книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

Т 7 1 = 0

преобразований Фурье.

соответствующих

Аналогичное определение было использовано Джоун­

сом

[2],

который

рассмотрел также асимптотические

свойства

gвыражения f /

(x)eig(x) 1 dx

при

t -f-оо

для не­

(х)

которого

класса

обобщенных

функций

/

и обычных

функций

(х)

при условии существования этого выраже­

ния.

Кроме

того,

Джоунс

получил(х

асимптотическое

разложение

обобщенной(х функции J

—

x 0)l~“

ln (.г —

п

—

*о)+еіл:,ф (x)dx

при

О

),

<

1, целом

п

и

раз диффе­

ренцируемой функции

ер

имеющей необходимую ско­

рость убывания при

I

а;

| —»

оо.

Тем же самым определе­

пользовался

фактически

тем же

самым

определением

асимптотики

обобщенной

функции.

С

Отметим также определение, которое дал Лоясевич [6]

для значения обобщенной функции в точке:

числоф

наЕЕ­

зываетсяЬзначением обобщенной функции /

(из 25' (а,

Ь))

в точке

х 0,

если для

любой

основной функции

(х)

£Е 25 (а,

)

справедливо соотношение

Еlim- - 0

(/

(х0 +

ех),

ф

(х))

=

С

J\ ф(z)

dx.

Н

функции

на

бесконечности, данное

Шварцем

[7]:

пусть

xh

— сдвиг

обобщенной функции

Т е 25'

на

число

h;

обобщенная функция

Т

стремится к нулю на бес­

конечности,

если

xhT

сходится'

к нулю'

в

25'

при |

h \

-»

оо,

т. е. если

(Т ($

4-

h), ф)

-» 0

при

| /і |

—> оо

для

всех

лагающее совпадения ее с обычной,

формулируется ниже

в этом пункте.;

последовательность

обычных

Т

Рассмотрим

функций

{фп (0}і га = 1,

2, . .

заданных на

множестве

точек

ства

Т.

Последовательность {фп}

мы

будем

называть

асимптотической

последовательностью

или

шкалой

при

t —* t

ип t)

I))

t

о,

если фп+1 (<) =

о

при

->

t0

для всех га.

Т.

(

(фп (

Предположим,

что

— обычные

функции,

заданные

на

О п р е д е л е н и е

1

(Эрдейи ІЮ]). Формальный ряд

оо

ип

асимптотическим разложением функ-

П2= 1

(<)

называется

по отношению к шкале

ции и

(

t) при t —+

<0

{ф„}

если

—

N

ип it)

=

о

(фп)

при

t

-*

t0

для

u (t) N .

П2= 1

это

записывается

всех

Символически

в виде

м ( 0 ~ 2 М 0 { Фп)

при

t - + t Q.

Если

ип (t) —

апф„

Н=1

для

всех

га,

где

ап

— постоянные,

it)

и Ц ) — 2

un it) при

t - * t 0.

Кроме того, запись г

it)n = l~

0 означает, что

г

(/)

=

о

(фп(£))

нри

t

t0

tдля всех га.

2

Т

О п р е д е л е н и е

[И]. Пусть каждому значению

параметра

из множества

поставлен в соответствие ли­

нейный

непрерывный

функционал

(/, (

х

),

ср),

а

; Е J?1,

в основном

пространстве

Будем

говорить,

что выра­

жение

fl

оо

°П {х, t)

t - + t 0,

(я) ~

п2

{ф„(0К

(1)

—

где

С п ix, t)

€Е

SP'

1 X

и

зависит от параметра

t,

назы­

по

оо

t), ф(х))

{ф„(0}

при

(2)

(ft, ф )~ S (С„(х,

t~ * t0.

О п р е д е л е н и е

3.

Если

х)

=

/ (/ — х)

и

/, (

t -*

00

асимпто­

при

+ , то выражение (1) мы будем называть

/ (

t)

ЕЕ

З0'

тическим

разложением

обобщенной

функции

t

-* +

оо.

8'

Дальнейшее рассмотрение в целях некоторого упро­

щения

записи будет вестись

гв

пространстве

Шварца

обобщенных функций медленного роста. При этом,

в част­

ности,

мы будем считать, что

(t) ~

0

означает убывание

г (t)

быстрее любой степени

l ! \ t

|. Основные

результаты

в работах

00[11,

12]. Основное внимание было при этом

x)e

где

t

-> +

,

и асимптотическому поведению обобщенных

Т е о р е м а

1.

щенной функции (из §')

всегда допускает почленное диффе­

ренцирование'.

например, если

оо

Сп(х, t) {фп (0},

f(t — х )~ 2

t - + t 0,

то

u=i

А с и м п т о т и к а и а н а л и т и ч е с к и е с в о й ­

с т в а+00.

Коснемся коротко результатов относительно

связи между поведением обобщенной функции

feixl

при

L

—

и аналитическими свойствами обобщенной функ­

Следуя В.

С. Владимирову 113],

будем

говорить,

что

функция

Н~ѵ (а +

е)),

где

р

> 1,

/ (z) е Яр (а + е) (

кости и для любого е

0 удовлетворяет оценке

I/U)

| <

С

(1

+

I z |)0(1 +

\у

Г“)е‘“« )і« ір

С ,

при

некоторых

а

0,

ß

>

О,

z =

х

+

іу.

Известно,

{а

что

еслп / (z) £Е Я *

+іу)е),

то

S '.

Справедлива

v1і-

щ*

/ (я -]-

=

/ (zc —|—іО)

±

o

следующая теорема.

Т е о р е м а

2.

Если

/ (z) 6

(а +

е),

то

f

(х

іО)еы

~ 0 га/ж і -» + оо.

Ясли / ( г ) £ Я р ( а | е ) ,

то

t

/ (я —

іО)еІХІ

~ 0

тгрц

—► —оо.

Известно

также,

что

любая

обобщенная функция

/ 6 І ' представляется

в

виде

(3)

где

/~Ь (z) (Z

/ (я) =

/+ (я +

іО) — /“ (я — іО),

Я ? (е).

Сингулярности

первого

слагаемого

определяют

поведение

jeixl

на

— оо,

сингулярности вто­

ласьрогов—видена + оо.

Точнее,

верна

следующая

представля­

Т е о р е м а 3.

Для

того чтобы

/ е і ’

f

=

r ( x

+

i O ) - M

(я)),

вами коэффициентных функционалов

разложения тина

Пуанкаре

для

обобщенной

функции

feixl.

Остановимся

на

этом

подробнее.

с в о й с т в а

р а з л о ж е н и й

Н е к о т о р ы е

т и п а

П у а(fei8{x)t,н к а р е . (х))\Пусть для

каждой

основной

функции

ф

{х)

£Е S

задано

разложение типа

Пуанкаре

функционала

,

ф

со

(Ф*))',ІІ*’ (0

(4)

( f e l8ix)l

Ф) ~

П

2

t -*

0

—1

§.

при

+

где

g {х) —

мультипликатор в

Функции

О,

ф^1 я ф$Г\

п

=

1, 2,. . .,

образуют шкалы при

t

—> -f- оо

и

t

-*

— оо соответственно.

Сп\

ф) и

Функционалы (

О п р е д е л е н и е

5.

Будем говорить,

что

шкала

{ф'Д} ({фп-)})

М

условию

А

па

+ оо (— оо),

удовлетворяет

номер

что

если для любогоt числа

найдется такой

т±,

Ѵ т і (0

=

О

(Ѵ|

|Л/) при

t

+

оо.

‘ Т е о р е м а

5.

Пустъ

шкалы

удовлетворяют

(а;)

=

х,

iO),

(4)

условию

А .

Тогда

sing supp

разложении

U suppCl^ =

(х -+-

n—i

(3). При этом запись

для f имеет место представление

где

Cn^

=

( - f o o )

или Xsupp,

Cjl±) =

Xsupp< Z . X

(—оо)

означает, что

не

существует

такого

что

=

0

при

х^>

X

или

соответственно, где — оо

■ < X

<

о

о .

Наложим теперь на разложение (4) следующие допол­

нительные ограничения:

1) функции

(і) (А>п)

(0)

бесконечно

дифференци­

Т п

1(t

руемы при

I

>(t) =

< —Гп„);

г

+

о о .

2 )

№

о J p(г)|

р и —

из

Т е о р е м а

6.

Если

выполнены условия

1)

и

2),

то

(4)

существования

разложения

вытекают соотношения

gn

(х)С<±> (х) =

0.

— 1

Если

g

(х) = х, то

(х) =

гг

Спк)0(Л) 0е)»

С л е д с т в и е .

2

п

к=о

где

— комплексные числа,

=

1,

2,

. . . Кроме того,

при выполнении условия

А

sing supp / =

{0}.

Упомянутая

выше обратная задача находит примене­

применяется

к

оценке

поведения

обобщенной

функции

по различным направлениям в

Я п.

(Л,г,

. .

. Д „ )

-

вектор

Пусть

о

=

(стц . .

ап), X

=

Х2,

в пространстве

Я п.

Пусть

{Асимптотическимг|)„ (£)} — некотораяразложешкала­

t

6.

{ф„ (

—>■ -}-оо назы­

о =О п р е д е л е н и е

ниемпри

обобщенной—> —j“ оо.

функции g (о) по направлению X на луче

Xt по отношению к шкале

t))

при t

вается

выражение

(öi 0

{Фп (0)

при

^

+

° ° j

(5)

g (Xt

а) •

П2= 1

где

С п

(о,

t)

(ЕЕ

8'

(Л п)

по

о

и зависит

от

t

как

от пара­

ОО

метра, если при любой

%(о)

6Е

§

(Л?п)

при

t - * + o о.

(g(Xt — б), х(о))~

2

Ф п (в, t), x(ö))

(Фп (г)}

П=1

На основе этого определения нетрудно ввести также

понятия асимптотического разложения по лучу,

не про­

ходящему черезg Fначало координат, разложенияX

в конусеІфі,

равномерного

разложения

2вл)пконусеF

и т. д.

(ст)

=

Пусть

=

[/].

Полагая

тогда,

что

Р

и учитывая соотношение

(

[/tp]

= g*x>

мы

можем

переписать разложение (5) в виде

при

оо,

/ (х) егхХІ

2

Сп (— X ,

t)

{фп (t)}

t - *

+

где

П=1

(а,

*)].

С п X

t)

F -1 [Сп

П р и(м,е р .=

Пусть (ij

&' {М~),

— х2 — Ю)1" — обобщенная функция ив

определенная формулой

і і

К*і -

- «»Л Ф (*і **)) =

Ю)і",

ф

У1~ ~ г J j

(/ -

(относительно функции (y1 —

£0)*" см.,

нанример,

115]).

Тогда

ири

£ —»

-ф оо

еіх}->

М-п

/

—

хг

\

(*і -

гг -

Ю)>"

~ 2 я Г + 1- 1

У --- ------

- 6(п)

£

I

Ѵг

)

Г (— р — л) /£І

Аля X =

- y j

(1, — 1) и (Xl — x2 — iO f eixU ■

0 для всех остальных X.

но части переменных

пли,

в более общем случае,

относи­

тельно плоскости

в

Л п

(см. ниже онределепия 7 и 8).

Это понятие позволяет F

оценить поведение

обобщенной

функции /е‘ и при

I

/

I

->

оо

и, следовательно, поведение

преобразования Фурье

[/I при больших по модулю зна­

чениях аргумента но разным направлениям в

М п.

Отметим

ческого

поведения,

но

и, например, при исследовании

гладкости решений линейных дифференциальныхх'

уравнех т),­

ний с частными

производными

116, 171.

=

(а^, .

.

.,

Введем

следующие

обозначения:

х"

=

(zm+1, .. .,

хп),

Di

=

d/dxi, Dy

=

D l ' ... D »?,

I fc'l = fci +

-

+

km,

Dt:

=

D *,™ 1

...

D ,;\k

|A"|=/cm+1+ ...+ / c n.

обобщенной функции

F

(х)

8 ’

не больше нуля

(s

F

) ^

(

+ 0),U I если) - , v e

(х)

суммируемая

функция

сте­

l x {—Я плокально).

пенного

роста,

т. е. найдется такое

N ,

что

F (х)

(1

+

при этомк

среди производных

D x^ f

найдется хотя бы одна

sx'не допускающаяк

представления

видар

(6)

(pltпри . .

.,

р т)О

2

=

. .

— кт

s (F)

и

/і'і =

.

=

0,

то

будем

говорить, что

(/) =

—

0.

Если

для

любого

=

sx-

•V

(Dx’ f)

0,

то

будем

говорить,

что

(/) =

— оо.

sx

х'

З а м е ч а н и е .

При

т =

п

, т. е. при

— х

,

число

s (/) =

(/)

называется

порядком сингулярности

обоб­

(Я п).

щенной

функции / e

l '

*ЗУ{Яп)

Очевидно, что определение типа определения 7 можно

ввести также в пространстве

и вообще в любом прост­

ранстве, в котором обобщенныеsx-

функции представляются

в виде суммы sx>производных от обычных функций.

Отметимх'"два

(свойствахті,

хтг(/):)

if)-

а)

— оо <

=

(/) <

s (/);

С * ' ,

то Ѵ '

(/) <

V

б)

если

. .

.,

П р и м е р .

Рассмотрим простой пример,

иллюстрирующий оп­

ределение

7

и указанные

свойства

sx,(j).

Пусть

/ (х) 6Е <S*' {31s),

f

(х) =

б (хг — х„) б (г3).

Нетрудно

в чдеть,

что

sx, И) — sx, if) =

— °°.

^

(/) = !,

* ,,,. (/) =

!.

Справедлива

(« =

**** (« =

*(/) = 2-

следующая

I '

(i?n),

wo

т;

Т ѳ о р е м а 7.

і?сли / е

т

п;

а)

V

(А/)

<

s*- (/)

+

1

ири

і =

1, . . .,

б) S ' (öj-

f)

<

sx,

(/)

при / =

+

1,

. . .,

в)

s ,

ф 4 )

=

(У) +

1.

Далее,

£ ) <

max

[sx<(/),

sx- (g)]

ири

л/обых / , g e

г)

Sx' (/ +

e

8'

(Л?п);

мультипликатор

в

8

{-Яп),

т. е.

д) если о о ,

а (х) —

s

f)

({а)

=

—

то

ех<(а

<

(/);

8

если

при

этом

также мультипликатор в

Я п),

одна из функций1/а (х) f—, g E E 8 r {Я п)

является свер-

то sx-

sx-

функция(/);

леме, ) если

называется свертывате-

тывателем {обобщенная(а /) =

если ее свертка с любой основной функцией также

является

основной функцией),

то

13 А. Г, Земанян

369