книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

ле обычного дифференцирования. Доказать, что это верно н в смысле дифференцирования н равенства в Sö' (/), но не справедли­ во, если 5р. понимается как обобщенный дифференциальный опе­

регулярный элемент Ж^.а при любом а > 0.

За д а ч а 6.8.2. Описать метод решения системы дифференци­ альных уравнений вида (1), основанный па использовании Ä -иреоб- разовапия обобщенных функций. Указать, какие условия нужно наложить на дифференциальные уравнения, чтобы обеспечить воз­ можность применения этого метода.

За д а ч а 6.8.3. Пусть ß — комплексное число, не равное

6.9.Прішенешш к некоторым электрическим цепям

спеременными параметрами

13 этом пункте мы используем /^-преобразование для исследования трех электрических цепей с переменными

а, Ь и с обозначены действительные положительные по­ стоянные; р. — любая действительпая постоянная (мы

250

рис. 6.9.1). Из законов Кирхгофа получаем систему диф­

определителя матрицы, составленной из коэффициентов

Теперь мы можем, используя формулы обращения, найти (хотя бы в принципе) два распределения их и и2, удовлет­ воряющие системе (2) в смысле равенства в пространстве З)'(І). Таким образом, qx и q2 удовлетворяют системе (1) в смысле равенства в З)'(І).

Вообще говоря, мы могли бы получить другое решение, добавив к паре glt q2 функцию, описывающую свободные

251

исследовать любую цепь, состоящую только из индуктив­ ностей и емкостей, изменяющихся во времени пропорцио­ нально <2!Х+1 и £~2“_1 соответственно, и соответствующим образом выбранного источника напряжения. Сделав ука­

конов Кирхгофа получаем для переносимого заряда урав­

252

вид

Приравнивая (5) и (6) и разделив на L , мы получим диф­ ференциальное уравнение

Рис. 6.9.3.

положительным числом. Следовательно, полагая и (t) = = V t q { t ) , мы можем переписать уравнение (7) в виде

+ - ^ = « " Mo - (8)

Мы снова получили уравнение, которое можно исследо­

254

при Re s <^0g, получаем

где U(s) = -&.J. и. Применяя к (9) какую-нибудь формулу обращения, находим распределение и (t) и, следователь­ но, распределение q (f) = t~'!i и ((), удовлетворяющее

(7) в смысле равенства в 3)' (/). Как и раньше, получен­ ное решение будет единственным в 3)'{І), если мы потре­ буем, чтобы V и q обращались в нуль на некотором ин­ тервале вида 0 < t <с Т .

З а д а ч а 6.9.1. Проверить, что любая цепь, состоящая толь­ ко из источников напряжения и переменных индуктивностей и

емкостей, изменяющихся во времени пропорционально г2'А+1 и 1 с00тветсхвенн0] порождает (после указанной выше замены

переменных) дифференциальные уравнения, содержащие только оператор S^.

255

Г Л А В А 7

ПРЕОБРАЗОВАН И Е ВЕЙЕРШ ТРАССА

7.1. Введение

Обычным преобразованием Вейерштрасса называется вы­ ражение

(Хилл и Филлипс [1]) и преобразования Хилла (Гонзалес Домингес [1]).

Функция Грина для одномерного уравнения тепло­

Если заменить х на s — х и положить xt = I , то выра­ жение (1) преобразуется к виду

оо

Поэтому преобразование Вейерштрасса естественно воз­ никает в задачах, связанных с уравнением теплопровод-

256

пости (2). Этому вопросу посвящен п. 7.5, где решается задача Коши для уравнения (2) с обобщенной функцией в начальном условии.

Отметим, что выражение (4) представляет собой сверт­ ку. Действительно, преобразование Вейерштрасса явля­ ется частным случаем преобразования свертки (Хиршман и Уиддер [1], стр. 196), которая рассматривается в сле­ дующей главе. Наш способ распространения формулы (4) на обобщенные функции (Земанян [10]) совершенно ана­

Оказывается, что преобразование Вейерштрасса может быть связано с двусторонним преобразованием Лапласа; поэтому некоторые свойства последнего можно перенести на преобразование Вейерштрасса. Действительно, в п. 7.3 мы получим теорему аналитичности, формулу обращения и описание преобразований Вейерштрасса с помощью соответствующих результатов, относящихся к преобра­ зованию Лапласа. В п. 7.4 выводится вторая формула об­ ращения, которая представляет собой обобщение комп­

пп. 7.3 и 7.4.

Спомощью указанного метода можно определить и

ствующим свойствам рассматриваемого ниже одномерно­ го преобразования (см. Куин [1]).

7.2. Пространства W а, ь и W (w, «) основных функций и сопряженные к ним

Обозначим через Wa,b линейное пространство всех комп­ лекснозначных гладких функций ф (т) на интервале

—оо <;т < оо таких, что для каждого р = 0, 1 , 2, . . .

{Хр}р=о — мультинорма в W a,bi и W'o,ь ~ счетно-мульти- нормированное пространство. Обычным образом (см., например, доказательство леммы 3.2.1) можно показать, что Wa,b является полным и, следовательно, пространст­ вом Фреше. Заметим еще, что дифференцирование явля­ ется непрерывным линейным отображением W a,b в себя.

Всюду в этой главе к (ѵ, t) будет обозначать функцию

где Pp (s — г, 1It) — полином р-го порядка относительно \!t и s — т. Поэтому

258

тельно, сужение любой f^ W 'a , ъна W c,d есть элемент W'c,d-

9* 25Ѳ