книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

g —

Р ( І В Д Л

U =

g,

(10)

где

данный элемент

Ж ^, и

— неизвестная функция, от

которой

мы требуем, чтобы

она

принадлежала

Ж ѵ,

а

Р

(s) — полином, не имеющий корней на неположитель­

ной действительной полуоси —

со

<(

z

^

0. Однако, в от­

личие от ситуации, рассмотренной в п. 5.7,

р теперь можно

придавать10

любые действительные значения. Действуя

точно так же, как в п. 5.7, находим решение уравнения

( ) в виде

“ =

(И)

ч > > = < ( & ) -

ч> > =.

< G ( # ) ,

=

Заметим, что если р — отрицательное целое число, то

каждый элемент

g 6

Е

Жу.

согласно

свойству

II п. 5.2

является также элементом

Ж

В силу того,

что

МДѴ,.

=

D * ~

=

М -

рЛГ-р,

<8, Ф> =

ЗHmС - Ч - 0

x~1Dx-v~'f*cp{x),

(12)4

очевидно, принадлежит

Жр

в силу леммы 5.2.1. Однако

g

не является элементом

Ж-у.,

если

— 1

ц <С

0

; действи­

тельно, выражение

12

существует,

если функция

( ) не

Ф (х) ЕЕ Ж -у.

равна

У

х/.у.

(х)

на

0

х

1, что вполне до­

пустимо. Таким образом, если ц < 0

и ц ^

—1, —2, . . .,

то )р-р не порождает

операционного исчисления для урав­

10

g

Жр.

совпадает

бомненияположительном( ) при произвольномцелом числе к преобразованиееЕ

З а д а ч а

5.10.1.

Показать, что при любом р <

— 1/2 и лю­

вию Ф (у) =

0

в некотором интервале 0 < і/ <

е.

З а д а ч а

5.10.2. Доказать лемму 5.10.2.

Указание.

Диффе­

ренцируя под знаком интеграла н нсиользуя

равенства

(6) н (7)

и. 5.1, преобразуем левую часть уравнения (9) в

ОО

( - 1)к 2к $ /

и '+а [(у -*/!/ у-*-'Ьф (у)]

(ху) dy +

оI- ( -

оо

l)t+1 $ У ^ Ш K u -4 \ )U у - Ѵ °-Ф Q/)l * - * +1% + н (*!/) dy.

со

< Ѵ Ѵ * Ѵ . Ьф =

( - l)k+1 S y*i+fc+1 [2А (y -W /^y -V -'/’Cb (у) +

О +

У2 (y ~ lD v f У ' 11- ’ 2Ф( у ) J * ’ / И с /

^ кdy(..т у )

Далее прямые

вычисления

показывают, что jgy (— у2Ф)

также

и+1, к (і^рф) =

кф і

6

ОбычноеЛ . ВведениеК-преобразование

определяется следующим обра­

t, о

(.1

зом. Пусть

— любое фиксированное комплексное число,

s

и со — действительные переменные из J#1; положим

=

а + iw.

Как обычно,

К у

(z) будет обозначать моди­

Если / (<) — соответствующим(.1

образом выбранная

обыч­

ная функцияs,

=определенная па 0

t

<] оо, то ее

К -

пре­

образованием порядка С Оназывается функция комплексной

переменной

<у

+

гео,

заданная равенством

Можно показать, что

О

F

(s)

аналитична в полу­

функция

плоскости {s:

R e s ^ > & >

0

}, причем

абсцисса

b

зависит

от функции / (г). Известно, далее, что

Ку. {st)

— К _у {st)\

1

поэтому мы не потеряем общности в формуле ( ), если

будем считать, что р удовлетворяет условию 0

Re р

эо.

и каждого

tдействительного<С. 0 0 1

положительного

числа

а мы

строим 0пространство

основных функций ер (<), глад­

ких на

которое замкнуто по отношению к диф­

ференциальному

оператору

(определенному ниже фор­

мулой (3))

бесселевского

типа,

причем

функции

ф (

t)

стремятся к нулю при

t

—>

оо не медленнее,

чем

е ~ а Ч ' ! г~ ^ .

Можно показать,

что

ядро

У st

/щ

isi)

принадлежит

при Re s

а.

Сопряженное пространство

СК^. а

состоит

из тех обобщенных функций,

к которым мы можем приме­

нить /{'-преобразование порядка

р.

Преобразование

F (s)

обобщенной функции

/ £Е

Ж\і,а

задается

формулой

F

(s)

=

{/ (г),

У st

/{(л (sf)>,

R e s > a .

нян [9].

еще

одно преобразование,

преобразова­

ниемСуществует

/-

аналогичное

//-преобразованию;

его обычно называют

и определяют

равенством

(2)

F

(s)

=

</ (<), / st У {st) >,

ференциальный оператор второго порядка:

SpAt-v^l'Dtw+Wl-v-*/.,

=

(3)

S y .,

/Ф ( t ) =

a 2i;t ot 2кЦ> +

a 2 k ,it ~k+1D (p

ß2fc, г л ^ 2|сф»

где

Oajt,,j

— постоянные,

зависящие

от p.

°2fc, 2k =

( 4 )

Аналогичные

выкладки

показывают,

что

Поэтому

= S-yіФ.

(0

=

£ 2Ф +

ф-

(5)

Следуя нашей обычной практике, мы при рассмотрении0

многозначных функций, аналитических всюду в z-пло-

скости,

за исключением точек ветвления z =

и z =

оо,

ограничимся

их

главными ветвями,

потребовав, чтобы

—я

arg z

я, если явно не указаны другие условияЛ 1..

Как обычно, Г (z) обозначает гамма-функцию. На протя­

жении всей главы/снова обозначает интервал ( 0 , оо) в

6.2. Некоторые классические результаты

Пусть

z — комплексная

переменная и

рly— фиксирован­

ное комплексное число. Как и раньше,

(z) обозначает

модифицированную функцию Бесселя

первого

рода

по­

рядка

[і , а

К у

(z) — модифицированную

функцию

Бес­

селя третьего рода и порядка р.

Эти функции аналитич­

ны в z-плоскости,

исключая возможно,

точки

ветвленияl

b z K=y (

0z )h z =

oo. При принятом условии выбора главных

ветвей,

для которых —я

arg z

я,

обе функции

y

(z)

и

принимают действительные значения, если р

действительно, а z действительно и положительно.

Эти

функции

обладают следующими

разложениями

Для произвольного

р

Z№+H-

7

h {Z)

=

“

'

, {1)

ièo А І ^ Ц А + І + р )

__

it

Г ^

__________z2!i ^________

2 sin prt

L ~ 0

А! 22К~^ Г (к + 1 -— |Х)

где

С =

ег,

а у

— постоянная

Эйлера (у = 0,5772...).

Асимптотическое поведение этих функций при z -> оо,

справедливое0 і

для любых значений ц, описывается следую­

щими формулами (Ватсон [1]). При любом фиксированном

е ]>

и

I

I

—*■ оо асимптотические

формулы

V I

К * (*) =

У

\

е-* [1 +

О ( Iz Г1)],

—

~Т~

“I"

8

< аг£

2

< “Т — е>

(4)

h ОО =

- у = - ( е

*

Ѵ %

+ * в - ^ ) [1О (+ I z П ] ,

/ц (z)

=

— -|- +

& < arg z < - ^ - — 8,

(5)

- у = -

(е* -

іе-2-Ѵ*) [1 + 0 ( 1* Г1)],

_

"Г" +

8 < arg Z < - f - - 8.

(6)

Приведем

некоторые

формулы

дифференцирования

(Бейтмен и Эрдейи [1], т. II):

DzV-Ky.

(z)

=

(z),

D P I»

(z) -

(z),

(7)

DzrV-Ky.

(z)

= —г-^-йГц+х (z), O z + ^

(z) =

г+Дц.х(г),

8

( )

яз которых вытекают

формулы

S^ tV siK v, {st)

=

Куst),

(9)

(

(s<) =

& Y st ly. {st).

10

( )

Нам понадобится также следующий неопределенный

интеграл:

st)}

^ t іф. (zt)

(st) dt = z2

s„ [z/^+x (zt) K)x (st)-\-sI\X (z Q K ^ ( 11)

(см. Бейтмен и Эрдейи [1], т.

II,

формулы

7.14.1(9),

7.2.2(12)

и 7.2.2(15)).

обращения

для

6

Одна

из формул

/^-преобразования

только выполнения неравенства Re р >

—1/2, тогда

как

Майер

налагал

условие

|

Re

р | ^

1/2.

стиТ е о р е sм а

b6.2.1.

Пустъ

фиксированное комплек­

функцияр —F

(s) аналитична и удов­

сное число,

Re р ;> —Ѵ2.

Предположим, что в полуплоско­

летворяет

{s: Re

]> 0}

|

(s) |

| s |-Q,

—

Тогда

для

неравенству

F

M

где M

и

q

любого

действительные

постоянные,

причем

q

Re p +

3/2.

с )> Ъ

фиксированного

действителъноео числа

и

при Re s )> с

^ /

Äp.

где

F (s) =

(t) Y

st

(st) dt,

12

( )

о

с+ іо о

(13)

C—[ІОО

F ( z ) Y n I v.(zt)dt.

П ри

этом функция f

(t)

не зависит от выбора с.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Последнее

утверждение

вытекает

непосредственно

из

теоремы

Коши, условий

на

F

(z)

и

того факта,

что

при

любом

фиксированном

0

t

функция

Y H l» ,

(zt)

ограничена в

каждой

полосе

вида

Хі

Re z

х 2,

где 0 <[

хг

<[

х 2

<С °° (см. (5)

и ( )).

6

т

Далее, пусть s фиксировано и 1

Т <( оо; рассмотрим

равенство

О

Т

c-f-ico

=

~

5

y j t

Кр {st)

5

F

(z)

Y T t ly. {zt) dz dt.

(14)

•Пусть

А

0

C— ZOO

{(t, Im z):

0 <( t < T,

обозначает

область

— oo <( Im z< ( oo};

зафиксируем Re z = c )> 0 .

Из разложения в ряд

и

асимптотического

поведения

/(X

{zt)

получаем

тогда,

что

I

Y i t l p {zt)

I <

Cj I

{zt)V+'h

I

I У stК у. {st) У

ztly. {zt) F

(z) | < C , | 2~ч+^+'/= I {t

-f

|'*wi I)

С 2

—

в области Л, где

другая постоянная. Правая часть

абсолютно интегрируема в Л .

Поэтому по теореме Фубини

мы можем

изменить

порядок

интегрирования

в

(14) и,

используя

(

11

),

получить

. ...

С -{-ісо

__ _

:

' О

/ 'Ѵ Ь 'і

$

F { z ) - J ^ r

[ztIv.+1{zt)Kv.{ st) +

1’

/ •

’»

{

С— Іс о

+ stly. {zt) А,х+1 (si)]lz0T dz.

(15)

Разложения

(

1

2

), ( ),

(3) и тождество

^)я

.го

показывают,

Г (1 +

!і) Г .(— ѵ) =

sin ( і +

что

выражение

(15)

равно

C-f-^oo

za i . sa

tZ Y z T

I\4-l {zT) У sT К Ц {st) +

in

c— üzoo

(16)

+

s У zT 7|j. {zT) У sT A|x+1{sT) — s’/HV/s+^] dz.