книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

t

=

to, .

. .,

tn )

ее

Я п

и / —I .непустое открытое

Пусть К

Ц 1;Я п

множество

в

(допускается

случай

I =

Я п).

Далее,

пусть

— компактное

подмножество

Обозначим через

к

25 (/) множество всех комплекснозначных гладких функ­

ций, определенных

на /

и обращающихся

25в кпуль в тех

точках

I ,

которые

не принадлежат

К .

Если / =

Я п,

то

это множество3)будетк

обозначаться

через

-

Мы

уже

частично рассмотрели 25н в примерах

предыдущей главы.

Множество

(Л является линейным пространством

умножения

на

комплексные

числа.

Нулевой элемент

в

25н (/) — это

Кфункция,

тождественно равная нулю

на

I .

Мы обозначим ее через 0

(вместо прежнего обозна­

чения 0 ) . Если

=

{

t:

I

t

I <

1} и

I

— любое открытое

I

множество,

содержащее

К ,

то примером элемента 25/с(/)

является сужение на

функции, определенной равенством

(1)

и. 1.3.

Для

любого

неотрицательного целого числа

Т а (ф) = sup I D\ р (t) |, ер е ЗЗк (/)•

(і)

То (фѵ —

ф Д

= s u p

I ср, (<) —

фц ( і) I - > О,

іеі

когда V н |і стремятся к бесконечности независимо друг

от друга. СледовательноI .

,

согласно

известной

теореме

предел ф последовательности{33к

{фѵ} есть непрерывная

функция

на

Повторно

используя

Iдругую.

известную

теорему, мы видим, что

фѵ} сходится на /

к функции

25А'ф,

ѵкоторая также непрерывна на

к

Таким

образом,

Ф принадлежит 25к(Л> и

ПРИ

всех

у ь ( ф ѵ — ф )-» -О,

когда

сю. ЭтимIдоказательство завершается.

Мы обратимся теперь к определению пространства

функций 25 (/),

где

снова{/£TO}ft=1обозначает некоторое непустое

открытое множество в

Я п.

Если

I =

Я п,

то мы обозначаем

I ,

25 (/) через 25. Пусть

— последовательность ком­

пактных подмножеств

обладающих следующимиК т.

двумя

свойствами:

К х CZ К 2 CZ К я с : .

.

.;

2) каждое

ком­

1)со

I

пактное подмножество

содержится в одном из

Следо-

вательно,

I

=

(J

К т.

Такая последовательность

сущест-

7 П = 1

I

вует

для любого непустого открытого множества

(см.

задачу

2

.

2

2

3)кт

.т).< р ,

то

(/) CZ 25/^ (/). Кроме

того,

все

ктЕсли

25

(/)

имеют топологию,

порожденную одной и той же

мультинормой, а именно {yft}, где

y h

определены форму­

1

и

к

пробегает неотрицательные целые числа в

Я п.

лой ( )

Таким образом,

мы можем построить строгое счетное объе-

00

3)к

{!)■

динение пространств 25 (/) =

U

т

По определению,

т=і

последовательность {cpv}SLi сходится

в

25 (7), если

все

Фѵ принадлежат некоторому

3)кт

(7)

и {фѵ} сходится по

мультинорме {у)(}. Пространство

25

(7)

не зависит

от

Обратимся

теперь

к

сопряженным

пространствам.

Символ 25к (7)

(пли 25к,

если 7 =

Л

п)

обозначает прост­

ранство, сопряженное

к

(7)

(или

соответственно

к 25

к 25к).

По теореме 1.8.3 25/с (7) полно. Кроме того, так

как у

0

— норма в 25к

(7), то из теоремы 1.8.1 следует

Т е о р е м а

2.2.1.

Если

D k

то

существуют

такие/ GEчто для(7),всех

положительная постоянная С и неотрицательное целое

число г,

зависящие от /,

С o<|/c|<r,

le j

D kq>

ф ЕЕ 25к (7)

2

I </, Ф> К

max

sup I

(f) |.

( )

25' (7)

(или

25')

— это пространство,

сопряженное

к строгому счетному

объединениюраспределениямипространствна

I 25 (7)

(соответственно

25);

по

теореме 1.9.2 оно

также

полно.

Элементы

25'(7)

называются

или

просто

распределениями.

(Элементы пространства

25'/f(7)

Т е о р е м а

2.2.2.

Если К

—

компактное множество,

содержащееся

в I ,

и f

ЕЕ 3)' (I),

то существуют

поло­

жительная постоянная С

и неотрицательное целое число

г, зависящие от f

и К , такие, что для каждого

ф

3)к (I)

выполняется неравенство 2

Я d

I ,

Если Я (t)и

/ — открытые

множества, причемI

то сужение /

е

®1

(/)

(

).3)

(Я)

принадлежит

3d'

(Я).

на

Пусть /

— локально

tинтегрируемая на функция.

Она

порождает

в

3)'

(/)

распределение (которое

также

обозначается через / или / ( )) по формуле

</. Ф> =

lf(t)q>(t)dt,I

ф <=3d(I).

Действительно,

очевидно,

что эта формула задает линей­

ный функционал на

3)

(/).

Его непрерывность следует из

неравенства

$j

I / (О I dt sup I ф (г) I = 51/ (О I *То (Ф)>

I </, ф> |<

где /

обозначает

носитель ф.

J

одно­

Существует взаимно

распределения называются

регулярными.

г (Я) не может

быть

соот­

I

Если распределение /

несено указанным образом с локально интегрируемой на

функцией,

то 1/ называется

сингулярным.

Примерами1 10 1

являются

сингулярных1

8

распределений

б-функция

(см. пример

.

. ) и ее производные (см. пример .

. ).

рассмотрен в другой

книге

автора (Земаняи

[1],

п.

1. 4 и 2.5).

t)

иt.

Как обычно, мы будем использовать обозначение / (

для регулярных и для сингулярных распределений. Эта

запись не означает, что / является функцией переменной

Это просто удобный способ указать, что основные функ­

ции, на которых задано /, имеют

t

в качестве независимой

переменной.

3d'

Носитель распределения на / определяется следующим

образом.

Говоря, что

распределение / GE

(/) равно

нулю на

открытом подмножестве

J

множества

I ,

если

</, Ф > =нулевым0 для

всех ф ЕЕ 25 (7). Объединение N всех

Nоткрытых подмножеств 7, па котором / равно пулю, назы­

вается

множеством Nраспределения;

/. Множество

открыто, как

объединение открытых множеств. Кроме

того, / также равно пулю на

этот факт

Ітребует довольно

громоздкого доказательства (см. Шварц [1],

т. I,

стр. 26—

28, или Земанян [1], и. 1.8). Дополнение

\

N

множества

N в I

называется

носителем

/ и обозначается

supp /.

Та­

ким образом, носитель / ее 25' (7) — это наименьшееT

замd l­

кнутое подмножество S (в /), на дополнении к которому

распределение / равно нулю. Если

подмножество

содержит носитель

распределения

f

2)'

(7),

то говорят,

что /

сосредоточено на Т.

3)'

(7) является множест­

ЛОтметим, что носитель / ЕЕ

вом, замкнутым в 7; однако он не обязан бытьt

замкнутым

в

п.

Например,

если

I —

{t

: \ t

| <

1}, то

1функция,

1

удовлетворяющая условию / (/) =

на

|

| <

,Л опреде­

ляет регулярное распределение в 25'(7). Носитель/совпада­

ет с 7 и, очевидно, замкнут в 7.

В то же время в

п

носи­

Пустътель не замкнутсовокупность.

открытых

множеств,

Распределения обладают еще одним важным свойством.

{/jn} —

7 —

объединение всех J m и на каждом У т задано распределение

/та ЕЕ 25' (/т )-

Предположим, что если два множества J m и J v

имеют непустое пересечение, то сужения f

m и f

v на 2

-^совпадают. Тогда существует одно и только одно рас­

пределение

сужение

которого на все

т) рав-

/ €Е 25' (7),

(J ) (/т П

HПb i/f m .

7 =

Л п

І ф

Я25п,

Доказательство в случае

при

дано в кнпге Зе-

маняна [1],

п.

1.8.

Доказательство

по

су­

ществу,

не

отличается

от

приведенного

там (см. также

Шварц

[1],ЕЕт. I,

стр. 26—28 или Фридман [1],

стр. 59).

Следствием сформулированного свойства является то,

что для /

25' (7)

и ф Е

25 (7)

величина

</, ф>

зависит

только от значений, которые

ф

принимает в любой ок­

рестности

supp /

(Земанян

[1],

п.

1.8).

Таким

образом,

если Ѳ

— любая

гладкая

функция

на

7,

тождественно

равная ф

в некоторой

окрестности supp /,

то мы можем

=определитьШ| г I < а} числопоказать, что всеформулой(к = 0,

1, 2,

. I. .), определенные

< /, 0 >

< /, Ѳ )

Д

< /, Ф > .

З а д а ч а

2.1.1.

Для

случая

t (ЕЕ 91х,

=

91х

и

К =

ность {Äm‘}m=i компактных подмножеств /, что К 1С

К г С К 3 С ...

и каждое компактное подмножество содержится в

одном из К т.

У к а з а н и е .

Замкнутым рациональным интервалом в £Яп

назовем множество

вида

{г: яѵ 4^ <ѵ ^

Ьѵ, ѵ =

,

,

. . ., л}, где

tv — компоненты t,

а„,

— конечные

рациональные1 2

числа в З і 1.

Использовать этн факты.

З а д а ч а

2.2.3. Пусть

<р — гладкая

функция и

50, * ( Ф ) =

sup

I Ѳ (f) Х)*ф (01,

где Ѳ — любая

гладкая

(&s?n

на З іп

н к — неотрицательное

функция

функций ер на £Яп , для которых к (ф) < со при любых допустимых

0 и к. Показать, что совокупность£ 0

S всех

к определяет мульти-

Как

и

раньше,

t

будет обозначать переменную точку

в

Я п,

а

I

— открытое подмножество

Я п.

Символом

ё (I)

ких

функций

наt

I .

Если

I

=

Я п,

то

мы

будем вместо

I

ё I

писать

простоё

ё .

На

рост функций

ф (f) е

ё

(/)

( )

при стремлении к границе

не накладывается никаких

ограничений,

(/) — линейное

пространство с

обыч­

ными определениями. Кроме

того,

3)

(/)

содержится

зательству,

проведенномуS

для 25к (7).

ДействительноR .

, как мы сейчас покажем, та же топо­

логия порождается в (7)

счетнымК подмножествомг,С2 K 2 CZ К 3 а

муль. . ­

тинормы

Пусть {-Km}m=i — такая последовательность

компактных

подмножеств

7, что

.,

из

К т.

Топология,

порожденная

счетной

мультинормой

{ук

5 =

, k}m,

ft* совпадает с топологией, порожденной Л.

В самом деле,

очевидно,

что первая слабее второй. Обрат1

­

но, дляyxtkлюбого компактногоУкт,

подмножества

К

d

7 сущест­

вует

такое

К т,

К

d

К т.

Тогда для

всех

ф е й

(7)

(ф)

<5что

имеем

ь (ф)- Следовательно, по лемме 1.6.3

Л-топология слабее

5-топологии.

Тем

самым

паше

ут­

верждение доказано.

Отсюда вытекает,

что

S

(7)

является

полноты, пространством Фреше.

сходится

в

S

(7)

S

(I)

и

Последовательность

{фѵ}^=і

тогда

только

тогда,

когда

все

фѵ

и

ф

принадлежат

Ж х

и

для любого

неотрицательного

целого

числа

к

ЕЕ

последовательность { Л^фѵ}^

сходится к

D

kф

равномер­

но на каждом компактном подмножестве

К

d 7.

Это

определение сходимости, очевидно, слабее, чем данноеS

для

25 (7);

другими

словами,

если

последовательность

сходится

в 25 (7),

то

она

обязательно

сходится и

в

(7)

к тому же самому пределу.

S

Кроме того,

3)

(7)

плотно в

(7). Чтобы доказать

это,

предположимК

К

— любое компактное

подмножествоJ

, чтоJ

7.

Возьмем открытое множество

/ , удовлетворяющее ус­

ловию

d

/ d

Xd

7,

где

/

обозначает

замыкание

(доказатьК X ,(t)что

это возможно).

Тогда

существует

такая

гладкая функция

(<),

определенная6

на 7,

что

X (t) =

1

укна, к

и

=к,к0 вне /

(см.,

например,

Земанян [1],

п. 1.8,

лемма 1).

Далее,

для

любой

ф

S

(7)

и любогоS

к

имеем

=

У

(ф)-

Так

как

Хер d

25

(7),^

то

отсюда

легко вытекает,

что каждая

окрестность ф в

(7)-тополо-

№К Ф е

Ш (I);

Т ( ф —

Ф)

< вѵ, еѵ > О, V = 1, . .

т),

где

— неотрицательные целые числа в

Л п

и

К ч

— ком­

пактные подмножества 7,

неКобязательно отличные друг

от

друга.

Полагая

т

ѵ

и построив

X

указанным

К =

Ѵ(J

выше способомS

= 1

, мы находим, что Хер есть элемент шара.

ЭтоS доказывает утверждениеI — Л п, .

пространство,

S'

S'1

Через

(7) обозначается

сопряженное

к

(7).

Если

то

обычноS'(I)

пишут

вместо

(/). В силу теоремы 1.8.3

пространство

$'(І)

полно.

Кроме того, согласно теореме 1.9.1,

является подпрост­

делений из

S'(I).

Пустъ

/

I ). Для того что­

Т е о р е м а 2.3.1.

ЕЕ

25' (

бы

/

€Е S' (7), необходимо и достаточно

,

чтобы носитель

литьS

на

S

(7)

по

формуле

</, ср>

S=

(7)</, Х'р>

для

любой

функции /

ЕЕ S

(7).

Очевидно, что

функционал

/

линеен

на

(/).

Его

непрерывность

на

вытекает из того

факта, что

Хсрѵ

0

в 25(7),

если

фѵ - > 0

в

S(I).

Следо­

вательно,

/ GE $'(7).

Необходимость.

Пусть {7£т }т=.і — последовательность

К х

К 2

К 3

компактных подмножеств

7,

удовлетворяющаяК т.

условию

d

d

d . .

.,

и пусть

каждое

компактное

под­

множество 7 содержитсяD (7),

в одном из

Предположим, что

носительК т,

/ не компактен. Тогда для

любого

т

найдется

функция фт ее

обращающаяся в нуль в окрестно­

сти

для

которой

</, фт ) ч ^ 0 -

Положим

Ѳт =

=

Фт / </, Фт)•

Тогда </, Ѳ т)

=

1

ДЛЯ ВСѲХ

771.

Но

ПО-

следовательность

0т}

сходится

7в

S

(I)

7так какК т

{

К т\к нулю,

каждое компактное подмножествоК т

7 пересекается

толькоS'

с конечным числом

множеств

7.

\

здесь/ ЕЕ \

(7),

обозначает

дополнение

к

в

Поскольку

то

</, Ѳ т ) —>- 0

при

т - * - о о .

Полученное

противоречие

З а д а ч а

2.3.1.

Показать,

что <£ (/) полно.

З а д а ч а

2.3.2. Пусть дано компактное подмножество К

открытого множества / С

;

показать,

что существует такое от­

крытое

множество

J ,

что

К С

/

С

7 С I .

З а д а ч а

2.3.3. (а) Пусть @R п обозначает пространство глад­

ких комплекспозначпых функций на

носители которых огра­

ничены

справа

фиксированным

положительным

целым числом

п (т. о.

supp cp (г)

содержится

в полуинтервале

— с о < г ^ г с ) .

к (ф) =

sup

I D k ф (О I, т = О, 1, 2, ...; к = О,1, 2, ...

’

—т < 1 < СО

Показать,

что

п — полное счетно-мультипормировашіое про­

странство.

д

03

(в) Показать,

что @R — U @r п станет полным строгим счет-

ным объединением

пространств, если в нем ввести естественное пра­

п=1

вило сходимости.

также, что

SD плотно в @д .

(с) Показать

символом 0

(а не 0 , как в п.

1.3).

Щ

Отметим,

что пространства

3)к

(7), 25

(7) и

(7)

удов­

летворяют условиям 1, 2

п 3. Таким образом, элементы

пространств

3)'к

(/), 25'

(7)

и $' (7)

суть

обобщенные

функции.

I )

В отличие от термина «обобщенная функция» названиеЯ п

«распределение» мы сохраним для элементов

25' (

(где

7 обозначает теперь любое открытое

множество в

)

ми,

поскольку 25к (7) не

содержит

25

(/). Кроме

того,

между 25' (7) и подмножеством

3)'к

(7) нельзя установить

взаимно однозначного

соответствия;

папример,

если

7 =

Я 1 я К

— интервал вида 1 ^

t

^

2, то и б (£) и нуле­

вой элемепт 25' имеют одно и то же сужение на

3)к-

[12]),

В некоторых работах

(Земанян

[2]

— [6], [9],

на которых основана эта книга,

мы использовали термин