книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

отрезка.

Рассмотрим выражение

m

2

1

Применяя / (т)

Ѳ т ( т ) =V = 1 <ГѴ ' П О - ! - -

( )

к (1)

почленно,

получаем

</ (*), Ѳт (т)> =

тп

Т

(sv) ^

->

2 </ (Т),

Г

=1

Ѵ

->

</ (т)> е~"> 'F (s) dcö

при m o o ,

поскольку </ (т), e-ST

5

> ¥

(s)

— непрерывная

функция

со.

а

и

Ь,

что

В качестве следующего шага выберем такие

о1! <

а

<

а <

Ь

< ст2.

Так

как

0

все,

что

/ е= Ж ,ь, то

(х)

Г

осталось доказать — это сходимость Ѳт

к \ e~ST*F (s) dco

в

Х а,ь ■

Д ля

этого

нужно

просто

установить,

что

при

любом фиксированном

к

величина

А (т, т) = ка> ь(т) D £

т

Y

(SV)

-

=

( -

1)* «а, Ь СО 2

ѵ=а

г

sfcg-sTip (s)

da

2

— (— l)fcxa> ь (т) §

( )

стремится к

нулю

равномерно

на

—г

< ; т <

оо

при

— оо

X

I * а , Ь М

I = * а , Ь (т) б " " - > О

при I

I

оо,

так как

а

Т < п < Ь. Поэтому по любому

заданному е

0

можно найти такое достаточно большое

71, что для

всех

| т |

Г

I Х а , Ь (* )

I <-т[[ lsk-fr (s) Id u >] _1•

Так

как

ср

(t) ф

0,

то

правая

часть

конечна

(докажите

это).

Таким образом,

для всех

|

т | >

Т

второе слагаемое

в правой части (2)

меньше е/3. Величина же первого сла­

гаемого ограничена при

|

t

|

Т

выражением

- г [ $r

-1 2,п l ^ T ( s , ) | - ^ .

для

Мы можем выбрать теперь

тп0

настолько большим,тпчто)

всех

m

тп0

последнее

выражение

меньше,

чем

2

3

е/ .

Поэтому для всех |

т |>

Т

и

m

>

m0

имеем |

А

(т,

| < ;

е.

гНаконец.

,

к 0)Ь (т)

sk

e-CTlF (s)

— равномерно

непрерыв­

ная функциятѵ

(т, со) в областитп^>—тп1

\А —(т, гтп)

со

^

Отсюда

и

из

формулы Т(2)

вытекает

существование

такого

что для

всех

оценка

|

<

е

справедлива также и па —

<5 т < ;

Т .

Таким образом,

при

тп

шах

тг)

b,имеемс и г|

А

тп)

,<а;

(m0,Пустъмыа,

действительные(т, | < ; е на

числа— оо

т <а;

оо,

Ъчто;

и требовалосьТогда интегралдоказать.

Л е м м а

3.5.2.

ср

6

■—

<

<

Е 25.

т ) ^е Т° ' 1 dt

4 -

J

Ф (г +

сходится в £ а,ъ к ср (т) при г-*-

оо.

мы

будем

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

дальнейшем

предполагать,

что

г

)>СО

0. Прежде всего,

—Sоо sin rt

Поэтому

нам

достаточно доказать,

что

при всех

к =

0,

1

,

2

, .

. .

функция

[cp(* +

t ) ^ - c p ( T ) ] Ä i ^

ОО

B r ( x ) A ^ - H a>b(x)D ;K—$со

при

равномерно

сходится

к

пулю

на

— оо

< ; т <

оо

г —> оо. Так

как

ср — гладкая

функция

с

ограниченным

носителем, то

мы можем дифференцировать под

знаком

интеграла:

J [e°‘D l cp (г + т) - D l cp (т)]

di =

В г (т) =

=

a,bJ

[jj

+

+ ^ ] =

(T)

+

^ ,r (T)

+

(T)-

—oo

—&

о

t

Здесь< t/1)Г (т), /2)Г (т)

и /3>г (г) обозначают

, по­

величины0

лученные интегрированием на интервалах — с» < ; <

—б,

—б

<Сб, б

< ° °

соответственно,

б

.

Рассмотрим сначала /2,г (т). Функция

Я(«, т) A

Xatb(T) г* [в»'Д?ф(* + т) -

^Ф(т)1

(3)

непрерывна по (і, т) для всех т и всех t

0.

Более того,

так как

ср — гладкая функция, то (3) стремится к

0

Di

[е°'і)тф(< +

t ) J

|;=0

(4)

и ,ь(т)

/*,г(*)| =

4 " $

H ( t ;t ) s m r t d t < 2/W6 < 8 , — о о < Т < о о .

Фиксируем это значение б.

1

1

Рассмотрим теперь/ іГ(т). Положим І

)Г(ф) = / і,г(т) —

J 2

1

где

,г (х)

-5

J 1

4

D*V (*

dt'

,r (T) =

\

CO е°'

+ T)

- — 03

Л.Г (t) = - 4

со

—Г&^

dz-

----iOO

следует тогда,

что /2) г

г(т) равномерно стремится к нулю

на —1

оо < ; т <

оо при

—>■ оо.

зуем

ограниченность носителя ср для получения формулы

• fl,г (T) =

<roS cos

rb

--- Jtrb---- * a’b (T) D гф (T — б) +

+

- ^ \—5

Х>^ф (i +

-Г)

dt.

(5)

cos r« 9«в>ь (тг)

Первое слагаемое в правой части равномерно стремится

к нулю на — оо <

X

<

оо при

г

о

о , так как о и б фик­

сированы,

а

к а>ь

(т)

Dr

ср (т — б) — ограниченная функ­

ция т.

Кроме того,

*а,Ь (*)

Dt - г - Dr Ф (t -)- т)

---- «-) Dr<p(t +

т) +

ха,ь (т) ——Dr+\

(і+т)

=

*a,h(t) е°

х Піь (т) e°lDrк,ф (t

+

т)

ограничена

(6)

(

t,

Но

функция

в

т) (і-плоскости

tпри

всехА

посколькуА

п £ ф ( і + т )

ограниченаt

и имеет носитель,

сосредоточенный

в

по­

лосе

{(

,

т):

I

+

т I

<

},

где

а

— достаточно

большое

число;

в то же6время функция х а>ь (т) еа| ограниt

­

чена в этой полосе в силу неравенства

в

<

a

<

Ъ.

Таким

образом,

t

выражение

(

)

ограничено

области

{ (

, т):

— оо <

<

— б,

оо < т

< о о }

некоторойА

постоянА ­

ной

N .

Из этого результата и предположения о том,

что

носитель ф сосредоточенN Al(nr),на

интервале

—

т

,

вытекает ограниченность второго слагаемого в правой

части (5)

величинойJ

2

стремящейся к

нулю

при

г —» оо.

hr

11уГ

Следовательно,

(т) и поэтому

(т)

равномерно

г

стремятся к нулю н а — оо < т * < о о

при3

-> оо.г

Аналогич-+

­

ные рассуждения

показывают,

что

/

,г(т)

также

равно­

мерно стремится к нулю на — оо <; т <

оо при

оо . Та­

ким образом,

мы установили,

что

lim

I

т) I < е ,

В г(

Теперь мы в состоянииПустьсформулироватьF s) прии доказать форs

­

мулу обращения.

£/ =

(

< Re

<

Т е о р е м а

3.5.1.

«< а2, г —

действительная переменная.

Тогда

1

а-\-іг

F (s)es‘ds

^

(7)

/(І) = ІІП - ^ -

г~ *со

а — іг

.

в смысле сходимости в 3D', причем

о

любое фиксирован

действительное

число

из

интервала

пое Замечание.

—

< а <

Эта

а2.

мости в

X ' (аи

формула верна даже в смысле сходи­

а2) (Земаиян

[3]). Однако нам этот резуль­

тат не понадобится.

Идея доказательства состо­

Д о к а з а т3Dе л ь с т в о .

ит в перенесении формулы обращения на преобразование

функции ерХ а,ь■

и использовании

сходимости полученно­

го выражения к ф в топологии пространства основных

функций

Мы

применим

в

дальнейшем эту схему

J i m < \ 2 j t T

5

7 ? (s ) <?s' d s > cP ( <) ^ > =

< / - Ф

а — іг

СО

Г

dt, s = б + гео, г >

’ Tt — со II

Ф— г ( F0 (s )^

0 .

2^ — Г </(т),

— ОО

^ cp(t)cstdtdo),

< 7 С О .

U

J ф ( 0 estdtdioy .

— г

— со

<7 (О. 'ér ^

ф (0

^

е8('-т) d(ä dty

=

— оо

— г

= < ^ (Т)’ 1 Г —$оо ф(* + т)ев'-2^ й ^ .

Последнее

выражение

стремится

к

<•/ (т),

ср (т)> при

г —» оо, так

как

/ £ і?Иі (, и согласно

лемме Х3.5.2

основ­

ная функция

в

этом выражении

сходится в

а,ь

к ср(т).

Теорема доказана.

единственностиможем доказать).следуюПустъ­

Используя теорему 3.5.1,теоремамы

щее2

свойствоF (s)

единственностипри s ^ Q , идля2преобразованияh = H(s) при Лапласаs ^ Q h..

Т е о р е м а

3.5.2

(

Если

пересечение

не пусто и

F

Н {s)

при

s / =

то f

— h в смысле

равенства

в

X

'(w, z),

ва€Е £2/ П Oft,

Q/ (~)

Qhобразован

пересечением(s) =

множест­

где интервал w

Qf

П Q ;, с

< ; er < z

3).

действительной осью.

и g

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обобщенные функции /

должны принимать

одни и те же значения на всех ср

ее

Действительно,8

выберем

а

так,

что

w

< ст

< z .

Тогда по

теореме 3<h,.5.1, подставляя

Н

(а +

іео)

вместо

F (а +

іа)

что

в

формуле

3)( ),

мы

непосредственно

получаем,

</,

<р>

=

ср>.

X

w

g

X ’

Далее,

плотно

в

h

(

,

z)

и

/,

— элементы

(w, z).

Поэтому

</, Ѳ> =

, Ѳ> для всех 0 e Ä ( i i ) , z ) ,

<

чтоеслпЗи(7)требовалосьпереписать в доказатьвиде

.

3.5.1

остается

верной,

а д а ч а

3.5.1.

Показать,

что теорема

o-fir'

/ (0 =

lim

С

F

(s)esids,

сі <

а <

ба,

З а д а ч а

3.5.2. Пусть

функция

/ €Е й)

такопа,

что ср(/)^0

на — со < і <

оо. Определим Y (.?) как в лемме

3.5.1,

и пусть г —

фиксированное положительное число.

Доказать,

что

Г

^ I sk Ч? (s) I dw > 0,

s = с +

іео,

к =

О, 1,

2, . . .

функции

/ (в

смысле определения, данного в п.

3.3,

равенство

дала с

(1)),

и

чтобы соответствующая полоса сходимости совпа­

той подполосыQ , = {s: Ol

<аR e

s < стs

2},

необходимо и достаточ­

полосы

а

но, чтобы F

(в) была аналитична в Ulf, и для каждой замкну­

< ib

при {s:

Re

і }

Q/ (сті

<

<

o2) существовал такой полином Р ,

что

\F

(s) |

может<

зависеть от а и Ъ.

в общем

< ^ jP ( | s |)

а

^

s

Ь. Полином Р

случае

Необходимость.

Аналитич­

Д оFк а з а т е л ь с т в о .

ность

(s) уже была установленаX ' и,вь,теореме 3.3.1.< ЬR

силу

нашего определения преобразования Лапласа обобщенная

функция / является элементом

где щ < а

< ст 2.

Поэтому иза

свойства

ЪIII п. 3.2 следует,

что существуют

постоянная

С

и неотрицательное целое число

г,

для кото­

рыхF

при

Ree~slys

С

max

sup |

ка,ь (t) D f e~sl

I =

I (s) I =

I </ (/),

I=<

С

'<Г

t

1

0<1

Зависимость P ( | s |)

max

Is|Äsup I xai„ (<) e~s' |< P ( |s |) .

в общем случае от а и Ъ вытекает из

того, что поIsкрайней мереs для некоторыхF

преобразований

Лапласа граница Q/ содержит полюсы

(s).

Например,

2 1

(0

= 1

при 0 < R e

<

оо.

Достаточность.

Сначала

мы

докажем следующую

лемму.

Л е м мKаs-3.6.1.

Если функция. G (s) аналитична в поло­

и

удовлетворяет

неравенству

се {s :

а.

< R es <

fr }

I G(s)| ^

\ где К

—

постоянная,

и если

(1)

g V)= = ~èti

\

G(s)estds,

a < C o < b ,

О—І со

то g(t)

непрерывная функция, не зависящая от выбора

0 и порождающая регулярную обобщенную

функцию в

%' (а, Ъ).—П ри этом

Qg =

G

(s)

по

крайней

мере

при

а <С Re s

< Ъ.

g

(

t)

от

а

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Назависимость

женных

на

G{s).

Выражение (1)

может быть переписано

в виде

оо

G (б +

(2)

e~alg ( t ) =

—^оо

іа) еш сіа,

a<^a<^b.

Так как

функция

G

(s)

аналитична

по

s

=

а

- f

ісо и

|G(s)

|СО<

К

\8

Г , то

оо

^

I

G

(б

- f -

ісо)еш

I

du>

^

— ^

I

G

(а

ісо) dco

<[

с ю .

(3)

— ОО

оо

сходится равномерно при

Такимt, образом,

интеграл в (2)

всех

откуда

и следует непрерывность

g{t).

При

этом

формула

СО

(4)

G ( s ) =

^

g(t)e~stdt,

4 А. Г. Земаіши

97

а <

Re s

< ; b

(см.

п.

3.3,

равенство

(2)

и относящиеся

к нему рассуждения). Доказательство леммыа

завершеноs b .

Возвращаясь к доказательству достаточности условий

теоремы 3.6.1, предположим, что полоса

<1 Re

—

фиксированнаяа Ъ ,

но

произвольная

замкнутая

подполоса

0/. Пусть полином

Q

s

полосе

( ) ие обращается в нуль в

^

Re s

и удовлетворяет условию

F(s)

<

К

a < (R es< )fr,

12 >

К

QW

где

— постоянная. Положим

G (s)

=

F

(s)IQ (s).

Тогда

функция

g

t

обладает всеми

( ),Q определенная формулой (1),

свойствами, сформулированнымиЬ).

в лемме 3.6.1. Положим

далееX

/' (2)(а,

=Ь),

{ D ) g(i),

D

обозначает Xобобщенное' а Ъ)

диф­

X '

(а,где

ференцирование в

Функция

/ также

принадле­

жит

поскольку пространство

( ,

замкну­

то

относительно

дифференцированияs b.

. Из

равенства (1)

п.

3.4

следует,a

что

(£/) (s)

=

Q

(s)

G

(s)

=

F (s)

по

край­

ней мере для

<

Re

<

ЬѵПусть далее {av} и {Ьѵ} — две монотонные последова­

тельности действительных чисел,

такие,

что а ѵ ->■

сц + О

и

X—>a2'

— 0.

В

предыдущем абзацеf v =мыF доказали,

что

для любойbv.пары чисел яѵ и

существует такой элемент

/ѵ 6Е

s (av, &ѵ),

для

которого

XS

b^)

(s)

на

a v <

<

Re

< ;

[X

Согласно

теореме

единственности (теорема

3.5.2)

при

< ѵ

сужёние /ѵ наX (аѵі(a^,bv)

должно совпа­

дать с Дх. Следовательно2 f — F,

{s)существуетs

элемент / е й ' (<Уі, ст2),

сужение

которого

на

каждое

ее й/.

совпадает с /ѵ,

и для которого

при

Возможность та­

кого выбора /, чтобы область

определения

для S/

точно

была бы равна Q/, вытекает из рассмотрения примера

3.3.2.

Этим доказательство теоремы 3.6.1 завершается.

На

основании

только что

установленной

теоремы и

что при любом

выборе

и a2

(щ < п2)

преобразование

Лапласа

определяет взаимно

однозначное отображение

X '

(сті, ст2)

на

пространство

функций,

аналитических

в полосе

<

Re

s

< a2

и удовлетворяющих

условиям

полиномиального

роста,

сформулированным в

теореме

а-{-іоо

а < а < Ь ,

(6)

1(t) = Q ( D l) а —Jіоо

где Df

обозначает

обобщенное

дефференцирование (

X ' (а, Ъ), а интеграл

сходится в обычном смысле

к непре­

рывной

функции, порождающей

регулярный

элемент

рационного

исчисления,

порожденного преобразова­

нием Лапласа.

Рассмотрим

линейное

дифференциальное

уравнение

anD n

+

а0) u(t) = g (t

Lu

(if) А

+ ßn-xö"'1

+ . - .

(

), (7)

где

В (s)

=

ansn

+ апЩв71- 1 +

. . . +

а0,

U

(s)

=

2и,

s

s

G

s

=

2g,

e S j = {s:

er X <

Re

<

ag.}.

( )

Если

В

s

не имеет корнейG

в У 5,В

то ив силу теоремы

( )

3.6.1

существует обобщенная функция

t

преобразо­

( ),

вание

Лапласа которой равно

(s) /

(s)

в У г. Согласно

теореме 3.5.2 и формуле (1) п. 3.4 такая функцияX ' (og„единстog!).­

венна

в

X ’

csg,,

og„)

и удовлетворяет

уравнению (7)

в

(

смысле

дифференцирования и равенства в

т

Если же

В

(s) имеет корни в У г, то их может быть лишь

конечное число.

Поэтому существует

совокупность