, которые и образуют последовательность2

,

имеющую желаемые свойства.

C t --

В г,

Далее,

последовательность

Сшаров3. . .

С =

=

С 1

П

В 2, С 3 — С 2 (] В 3,

. . . имеет то же самые свой­

М

кроме

W ,

ства Си,

того,

гэ Сг ІЭ

Из

того

фактора,

что

к

плотно в

М .вытекает возможность выбора в каж­

дом

ср,

некоторой точки cph

ёЕ

М ,

в частности,

самой точ­

ки

если

ср

Очевидно,

что

последовательность

(срѵ}ѵ==і сходится к ср

и

поэтому имеет нужные свойства.

Лемма доказана.

Коши

в

мультипормпровашіом

Последовательностью

пространстве

W

называется

такая

последовательность

{срѵ}^=х элементов

V ,

что для любойNокрестности Q

нуля

существует

положительное

целое

число

N ,

для

которого

ср« — epp. принадлежит

Q,

если ѵ О

и

р

Аг.

В

этом

случае

мы снова будем говорить, что срѵ — ср1Х, начиная с

некоторого номера, принадлежит Q1 6при1

ѵ

оо и р — оо

независимо друг от друга. Проведя рассуждения, ана­

логичные Wдоказательству

леммы

.

. ,

получим

следую­

щий

результатW

:

{срѵ}

являетсяу 6

последовательностьюS

Коши

в

тогда и

только тогда, когда все ср„ при­

надлежат

И

ДЛЯ

Любого

=

Т (фѵ — ф[П

О,

если ѵ и р стремятся к

бесконечности независимо друг

от друга.

что

любая

сходящаяся

последовательность

Заметим,

в 2^ является последовательностью Коши,

поскольку если

{срѵ}

сходится

к

ф в

f

,

то

ванных пространств2

эти два понятия совпадают (Роберт­

сон А . П . и Робертсон У . [1], стр. 60, предложение 12).

Пусть Г]Rи Г

обозначают в линейном

пространстве

две

топологии,

порожденные двумя различными

муль­

тинормами

=

И

S

=

Говорят, что

Тх,

Т 2,

топология

Тх слабее

топологии

а топология

Т2 сильнее

если

Тто2,

топологии

любая 7\-окрестностьТх являетсяне сильнеев

жеТ

время и ^-окрестностью

(это обычная терминология,

хотя более

точно было бы сказать, что

а

2 не слабее Тг).

Символически мы будем в этом случае

писать

Tx d

Т2.

Т2

Тх

Таким образом,

Тх

в том и только в том случае,

dТ2

если каждый шар в

с центром в нуле (т. е. в начале коор­

динат) содержит шар в

с центром в нуле. Если

Тх

d

Т2

и

Т2

d

Тх,

то

Тх

и

Т2

равны (т. е. семейство окрестностей,

порожденныхТх

мультинормойТ2

R ,

совпадает

с

семейством

окрестностей,

порожденных

мультинормой

S).

сходится в

Если

d

и последовательность

{срѵ}

Т 2,

Т х.

слабееГ к ф вТ2,топологиинеобходимо итодостаточноона сходится, чтобык ф и в

длятопологиилюбой по­

лунормыЛ е м м а

Для того чтобы топология Тх была

1.6.3.существовало

такое конечное множество

бы

р G i ?

у п 6

S ,

что

для

всех

было

полунорм ух,

.

. .,

ф е У

Е

справедливо

неравенство

Р (ф) <

С т а х

{у!

(ф ),

. •

Уп (ф)}

(1)

или

эквивалентное неравенство

. . . +

у п (ф)],

(2)

Р (ф) <

С [ух (ф)

+

*)

Пространством

Фреше (^-пространством) обычно назы­

вают

мѳтризуемоѳ

полное

локально

выпуклое

пространство.

(Прим,

перев.)

А

= {ср: рь (ф) ^

Б/t,

е к

0,

1с —

1,

. . .,

т },

R .

В

си­

где pft обозначают произвольные полунормы из

лу (

1

)

для любого

к

имеем

Pft (ф) <

C h

max Ivi.h (ф), •

•S

м 7n,h (ф)1,

рк

гдееYj)h. ’

обозначают

полунормы

из

и

п

зависит

от

п = п

(pft)).

(т. Положим

SkICu,

І

=

1

, • • •.

п).

Ял =B {ф : Ѵі,й (ф) <

Множества

h

— это

шары

в топологии

Т2

с центрами

в начале координат, причем ph (ф)

eft для всех ф е=

B h.

ТП

Тг

Следовательно, р]

— map в

топологии

с центром

к=і

А .

Ту

Т

в начале2

координат1

, содержащийсяВвк

Поэтому

d

2.

Мы могли бы прийти к тому же результату, исполь­

зуя ( ) вместо ( ) и заменяя шары

шарами

Вк =

{ф: Ѵіщ (ф) <

eh/nCft,

/ =

1

,

...,

я}-

Предположим, что

Ту

d

Т2;

тогда

существует

конеч­

ное число

полунорм у ц . . . ,

е

S и

е

0

такие,

что

,

шар

6

f ,

уі (Ѳ) < в,. . . ,

Уп

( Ѳ )< в}

5 = { 0 :А0.

содержится в

Пусть теперь ф — такой элемент

V

*',

для

которого шах {ух (ф), . . .,

уп (ф)}

Ф 0

положим

;

3

LQ' ______________ ______________

/ }

max (Ti (ф),. . . ,ТП(Ф)}

А ,

w

Тогда 0' принадлежитС — г - 1,

В .

Следовательно, 0' ЕЕ

так что

0

1.

Подставляя

(3) в неравенство р(Ѳ ')<^1 и

р ( ') <

полагая;

получаем

(1).

элемент

ф

таков,

что

С

другой

стороны,

0если

шах {ух (ф ),. • м Уп (ф)} =

,

то при любом положитель-

ном

числе

а

элемент

аср принадлеж ит В , в си л у

чего

Р (ф)

1/а.

О тсю да вытекает

равенство р (ср)

= 0,

поэ­

том у соотнош ения

(1)

и

(2) вы полнены . Л ем м а

д оказана.

П р и м е р

1.6.1.

Определим

для

любого неотрицательного

целого числа к S 31п полунорму Тк на линейном пространстве 3)Кі

введенном в

примере

1.3.1,

формулой

Т*. (Ф) =

sup

I D kf

(0 |,

( р е 8>К .

(4)

Функционал у 0 является

нормой, поэтому множество {Гд} всех Тй

определяет счетную мультпнорму/еяп

на 3)к . Если мы снабдим 3)к то­

пологией, порожденной

{ТйіК то получим счетно-мультпнормпро-

вапное пространство; 3)к

полно в этой топологии (докажите это).

З а д а ч а

1.6.1.

Показать,

что любое мультинормированное

З а д а ч а

1.6.2.

Доказать, что 3)к полно.

З а д а ч а

1.6.3.

Показать, что любая полунорма у опреде­

ленная формулой (1),

задает норму на 3)к .

Тт , к(Ф) = sup I (1 +

I I Г ) D *> (t) I < оо.

т * п

Топология в с!? порождается

миожсством полунорм {Tm,k},

1.3.2,

плотно в S’.

1.7.

Счетные объединения пространств

Пусть

V*

— мультинормировапиое

пространство

и

%

—

S .

линейное подпространство

V .

Пусть на

Ѵ'

задана мульти-

норма

Очевидно, что

S

является мультинормой и на

%.

в

%

мультинормой

S ,

на­

вом Топология, порожденная

зывается

топологией, индуцированной на % пространст­

%,

в %.

V

пли просто

индуцированной топологией

Из

что

окрестности в

сказанного вытекает,

соответствую­

щие

индуцированной

топологии — это

просто

пересе­

%

W.

что

%

линейное

ченияпространствас окрестностямипредположимв

,

Л е м м а 1.7.1.

Пустъ % u ffl

—

мулътинормированные

—

;

Если

сходится в%кц>,

сходится в V и имеет

в V

тот

же самый предел

Кроме

того, если

последовательность{ е р

Коши в %,то{фто„}

она

является последо­

вательностью Коши

также иф.в Ѵ '.

только

{ф„}—

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

докажем

пер­

воеѴутверждение, так как доказательство

второго

анало­

гично. Пусть Q — произвольная

окрестность элемента

ф

в

'.

Пересечение%.

%

Г) Q

определяет

окрестность

ф

в индуцированной

топологии

в

%

и, следовательно, ок­

рестность %ф в

По

предположению,

{фѵ}, начиная

с

некоторого

номера,

принадлежит

%

|~ Q при ѵ->- оо.

Так

как

П ^ CZ £2,

то {фѵ},

начиная с некоторого но­

мера,

принадлежит

Q.

Таким

образом,

{фѵ} сходится

в

V

к ф, что и требовалось доказать.

оо

-

V

Ѵ* — U

Пространство

линейно. Введем схо-

fflmW

т=і

в

следующим

образом: последовательность

димость

Последовательность (фѵ}ѵ^=і называется

последователь­

ностью Коши

в счетном объединении пространств

V ,

если

ІУ-щ.

она является последовательностьюV W

Кошиполнымв одном.

из про­

странствW-m

Кроме того, если все последовательности Ко­

ши

сходятся

в

W*', то

называется

Если все

полны, то в силуV*. леммы 1.7.1 каждая последователь­

ность

Коши

в

сходится к единственному

пределу,

принадлежащему

V 1 =

Таким образом, счетное объединение пространств

=

оо

полно, если все

суть

полные счетио-мультп-

U

т

=1

пространства.

нормированные

Пуст ъѴ'

со

V

счетное

объеди-

Л е м м а 1.7.2.

=

Щ|J=1

1т —

мультинор­

нение пространств и для каждого т

S m

ма на Ѵ'т.

Тогда

последовательность

сходится в V

к

в том и только в том случае, если все

и принадле­

ср

срѵ

—

ср

0

при

для любой полунормы у ЕЕ S m.

жат одному из пространств Ѵ*т

и

{срѵ}

V —>- оо

у (ср — срѵ} —>-

V '

СО

Счетное

объединение пространств

=

1ПU=1

иазы-

оо

,

так

как мы можем положить

Ѵ*™.

= % для

Ѵ' =

\J 'fflm

т.

всех

ін=і

С

другой

ОО

строгое счетное объединение

стороны,

пространств

Г'1У

=

(J 1

2Рт

не

обязательно

будет

счетно-

т=

мультинормированнымS .пространством, даже если топо­

логия каждого из

пространств

Ѵ'т

порождена

одной и

Ѵ ',

той же мультинормой

Действительно, если множество,

состоящее

из

всех элементов

снабдить топологией,

порожденной

мультинормой

S ,

то правило

сходимости в

сходящейся последовательности одному из

будет ут­

рачено.

Каждое счетное объединение пространств является ли­

нейным пространством

с

секвенциальной

сходимостью

(см.

рис. 1.6.1). Действительно, легко

показать,

что

первые пять аксиом

п.

1.4 выполнены.

Кроме того,