книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

1+ (‘ — л)

°С1

^ st К\>- W — У ™ к ѵ-

(sa)

Ä p p /

t _ а

= )

TZZl

+

а

+ S V siK ^ st)

f

a+1

где P f

обозначает, как обычно, псевдофункцшо (см. Зсманян [1],

пп. 1.4 и 2.5).

З а д а ч а

6.4.6.

Пусть

/ е

(/).

Показать,

что для всех

s, не равных действительному неположительному числу,

(а)

I V 1/w) w =- •щг і(Ѵія м - (W)

(*)

ISI^D/ Ч (i)] («) =

- -j- KÄp-x/) (*) +

(Яр+1/) («)],

(c)

[Яр

(i)j (*) =

- *

(Яр_х/) (*),

(d)

[

Я

р

(/)] (*) =

- *

(Яр+1/) (*).

Л е м м а 6.5.1.

Пусть

а

и Ь —

и p ,H = R e p > 0 ,

Ъ,

действительные числа,

причем а

<[

Ъ. Тогда при

Re

£ )>

? ^ 0 , —я < arg

0 <

г < о о

(1)

I«“'

1 < Л р (1 + I £ І’И

Д о к а з а тКе л ь с т в о .

Прежде

всего напомним,

что функция

Ф (л(z) аналитична всюду, исключая точки

z — 0 и z =

оо.

При доказательстве

мы будем предпо­

лагать, что z

0 и —я <

arg z я . В силу разложений

(2) и (3) и.

6.2.

К *

(z) I <

В5,х,

| z | < l ,

I z^

при некоторой постоянной

ц.

G другой стороны, из асим­

№ (Z) I = I zH-V* 11

/ г

/*+ (z) J < C(iI z I

e-Re *, | z | > 1.

Следовательно, при

всех допустимых значениях z

I zM<+ (z)

I <

Ep

( 1 + 1 z I^R)

e~ReZ,

I еа' (СО1* Яц (СО I

<

^< Е(1 +

I

^

Г й) e'a-Re^ '

<

Поскольку

>

р (

1

+

I С Г Л)

(1 +

^ R)e(“- Re« '.

Ъ

а, функция (1

+

<liR) e(“-Re£)‘

ограничена

на 0

t

оо равномерно по всем Re

£ >

Ъ.

Лемма до­

казана.

Пустъ а и

фиксированные дейст­

Л е м м а

6.5.2.

е —

вительные числа,

причем

е

0.

Еслп |£

| >

е, Re £ >

а,

— я <

arg

z

я ,

0 <

f < о о ,

то

(2)

ealK0 (£t)

где А 0 не зависит от

и t, а функция< -'+i h

t

определена в на­

£

М О

( )

чале п.

6.2.

у

асим­

Д о

Кк

0а з а т е л ь с т в о .

Разложение (3) п. 6.2,

птотическая при z —

оо формула (4) п.

6.2

и аналитич—

ность

(z)

приводят

к неравенству

Ko(z)

< C e - RM z + 0,

я <

arg z <

я,

(3)

М М )

где

С

определения

h t)

— постоянная.

Кроме

того, из

(

вытекает,

что

(4)

МІСІО

< В ,

|С|>8,

М О

«“'*>(50

eatK 0£t)

Ä (1Е 10

<

С В = А 0,

k(t)

A(ISI0

h(t)

чтоТогдаи Fтребовалось(s) функциядоказать, аналитическая.

в

и

Т е о р е м а

6.5.1.

Пустъ

F

(s)

=

® yf при sEz Clf.

Qy

—

< /

(t),

D s V Jt K y (st)

>,

(5)

D s F(s) =

s E ß , .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s — произвольная,

но фиксированная

точка области

СІ/.

Выберем действи­

тельные положительные

числа

а,

Ь,

г

и

гх

так,

что

а/ <С

а

Ь

s

—

Re

s

— г <[ Re

s.

С= Re

s

Обозначим через

круг с центром в

и с радиусом, рав­

ным гг.

Наложим на (и тем самым на

b

и

г)

дополнитель­

ные ограничения, потребовав, чтобы круг

С

Aлежал цели­

ком в

Cif

(т. е.

чтобы он не пересекался с действительной

неположительной

осью).

Пусть,

наконец,

s

— ненуле­

вое комплексное приращение, такое, что

j A s |

г-

рас­

смотрим выражение

D s /FF К у (st)) =

</ (t), фд, (f)>,( 6 )

где

-

</ (О,

показывают, что

D SY s t К у (st) принадлежит Щ х ,а) по­

этому равенства

(5)

и (6) имеют смысл.

и

ПосколькуS y , і Y s t

K y

(st)

s2H K y (st),

S y , , D s / F F

K y

(st) =

Dys* / F F K y (st),

=

x ( c - > _ Д .

£ = г ) — ( £ - 0 * ] ^ “

As

^ V Z t K ^ t )

2rei

J

(C — *)* (C — *— A*)

Ö £-

I

°

и пусть

Q^.

— посто­

Далееt , предположим, что Re p )> О,

K\i

янная,

ограничивающая

функцию

eal

(££) при

О <С

<(

оо и при всех

^

Е С

(см.

лемму 6.5.1). Тогда мы

можем написать

I As I Qp

^fc+V.-H'

d Z <

I

К

j| (£-*)* ( C - * - A * )

■

s —>

<

ГХAs I Qu

•2Л+‘/і-і*

О,

A

0.

(rx — r)

sup I с,'

Ф g

Л е м м а

6.6.1.

Пустъ

% /

=

F (s)

при s e= ß/,

2 ) ( / )

u

oo

R e s > 0 .

®(s) =

§

cp (i) T^st 7tx (si) di,

Тогда

для

любогоо

фиксированного

действительного

числа

г

из

интервала

0

г <[ оо

Г

§ Ф (s) </ (т), У st Ку. (st)> dco =Г

а

=

<\/ (т)> 5

ф (s)

^

sx K v-

так’ , чтоW

фиксировано(st)

где

s =

+

іи

и число

— Г

ст =

Re s

а

^> max (0,

бу) (как обычно, б/ обозначает абсциссу

сходимости ДЛЯ

t% і/ ) .

Наше

утверждение

оче­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

видно,

если

cp

( ) =

а,0.

Предположим

поэтому,

что

Ф (г) ^ 0.Ot)Мы<^асначала< ^ а ,

покажем, что

для

любого

дейст­

вительного

числа

удовлетворяющего неравенству

max (0,

выражение

(2)

Ѵ ( х ) =

§

Ф (s) У sx Ку. (st) dco

мы можем внести оператор 5 ^

под знак

интеграла

в (2)

и написать

Г

st

da

I

ea\ ^

s l V

(т) 1=

(st)

| <

I 5 Ф (s) s^'+VHV- ( )I1

—Г

Г

< В § I Ф (s) &*'/*■¥■ I dco <

oo,

(3)

—Г

еах

K\i

где

— постоянная,

ограничивающая

(st)іг

В

іг(st)^

на

при

0

t <( oo

и при значениях s, лежащих

от­

резке

прямой,

соединяющем

точки а —

и а +

J

(т,

т)

=

р

S

ф [а + ^ ) Ѵ а Х + 1 і ! г Х

= —т ѵ

'

другую сумму

Римана, которая сходится к левой части

равенства (1) при

т —*■

оо в силу непрерывности подынте­

на

гральной

функции

—г

со ^

г.

если

т Поскольку

/

J іл,о)

то

лемма

будет доказана,

мы установим,

что

(т,

т)

сходится

в

Жу.,а

к (2)

при

оо. Мы снова проделаем это лишь для случая Re р

)> 0 и предоставим читателю

самому

внести изменения,

необходимые в случае р = 0.

Положим

Н (т, 7п)==

t ^ ’S ^ [V (т) — J (т, /тг)] =

= еах Г

(s)

^'+V-

( )^ К и. (

) ds —

^ Ф

s

j h st

st

—Г

7 П = 0

— еат “«/*•т*p =S—m ф (s) sU+i/l~* (SXT к ѵ-(ST) Is=

ipr ■

(4)

oh', - m ■

ватдаЛ+./г-ц^)^ (st),

(5)

равномерноs

стремится к

нулю

на

—г

со

г

при

т

ооТ ,в силу асимптотической

формулы

(4) и условия

а

=

Re

)>

а.

Следовательно, по любому е )> 0 найдется

такое

что при т ) > Г и

—г ^ с о ^ г

функция (5) огра­

ничена выражением

т> Т

0

тп

Следовательно,

существует

такое число

т0,

что

при

тп0

правая часть

ограничена величиной 2е/3.

Итак,

мы показали, что при

m

т0

и т Д>

Т

выполняется не­

равенство

I

Н

(т,

тп)

I < е.

Т .

о

Рассмотрим, далее,

полуинтервал

0 <

т

Если

фиксированоТуказанным выше образом, то ( )1*

(st) —

равномерно непрерывная

функция

st

(т,

со)

переменной

при 0 <[ т

и

—г

со ^

г.

Действительно,

функция

К]х

(z)

аналитична

при

Re

z )> 0.

Кроме

того,

из

разло­

жения

в

ряд

вытекает,

что

(sx^Ky.

( )

стремится

при

т -V

+

0

st

к 2ід~1Г (р), где Re р Д> 0, причем равномерно на

—г

со

г.

Поэтому

наше

утверждение

следует

из

известной

теоремы

о

том,

что

функция,

непрерывная

на в этой области.

Полученный результат в совокупности

с формулой (4) показывает, что существует такое число

тп,

для которого при всех

тп

Д>

m^ \Н

(т,

тп)

\

е также и

на 0

т

Т .

Итак,если

тп

Д>шах

(ma,m^j

, то |

Н (хрп) \

< '

< е при 0 <[ т

оо.

Этим

завершается

доказательство

леммы 6.6.1.

Предположим,

что

и что

Л е м м а

6.6.2.

ср ЕЕ 2> (/)

либо

р = 0

либо

Re р

0.

Для произвольного действитель­

ного

а

значение

о

s

так,

что

числа

>

0

зафиксируем

=

Re

а )> а.

=

о +

іа

и

М г (т) =

Положим s

- ^ - ^

У

s t

ЙГц (s t ) О

cp(i) Y s t Д а (st) dt da.

(6)

Тогда М Т (т)

сходится в Х ѵ.<а к

ср (т)

при г

- у

оо.

—Г

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Ввиду

гладкости подынте­

гральной функции в выражении

(6) и того, что ср se 25 (/),

грала и, использовав равенство (9)CO

и (10) п. 6.2, написать

Sy-, -M t

(t ) =

r

Y s t K y .

(s t ) (

cp

(t) Y st Ip (st) dt da

■ГiSji, T

0

=

^

Ysx

(st) ^ cp (t) s2k Y st (st) dt did =s

—r

ö

Г

со

=

- i-

J / 5 t

^ (st) J Ф (0 sjü,, / s f Tp{st) dt da. (7)

—Г

0

j

/ st

(ST) U / s i

(si)

I ф (<) dt da.

—r

0

интегрирования и, используя

Теперь мы меняем порядокСО

равенство (11) п. 6.2, окончательно получаем формулу

где

Si, М т(т) = $ L T{t, X) Si, tф(£) dt,

(8)

О

=

in

(t»- та) Ѵ У 8*

И

/ st

KV-

(ST) +

L r

Чтобы

упростить

+ T /s£ Ip {st) /

ST Kp+1(st)]

.

обозначения,

мы в дальнейшем

будем

писать ф* (і)

вместо

Sp,t

Ф (£).

Предположим

теперь,

что носитель ф (£) содержится

в замкнутом

интервале

[А , В ],

где

0 <1И < .6 <[ оо.

Возьмем некоторое действительное числот —5 б, т0-f-S<( боо< [ И ,

и разобьем интеграл (8) на сумму интегралов:

Sp, Мт{х)

=

Ѵг

(т) +

Ѵ2

(т) +

Ѵ3

(т) = 5 + т

$ + $ >

і

Ѵ2

Ѵ3

где

и

обозначают

0

—5 х-|-Б

Ѵ ,

t

соответственно

интегралы

по

интервалам 0 <( і <( т — б,

т — б <( і <( т + б

и

т +

б <

<( оо. Сначала мы покажем,

что функция

N r

(т) = еаЧѴ (т)

[Ѵ2

(т) — фл (т)]

г-*-

оо.

равномерно сходится к нулю на 0 < т

оо при

АЕсли

т +

б < ;

А

или т — б >

В ,

то

Ѵ2

(т) =г 0 и фй (т) =

= 0.

Поэтому

достаточно рассмотреть

лишь интервал

— б <( т <( Z? + б-

Кроме того,

мы можем ограничить

область интегрирования

в

(8)

интервалом

А

< т

< ^ В .

Поскольку

s =

о

+

а

іг,

где

а >

0 фиксировано,

о

и

г

->

оо, то I

st

I >

I

±

ir

I

А

оо и I

sx

| > |

+

іг

|

(-<4— б ) -> о о ,

Поэтому

можно

воспользоваться

асимп­

тотическими разложениями

(4), (5) и (6) для оценки

N T

(т)

(действительно,

если s =

а +

гг,

то применима формула

(5) п. 6.2, а если

s

= а —

іг,

то применима формула (6)

всех

значениях

r >

1,

если

б

выбрано

достаточно

ма­

лым,

например,

б =

ба.

Рассмотрим теперь сумму первого и последнего сла­

гаемого5

в (10). После некоторых преобразований эта

сумма запишется в виде

8г

dy — l] ,

^

н

(х, х) sin гх сіх +

е“ЧѴ СО фя- (т)

^

_ Б

-Б г

(11)

где

Н (х ,

т) =

4>к (я + т) еах — фк (Т)

Функция

Я

(х,

eaT;V(f)

(х,

т)

при

х

+

х >

0

т)

непрерывна по

и т > 0

(мы предполагаем,

что

в

точке

х

=

0

она до­

определена по непрерывности). Т ак как supp ф (х) С М

Л

,

то Я (х,

т)

ограничена в области

< В

{(я,

т): -

A I2

< х

< A I 2 ,

АІ2

< т

+

И/2).

Отсюда следует, что абсолютную величину первого

слагаемого

в

(11)

можно

сделать

меньше е/3 при всех

г )>

1,

выбрав

б достаточно малым, скажем,

б = 63.

Да­

лее

в

этом

доказательстве

мы

будем

полагать

б =

= тіп(бі, б2,

б3).

со

Очевидно, второе слагаемое в (11) равномерно сходит­

ся к нулю на 0

< х

< ;

при г —> оо. Таким образом, мы

доказали неравенство

1ішіѴг ( т )^ б .

(12)

Поскольку е >

г-н»

0 — произвольно, то мы можем заключить,

что

N r

(х)

равномерно

сходится

к нулю

на

0 <

х <

оо

при

г —> оо.

Исследуем теперь функцию

т —Б

х) ф* (t) dt.

Р т(х) =

("0 У і (т?) =

е"т/Ѵ СО

S L r {t,

При

X — б ^

А

имеем

Р т

о

нужно

рас­

(х)'= 0.

Поэтому

смотреть

только область

х — б >

А .

Здесь

снова

мы

можем использовать

асимптотическую формулу, так как

И I >

I

±

ir I И - » оо