книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

T/f’ к (Ф) =

x&<

I

D kty {x)

|, i)) e

Ш

sup

(/),

где /с = xv0,-+'i‘1,x-2,v~'/!q>. . . , Xа

К

пробегает все компактные под­

множества

I .

Для любого ер е

Жр

рассмотрим равенство

Ф (ж) =

а^Ѵ* на

К ,

( ).

Если С 0,о — точная

верхняя

грань

то Ѵй.о (ф) <

С 0іоТо,о (ф).

к Кроме того,

для любого положительного целого числа

мы можем

переписать (6) в виде

JJi,

0 ^

bt.

-ч]

D k

х к

a^+V* (а D)Ѵ^Ѵ.-ср

X

ф =

ІгЧ > '

л*н

:"1

шего утверждения.

теперь, что

(/) — под­

Теорема 1.8.2

показывает

пространство

Ж\х

при любом выборе ц.

IV . Положим для любого неотрицательного целого

числа г

Р/(Ф)= max

к(ф).

(8)

0<ттг<г ’

0<Ь*<г

для всех ф £Е

Жр,

I < / , Ф> I < С р ? (ф)

(х)

С и г могутf (х)

зависеть от /, но не от ф.

<

V . Пусть /

— локально интегрируемая па 0

<^х

<

<ооСх функция, причем

имеет медленный рост

при

X

—>■ с о , и функция

x W ‘f (х)

абсолютно интегрируема на

О

< 1 - Тогда / порождает

регулярную обобщенную

функцию / (Е:

Ж

(л,

задаваемую

формулой

>

оо

(9)

</, Ф> = 5 / (х) ф (х) dx.

О

</, ф> = ^ Х^+Ѵг/ (а;)

ф (х) dx +

О

со

^ aj-m+^+v.f (X) £,П-Н-Ѵ> ф (a;) dx.

1

I < / .

Ф > | <

T1g ;X ^о (fф )( * 5) dI Ix +

'I 'm , О ( Ф ) X

о

X

соI x~m+^ '!tf (х)

I

d i ,

^

откуда и следует наше утверждение.

1

З а д а ч а

5.2.2. Выше (свойство II) показано, что

С &бу.

Доказать,

что топология

сильнее топологии, индуцированной

на Збу. пространством Sfß^.

З а д а ч а

5.2.3. Пусть / — распределение, носитель которого

содержится в .X < а; < оо (X

>

0). Показать, что / £

тогда и

только

тогда,

когда / 6Е <!?'.

Далее показать, что любой

элемент

/ 6Е Зб'у.

совпадает с некоторым

распределением медленного роста

в области,

состоящей из тех элементов <!?, носители которых содер­

жатся в X

< X

< оо.

х

1 + 1

«У

ограниченоÖна 0 <

<

А

I

оо. Произведение любых двух эле­

ментов из

снова принадлежит

Ö

(докажите это).

Любая функция Ѳ е б

является мультипликатором в

М у .

при всех |.і. Действительно,

для ср £Е

М у

(х ~ Щ кх-^ / 80ф =

2

( М

1 +

X

Ѵ

(1 +

*"») ( х - Щ

^ х - ^ ,

так

что

ѵ=0 >

'

В кмп, д е ф К

к

( t ) *

. ! +

, - > )

+

■ т£

игѵ,

у2

к

к

—О

'

*

( Ф ) Ь

где

— постоянные. Отсюда

следует, что линейныйМопе­

ратор ср и-*-

Ѳф определяет

непрерывное отображение

у

в

себя. Утверждение доказано.

2.5

сопряженный

оператор

/ -

В силу

результатов

пМ. у

Ѳ/, определенный

на f €

формулой

і у

<Ѳ/і Ф>==</!

Ѳф>,

=My ,

ф

€ЕМу,

0 G 0 ,

(1)

осуществляет непрерывное

линейное Оотображение

М у

в себя. Подчеркнем, что

пространство

не зависит от р;

принадлежитЛ е м м а 5.3.1.О .

Если Р

(х)

и Q

х)

—

полиномы и Q

(х)

х

(

x2)IQ

не имеет нулей на

0 ^

< С °°,

то функция Р

(х2)

Р(

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

что

(х2) 6Е

О .

ПосколькуЕЕ О .

произведение двух

элементов

О

также

при­

надлежит

Ö ,

нам нужно только показать,

IQ

(х2)

ЕЕ.

что 1

IQ

Это

можно

сделать,

применив

оператор

(х-1/))ѵ

к 1 (х2). Мы приходим тогда к рациональной функции

вида

УМ*1)

’

где

N v

(х2) — полином,

[Q(*=)]v+1

которого

меньше,

чем

степень

степень

(х2)]ѵ+1.

Следовательно,

функция

ограничена

на 0

х <

оо,

что

и доказывает лемму.

Умножение на целую степень х.

Для любого положительного или отри­

Л е м м аявляется5.3.2.

изоморфизмом

Ж ѵ

на

Следо­

цательного целого числа п и любого

р

отображение

>->- х" ф (х)

равен­

вательно, оператор

/ (х) >-<-

определенныйФ (х) ь>

ством

х71/ (х),

<хп/ (х), ф (х)> =

</,

хп

ф(х)>,

(2)

задает

изоморфизм Ж

\*+«

на

о.

Если ф е ^ ц

то у™*« (я"ф) =

Д о к а з а т е л ь с т в

торы.

Определим два линейных дифферэнциальпых опе­

ратора

Ny.

и

Му.

и линейный интегральный оператор

N\

I1

формулами

Nyip

(х) =

х^+'!г Dx'^-'^ty

(х),

(3)

зг^-'й DxV

М(хф (х) =

-+'!tф (х), dt.

(4)

/Ѵ^ф (х) 4

X1"и/* 5 Г^'^ф (0

(5)

X

—' оо,

II поэтому на

любой ср £=

Ж^+і-

Кроме того, опе­

раторы

Np

и

N

jl1

являются

обратными

друг другу,

ес­

ли функция ср и ее производные непрерывны на 0

х

°о

и быстро убывают при

х

-■

оо;

таким образом, наше обоз­

начение оправдано в случае обычных функций.

Оператор

в

осуществляет непрерывное линейное ото­

бражение

Жу.

S^fx+i,

так как очевидно,

что ут,\ (А 1Хср)

С

?ш,

к+і

(ф) Для всех

ср е = Ж

у.

и при любом выборе

т

и ft.

=

стороны,

Жрнепрерывное+і

другой

iVjl1 задаетх

линейное ото­

бражение

Жу.+і

в

Жу.\

мы докажем это в два этапа.

Предположим,

что ср ( )

£Е

и ft — фиксированное

положительное целое число. Тогда

^ Г^-'/чр (t) dt =

(аГ^^Н -Ѵ -ЛуѴр^) =

Следовательно,

=

ОО(pT^-DY^xr

(Ф),

А =

1 ,2 ,

m

=

ІА-*/»ф(а;).

Tm, k (iV^cp) =

3 ,...;

0, 1, 2 ,...

(6)

Аналогичный результат для случая ft =

0 может быть по­

лучен следующим образом:

(а:) | <

хт

ОО

(t)

|

dt

<

ОО

$ | г^-Ѵчр

X

<

Ф (9!

dt

<

оо

1

^

(гт+1 +

im+3)

cp

it)

dt

<

$ I

05

X

sup

I^ m+1 + fm+a) г_|Х“ ''!Ф(0 1•

<

\ r r w

CO I

I

Поэтому

V

X

*•

0<l<OO

~

m

=

0, 1, 2 ,...

(7)

Tm. о (ІѴ^Ф) =

[ С Л , о (ф) +

С

о (Ф)Ь

Формулы

(6)

и (7)

доказывают, что ср >->-

ср есть непре­

рывное линейное

отображение

Жу.+і

в

Жу..

друг

другу,

N^1

Так

как

операторы

Жу

и

Жу

обратны

то

мы

можем заключить, что

Ny.

осуществляет взаимно

однозначное отображение

на

+1‘,

то же самое можно

сказать

и

об

операторе

Ajl1, отобраисающем

Жу+і

на

Ж у.

Таким образом, мы доказали, что

Ny

определяет изомор­

физм

Жу+і

на

Жу,

причем

N y1

— обратное отображение.

ОбратимсяЖуѵ

Жтеперьу

к

оператору

М у

и Eдокажемr Ж уп

,

что

Ф

>->- М^ф

1является к

непрерывным линейным

отображе­

нием

в

т

•

Действительно,

для ф

и

при

любом выборе

и

имеем

к

(^Н-Ф) —

SUP

I

х'п (x~1D)kx -2V~1Dx'2^'lx-\l~'bq> X)

I =

’

=

0<Ä<oo

(a;) +

sup

I (2p. -f- 2)

4 - xm {x~xD)kx2 (x^D) ж - 1х- 5/1ф (ж )

I

==

(x)

= ... =

sup

12 (p 4-

k

+ 1)

xm

+

(х-11))йаг^А-’/«ф

0<ж<оо

4- zm+2

(x~lD)k+1x-v--'/’<p (x)

I

+

O

,

t+i (Ф)-

+ fc +

l) т

< 2 ( p

^1, (Ф)

Отсюда и вытекает наше утверждение.

В

сопряженныхNy,

пространствах мы следуем соглаше­

нию об обозначениях, принятомуМ у,

в п.

М2.5,у

и определяем

оператор

когда он действует на обобщенные

функции

как

сопряженный к —

а оператор

при тех же об­

стоятельствах

опеределяемЖ как

сопряженный

к

—

Ny.

Или,

подробнее:

Ny

определяется как обобщенный диффе­

ренциальный оператор на

у,

действующий по формуле

(.Nyf, Ф) == < / , — Му(ру, f

Жу, срЕЕЖу+х-

(8)

Следовательно,

/ н->- N yf — непрерывное

линейное

ото­

<Myf, ф) =

( / ,

— N(о.ф), / ЕЕ Жуп, Ф

Жу-

(9)

Поэтому /

і-у M yf

есть изоморфизм

Ж уп

на

Жу-

Как было указано в п. 2.5, читатель должен интерпре­

тировать символы

Ny

и

М у

в соответствии с тем,

приме­

няются ли операторы к обобщенным или

к основным

функциям (никаких других

возможностей мы не рассмат­

Ж у d Ж ' у ,

в этом случае обобщенный оператор

N y ,

дей­

ствующий на

Ж у ,

может быть отождествлен с обычным опе­

оператора

М у ,

действующего на

Ж у + Х

(см. задачу 5.3.2).

Мы суммируем полученные результаты в виде следую­

щей леммыОбычный.

дифференциальный

оператор N y ,

опреде­

1)

ленныйЛ е м формулойм а 5.3.3.

(3),

осуществляет

изоморфизм

Ж

^

на

Ж у + Х,

причем

является

N y 1.

обратным оператором

2)

Обычный

дифференциальный

оператор М

ц,

опреде­

Ж у \ Х

в Ж у

ленный формулой

(4),

осуществляет непрерывное

линейное

отображение

ренциальный оператор равенством

/ е

ф е

(Ю)

< M y j V y f , ф> = </, м ^ ф > ,

Ж ' у,

Ж у ,

З а д а ч а

5.3.1. Показать, что произведение двух

элементов

из © также принадлежит ©.

З а д а ч а

5.3.2. Пусть / — основная' функция

из

и

Рис.

5.3.1.

частям. Это

означает, что при

указанных условиях

обобщенный

оператор

можно отождествить с обычным оператором

Соглас­

Y x y J y (ху)

=

О

(ж^+Ѵ»)

при

ж — + 0

и

Y x y J y (ху) —

=

О

(1) при

X -*

оо

(Яыке,

Эмде и Леш [1]).

В дальнейшем

мы всегда будем считать

х

независимой переменной функ­

ции

cp

еЕ Жу,

а

у

—Пустънезависимой

переменнойЕсли

преобраЖ у, то­

зования Ганкеля Ф =

ф^ср.

р ;> —Ѵо.

ср е

Л е м м а

5.4.1.

(2)

Фк+і(— «Р) =

^ ^ Ф .

С Ѵ і М*Ф) =

— ЙѴР,

(3)

SV (—

ж2ср)

=

MyN(X^cp,

(4)

Ж\4-11

©ц

(MyNyср)

=

— у~$уср.

(5)

Если

cp 6Е

J

то

(і Яфх ф ))

==

М^^х+рр.

,

((6))

(

М

щ - х ф

7

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Равенство(2)

устанавли­

вается на основе формулы

—x y - v -J^

(xij)

Е ѵ У ~ ^

U>

у)

=

(8)

(Янке, Эмде и Леш

[1]) и дифференцирования под знаком

интеграла:

ОО

X Е ѵ [yо о -PJ(л(ал/)] dx =

D vy-v-'/*l> (у) =

\ ф (ж) Y

(9)

О

=

— § ф (х) х^у-іѵ^+і (ху) dx.

Такое дифференцирование

о

Действительно,

допустимо.

при

р, > —Ѵ2

+1 (ху)

— гладкая

ограниченная на 0 <

/(х

<хг/

<С оо функция,

а ф

(х)

ж3/*

согласно лемме 5.2.1 при­

надлежит

(0,

оо),

если

Жу-

Следовательно,

ин­

Ф СЕ у

теграл в правой части (9) сходится равномерно на любом

компактном

подмножестве

0 <

<

оо.

Умножая (9)

на

г/^+7», мы получаем (2).

Ny

Жу\\,

Чтобы получить (3), заметим сначала, что согласно

лемме 5.3.3 (1),

функция

.ф принадлежит

поэтому

£Ѵ+і (^Vp)

=

У У \

(ху) dx =

О [ДдЛ-і'-'-Чр (а;)] а.-Н-1/^+i

=

со

Ф (я)Уx y J р+і {ху) |^1“ 0 — у \ ф(х) /ж у/р {ху) dx.

о

ср (ж)

бы­

Внеинтегральный член равен нулю, поскольку

стро убывает

при

х

->■

оо,

а при

х

—> + 0

|^жг//р+1

(ху)

=

=

О (х)

и

ср

(х)

= О (1), если р

—*L-

Это доказывает

формулу (3).

теперь,

что

ср £Е

1

у)

=

Допустим

и положим Ф (

= фр+1 [ср (а:)].

Формула (6)

выводится при помощи диф­

ференцирования

под знаком

интеграла

и использования

формулы (10), если предварительно поменять ролями ж и

у:

DyyV+Ч'Ф (у)

=

ОО

{х) Ѵ х Dy

j

h j

V+

i {ху)] dx

=

оо

5 ф

[ /^-

=

о

(11)

§ ср (ж) sftyP+iJy. {ху) dx.

Эта

выкладка

о

поскольку

при

р

—1/2

справедлива,

функция

У

ху

/р

{ху)

является гладкой и ограниченной на

0 < ж

у

< о о ,

а

жср (ж) £Е ЬДО, оо)

в силу леммы 5.2.1;

следовательно,

интегралу~Р~'Ігв правой части (11) сходится рав­

номерно на каждом компактном подмножестве 0 <Е

у

< оо.

Умножение (11) на

дает (6).

на лемму

5.3.3

(2) и

Чтобы

получить (7),

сошлемсяу

применим fpjx

к

Му.

ср. Интегрирование

по частям и исполь­

зование формулы (8), где ж и

поменялись ролями,

при­

водит тогда к равенству

оо

.'Дл(Мц.Ср) =

У

У

5 [Аг-Ж^'Чр (ж)]

{ху) dx =

оо

о

\

ф

{х) У х у

/р+і

{ху) dx.

= ф(я) У ху /р {ху) | Г “ 0 + У о

что

Так как

р

—1/2, то

из

леммы

5.2.1 получаем,

ср (ж)

=

О

(ж)

при ж -»

+ 0

и

ср (ж)

быстро убывает

при

ж —» о о .

Кроме

того,

функция

У х у

{ху)

ограничена