книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

д2ѵ

дѵ

д2ѵ

удовлетворяет волновому

уравнению

9rä +.

r _і

~ ~ д Р

при

0

< г <

о о ,

I F

__

считаемt

скорость

—

оо

<

f

< Мыо о .

волны равной 1.

Дифференцирование по г является обоб­

ut (г) =

У г vt

— параметри­

щенным, тогда как дифференцирование по

и =

(г) и сформулируем

ческим. Сделаем замену

и,

(/•);

тогда

задачу

Коши

для

волновое

уравнение

M 0N 0u

приобретает

вид

=

0

<

г <

оо,

— оо < f <

оо,

(1)

где

M 0N 0u

=

r-v.

Начальные

0

g

Ж0,Ѣ

tусловия имеют следующийЖвид:

h (г)

(b)

если

t

dut

r)/dt

в

Ж й

(a)

->- 0, то и, (г)

сходится

в

к

(г) £Е

GE

ЕЕ

Ж'0.

если

1

0,

то

(

сходится

к

Ж0-

Решение,

которое мы найдем,

будет удовлетворять

U t

равенства в

уравнению ( ) в смысле0

0

Чтобы формально получить возможное0 2решение, по­

ложим

(р)

=

ф

[ы, (г)],

применим ф

к

дифференци­

альному уравнению (1)

и,

переставив ф

с 3 /3ü2, получим

Отсюда

- P ^ ( P ) = - S ^ ( P ) -

Ut ( р ) ] =

А

( р )

в*«

+

В ( р )

е - К

( 2 )

А

В t.

А

В

G

где (р) и

=

не

(р) — неизвестныеtобобщенные функции,

зависящие от

Для нахождения\h

(р) и

(р)

мы исполь­

зуем

начальные

условия

при

0.

Положим

(р) =

=

Фо

(Г)І и Я

(р) =

фо

W L

Из

начального условия

(а)

следует

Я о ( р )

уравнениеА

( р )

+

Я(р)

-

G ( Py

( 3 )

d/dt,

=

0

если формально

переставить ф

и

Начальное условие (Ь),

jf U , ( р ) |,= о

ірА ( р ) ірВ ( р )

Я

( р ) .

(4 )

приводит■

к уравнению

А

В

=

—

2

=

(р),

(р) и под­

Решая уравнения (3) и (4) относительно

1

Ut

G

pt

pt.

ставляя полученные результаты в ( ), -получаем

(5)

(р) =

(р) cos

+

Я

(р) р

sin

Щ ( г ) -

© Ö[1U i ( р ) ] .

решение

Убедимся в том, что

(6) — действительно

уравнения (1).

Сначала мы покажем,

что при любом фик­

сированном значении і функция

U t

(р) принадлежит

Ж 0

на

О

< р

<С°°-

Поскольку

g (г)

и

h (г)

— элементы

Ж 0,

то

G ( р )

и

U ( р )

— также элементы

Ж 0-

ТакимÖ

образом, нам

нужно просто показать,

что при любом фиксированном

і

функции cos

р t

и

р - 1

sin

р

і

принадлежат

—

пространству

мультипликаторов( py

в

Ж\з.

(см. п. 5.3). Но в ряд Маклорѳна

для cos

D входят только четные степени

р

і ,

так что функ­

ция

p i

cos

ограничена

на

при любом

р - 1

p i

0 < р

ѵ

и

< С 1

і.

неотрицательном

целом

любом фиксированном

С другой стороны,

вычисления показывают, что

1

=

О

(p-v)

(p- Z)p)v cos pi

при

p ->• oo.

Поэтому

функция

-1 D py

cos pi

ограни­

(p

чена

на

0

<Cp <C oo,

и,

следовательно,

cos pi — элемент

О .

Аналогичные

аргументы-1приводят к тому же самому

заключению

относительно р

sin pi.

6

В

соответствии

с

этими результатами

( ) — обобщен­

ная

Жфункция0

в

Ж 0

на

0

</• «<оо, параметрически зави­

сящая от і. Мы будем рассматривать ее как функционал

на

,

определенный

равенством

<Щ (г), Ф ( г ) >

= (G ( р )

c o s p i +

Я

( р ) р -1 s i n p i , Ф ( і ) > ,

где

фut— произвольный

элемент из Ж 0 и Ф =

$ 0Ф-

Теперь мы приступим к доказательству того, что функ­

ция

(р), заданная равенством (7),

удовлетворяет урав­

нению

(1 )

в смысле равенства в

Ж 0.

Пусть

ф ( г )

— любой

элемент

Ж 0

и

Ф (р) =

ф

0[ ф

(г)].

В

силу

равенства

8

(

)

п .

5

. 5

<■ M 0N 0ut ( г ) ,

ф

( г ) >

=

<

— р 2 Я

,

( р ) ,

Ф

( р ) > .

С другой стороны, из определения дифференцирования по

параметру

В ,

=

d/dt

(,см( .

п.

2.7)

=мы получаем

=Df < u

< Я ? и ,( г ) , ф ( r ) >

г ) , ф ( г ) >

=

(U t ( р ) , Ф

(р)> =

D] <G ( р ) , Ф ( р )

D] f\H

( р ) ,

Ф

(cos рі> +

.

(9

Предположим

теперь,

+

р )

что

справедлива

Л е м м а

5 . 9

. 1 . При

F

( р )

е=

Жц,

Ф

( р )

€Е

Жу.

w

п,

,

равном

1

2

выполняются равенства

В]1(F или(

( р )

— <F

( р ) ,

Ф

( рВ) ?

c o s р і >

( 1 0 )

р ) , Ф

c o s р і >

и

= < ^ F ( р ) , Ф ( рD) ?

D ? ( F ( р ) ,

Ф ( р )

. ( И )

В соответствии с этой леммой правую часть (9) можно

(Gпереписать в

-виде

ty + у н ( р ) ,

Ф

( р )

(

-

р 2) ^

>

>

=

( р ) , Ф ( р ) (

р 2) c o s р

=

<

- рги 1( р ) , Ф ( р ) > .

Сравнивая полученный результат

с

8

мы видим,

что

( ),

1

и, (г) действительно удовлетворяет уравнению ( ) в ука­

занном

выше смысле.

лемму 5.9.1.

Нам10осталось доказать1

только

фор­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

установим

мулу (

) для / г =

, доказательство остальных утвержде­

ний существенно

иное. Так

как

F ( р )

— элемент

Ж^,

то

функция

(pi +

р

А

і )

— c o s pi] — D t

c o s

pij , kt=f=0,

Ф ( р )

[ c o s

рицательном целом числе ѵ выражение

pi] —

D t

pi (12)

(1 +

р 2)- 1

(p- 1.Dp)'’

[ c o s

pi -f-

р

Аі) —

c o s

c o s

сходится равномерно к нулю на 0

< р

<С°°

при Аі -ѵ 0.

-гг

[При любом фиксированном і

pi =

c o s

(pi -Н

р

А

A t

pi] — D t

c o s

і ) — c o s

T

=

4

r

05dx \0D* c o s

+

pT])dr{ =

A t

T

=

— IF

S dT S 008 (p/ —

0

0

Поэтому

при

V =

0

выражение (12)

ограничено

величи­

ной

р2

At

2

2I At |

^

dx

cos (pi -[- pp)

dt\

I<

(1 +

р») I At I

0

P

оо

( + P 2)

стремящейся

равномерно к нулю

на

<

1

при

0

р <

Ді

0. С другой стороны, при ѵ

мы можем повторно

дифференцировать под знаком интеграла и написать

~lD py‘

[cos (pi +

рДі) — cos pi] —

D t

cos pij =

(р

A t

-c

= —

At dx

T

1

)v_1

cos (pi +

pT|)

+

J

j I2v (P- ^p

0

0

Вычисления показывают0

,

+

P2(p~lD py cos (pi + pp)] dx\.

что —для1

любого< 1

неотрица­

тельного

целого

числа

к

функция

1

pp)

<

(p- Z)p)k cos (pi +

ограничена12

при

< р

оо

и

< р

некоторой

постоянной

B h.

Поэтому

при

0 <

I т I

^

I

Ді I

1

вы­

ражение

(

)

ограничено величиной

+ р55ѵ) At

z (1 +

pS)

0

которая также стремится к нулю равномерно на

< р

<;

<

оо

при

At

->■

0.

Этим

закапчивается

доказательство

формулы (

10

для

п = 1

.

)

ut (г)

ТеперьЖмыо

проверим, что наше решение

удовлет­

воряет начальному условию (а), т. е. покажем, что при лю­

бом

ер ЕЕ

и і|

— 0,

ф

<g

ф

(/•)>•

( 1

Если,

как

и

< “

W

( г ) ) - »

- ( г ) ,

раньше, положить Ф (р) =

£)0 [ф (/•)],

то

левая часть (13) в силу формулы (7) принимает вид

(14)

<G (р), Ф (р) cos рі> +

</// (р), Ф (р)

і

■

В следующем

абзаце

мы покажем,

что

при

0

функ

ция

Ф”1(р) cos pi

сходится

в

Ж 0

к Ф (р);

аналогично

Ф (р) р

sin pi сходится

в

Ж 0

к нулю. Соотношение (13)

вытекает непосредственно из этих результатов и того фак­

та, что

G

(р)

е

Ж'о

и

Н

(р)

е

X

-

cos

pi

1

(15)

1 + Р

1 +

Р

1

pt

->

0

(16)

(p- Dp)'' cos

,

0

<

р <

где в обоих случаях сходимость равномерна на

оо.

Результат

(16)

следует из

равенства

z,

z —

pt,

1

г2и

(z~1D v)

(р- і) р)ѵ cos pi =

-cos

и из того факта, что функция

(z

1 D )v

cos z

ограничена

на — оо < ;z <

о о .

С другой

Rстороны, для доказатель­

ства формулы (15) заметим сначала, что по любому за­

данному е

0 найдется

такое

< С °°,

для которого при

всех

р

R

и

— оо < (

< ptс о

2

К <

8.

1

0

<

1 — cos

^

Зафиксировав

1 +

р

+

В ,

мы

можем

при

указанным

образом

О < р <1

В

и I

t

I

< .л / В

написать

О ^

1

7"+°рР< ^

1 — cos

Bt

—> 0,

t

—»■ 0.

t

Т

Поэтому существует такое

Т

0,

что для всех

|

|

<

0

<

1'-^

р—

<

е >

0

<

р

<

о

с .

(p- 1Dp)v р-1 sin р£ = i2v+1 (z~xD zy z_1 sin z,

0

1

,

2

pt,

и из того, что

функция

1 2 -1

V =

,

, ..., z =

на

(z- Z) )vz

sin

z

ограничена

— oo<^z<^oo.

Этим завершаются

наши

рассуждения,

показывающие,

что

ut

(г)

удовлетворяет

начальному

условию (а).

b

Справедливость начального условия (

) прямо вытекает

теперь из уже

установленных результатов.

ограничена в области {(р, т|): 0 <

р < оо,

— 1 <

Ц <

1).

и (11)

З а д а ч а

5.9.2. Доказать

формулу

(10)

для

п = 2

для п = 1,2.

5.9.3. Показать, что обобщенная функция

щ (г),

З а д а ч а

определенная

формулой (7), удовлетворяет

граничному

усло­

вию (6).

5.9.4. Сформулировать условия, которые

иужно

З а д а ч а

(г) =

1 +

V X

р р

(— MoNo)p ^ C ^

C°apPt У rP J o(rP) dp +

ных

значениях

р,

исключая

р =

—

1

, —

2

;

—3, . . .

На протяжении этого пункта

х

обозначает действитель­

ную переменную, соответствующую

(основным или обоб­

щенным) функциям ф, /,

и

и

g,

в то время как

у

обозначает

независимую переменную, соответствующую их преобра­

зованиям Ганкеля ф,

F ,

U

и

G.

—1/2

Сначала мы определим два преобразования в прост­

ранстве J/’n основных функций; при р

они будут

совпадать с

обычпым

преобразованием

Напомним,

что

это

преобразование

определяется

формулой

( £ W ) (У) =

\

К х) V ХУ J |J- (ху) dx.

(1 )

Пусть р — любое

О

действительное число

фиксированное

и

к

— любое

положительное

целое

число,

для

которого

р +

к

!> —

1/2.

Мы определим

преобразование

па

любой функции ф £Е

Ж'у.

формулой ■

Ф ( х ) Ж ^ к [ф (г / ) ] =

( —

. . . Л ^ п / У ,л Ф (1 / ).

Аналогично,

определяется

на

любой

(2)

функции

,ф Е=

Жц.

формулой

( —

. . .

W j 2 k _ і $ | х +*а :к ф ( z ) .

Ф‘(у) Ж

[(фх)}

1 )k Л ' Д Л ^

,

задано

(3)

В (2) и (3) ' преобразование

формулой (1),

йде р заменено2

на р +

/с.

определенное

иЛк ё м м а " '5.10.1.

Преобразование

формулой

и удовлетворяющее указанным

условиям на

р

является сівтоморфизмом на

при любом действи­

тельном

значении

Обратным к нему служит преобра­

( )

заданное

равенством

Преобразование

зование

р.

совпадает с преобразованием

определенным фор­

мулой

если

и

действует в Ж ѵ..

(1),:

р

— Ѵ2'

(3).

. .

. N [X+i : N [x

'Жу.Д о к а з а т е л

ь 'с т в ’о.

Первое утверждение следует

из того,

что 'Ф >4-

Ф — изоморфизм

на

Ж ^ k

,

Ф I-* tv+/i

Ф — автоморфизм

на

Ж

ц+/, и

cp I-»-, afk Ф — изоморфизм &£ц.+к'№

(см. леммы. 5.3.2,.

5.3.3

и теорему 5.4.1).

;

Следов атёльно, второе

По

условию р Ч"

к

)> —

1/2.

на

ffliL+h

преобразование

обратно

самому"к

себе. _

Чтобы доказать третье’ утверждение/предположим,

что

Ф (у) €=

р >

—Ѵз“ / • и

рассмотрим

Случай.1 I .

,

=.

.

.1:

: і Л

Ф|х,іФ = —

іО С

J)•;

'

оо '

• ’

. O l

Д Іс

^

•. i i ’

.

;,

‘ ’

I- ’

I

*

Л

x

yVW

Руу-ѵ-'ЬФ (у)] Y

ху

1 (ХУ) dy •

=

—

о •

л

•

euoP.

■

/р+

"15

I

оточтье '"»■

(ху)

г

DyyV+'Jv+i (ху)

х у ^ 1

Интегрирование

по частям и формула

(4)

дают

.О !

=?

со

/ц

■

.

•

;

— аг

1 У х у

І\х,л (ху)

Ф

(у)

|"=0°° +■ ■.

Ь

(У) Ѵ * У

JA W ) dlJ-

•

5 ;ф

В

силу леммы 5.2.1

(у)

внеинтегральный член равен нулю;

У ху Jyx (ху)

у

а функция

действительно, функция Ф

быстро^убывает,

у

(у) =

О (уА*іг)

У х у

J.\^i (xU)

мя

остается ограниченной при

оо,

в то вре­

Окак при

— + 0 - Ф

и

.. .

=р

=

(/•+•/.),

где р ^

Таким образом, ^ .

г .

. н т и г .

©(X, 1ф =

—.

■ Ч О Н К р 0 "

.

Т Т П П .

‘

■ - ■

Лфф =

у ф (у) У ху

Jy, (ху) dy.