книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

строгое счетное объединение пространств6

является линей­

ным пространством с секвенциальной ^-сходимостью. Чтобы

проверить, выполняется ли аксиома

п.

1.4,

предполо­

жим,Ѵчтот,

срѵ не сходится к ф в

2У

при’ ѵ

оот. ,

Это может

произойти только в двух случаях: не существует простран­

ства

все

содержащего

все фѵ,

) для любого

для кото­

рого

фѵ £Е

и

ф GE

последовательпость {фѵ}

не сходится в

Ѵ т

к ф.

В первом случае выберем из {фѵ} элемент фѴі, не

принадлежащийѴ т.

Последовательность,

получающаяся

после исключенияъ фѴі,

также не содержится ни в каком

Выберем из нее элемент фѴі,тне содержащийся в

и,

следовательно,

Ѵ 'і

. Продолжая этот процесс и полагая

не

= фЧ(А, находим для каждого

некоторый элемент ф^.,

содержащийся

ни

в

каком

пространстве

при

1

Р

^

т]

другими

словами,

не

содержит

фц, ес­

^(.1

ли

т.

Таким образомѴ'т ,

мы получили

последователь­

ностьV

{фц}, все подпоследовательности

которой

не

со­

держатся

ни в каком

и

поэтому не

могут

сходиться

в

к ф.

аксиома

6

р

Следовательно,

выполнена. Ѵ'-р.

Во втором случае обозначим через т

наименьшее целое

число,

для которого

все

ф„ £Е

и ф ЕЕ

р.

Тогда

все

фѵ и ф принадлежат

для любых

Кроме того,

в

Ѵ'р

существуют окрестность ѴQ'рp

элемента ф и подпосле­

довательность {ф(л} из {фѵ},

такие,

что

£$= Qp при

всех ц.

Но так как топология

совпадает с топологией,

индуцированной

на

Ѵ ѵ

пространством

Ѵ'т (т

р),

то

в

Ѵ'т

должна существовать по крайней мере одна окрест­

ность

Q m

элемента ф,

для которой фц, QË Q m при всех М'

(действительно, выберем Q m такой, что ее пересечение

Ѵ ѵ

совпадает с Qm; по крайней мереѴ

одна такая окрестностьт р

Q m существует).

Таким

образом,

никакая

подпоследова­

тельность {фР.}

не сходится в

*т

к ф при

любом

6 )>

и поэтому не сходится в

W.

Следовательно,

аксиома

удо­

влетворяется.

объединение пространств, не обяМ­

М аПустьV плотно— счетноеV",

зательно

строгое.

Мы будем говорить, что подмножество

в

М

если для любого

элемента ф ЕЕ

найдется последовательпость1 6.2{фѵ}, все

элементы

кото­

рой

принадлежат

и

которая сходится в У к ф.

Это

определение в

силу

леммы .

согласуется с ранее дан­

П р и м е р 1.7.1.

Рассмотрим

счетно-мультинормировапМыб

пространства 2 К и 2

Jt

где К и J

— компактные подмножества

ТГк(ф )= sup \D h<p(t)\.

(1)

Пусть

теперь

— последовательность

компактных

СО

сфер в З У ,

таких,

что К х С

К 2 С

Къ С

... и З У 1 =

(J

К

Мы мо-

жем положить, например,

К т =

{(:

| / | <; т }.

т = і

2)

Пространство

определяется как

строгое

счетное объединение

пространств,

по-

рожденное пространствами 2 К . Это означает, что 2

=

ОО

U 2 К ,

т

'

7П=1

т

ность

компактных сфер, такую, что

d J 2 d J з С ...

ОО

и З У 1 = U

Jm i то нашли бы, что 2 состоит из тех же элементов

и что

тп=1

сходящиеся последовательности точно те же, что и в рассмот­

ренном выше случае.

В

силу

леммы 1.7.2 последовательность

{<рѵ} сходится в 2

Пусть

V 1

— счетио-мультинормпрованиое пространство.

Правило,

по которому каждому элементу ср

е

=

V 1

ста­

lim </,

срѵ> =

</, ср>.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Необходимость очевидна1 6 2

Для доказательства

достаточностиV

мы

используем тот

факт, установленный при доказательстве леммы

.

. ,

что

для любого данного ср ее

найдется последовательность

шаров с центрами

в ср,

для

которой

С х ZD

2 ZD

U С 3

+2С

ID . . .

и каждая

окрестность

ср содержит поѵ

край­

ней мере один

из

Сѵ

и,

следовательно6

, Сѵм,

С

• • •

Допустим,

что

функционал0 /

не непрерывен.

Тогда

он

не непрерывен

в некоторой

точке ср

Е

V .

Это

означает,

что существует такое е

|

, что не найдется окрестности

Q элемента

ср,

в

которой

</, ф> — </,ср > |

< е

для всех

ф е й .

Другими

словами,

существует

такое

е ]>

0,

что

для любого

Сѵ (с центром в ср) существует

по

крайней

мере

один

элемент

фѵ ЕЕ С ѵ,

для

которого

| </, фѵ> —

— (/, Ф> I >

е.

Очевидно,

что

фѵ

Ф в W

при

ѵ

оо,

для любой последовательности

{фѵ}^ і,

сходящейся в V

к пулю, выполнялось соотношение

0

ѵlim—*оо

</, ф„> = .

Тогда фѵ =

фѵ — і | і - > 0 в

V".

Из

линейности

/ и пред­

положения

о достаточности

условий следует,

что

I < / , фѵ> — < / , Ф > | = | < / , ф ѵ — ф > I - > 0

при V -> оо. Применение предыдущей леммы завершает

доказательство.

Тг

линейного про­

Предположим теперь, что топология

странства

V

порождена

счетной

мультинормой

ІуД ”—г

где yt — норма. Определим счетную

мультинорму {рД^Ц

формулой P[jl = max

{yj,

. . ., уД ,

и

пусть

Т 2

— тополо­

гия, которую {рДу

=1

порождает в

У/'.

Топологии

Тх

и

Т 2

У

совпадаютТ2 а.

ТДействительноі ,

, для любого элемента

ф ё

Рц (ф) = птах (Уі (ф)і • • •» Уу (ф)>,

так

что по

лешіе

1.6.3

кроме

того,

уу (ф) <

ру (ф),

поэтому

в силу той же самой леммы

Т г

CZ

Т 2.

Отметим, что все ру являются нормами и для любого

элемента ф0

б ^ , отличного

от нулевого,

< Р і (ф) <

р

2 (ф) <

рз

(ф) <

• • •;

I </, ф> і < СрТ (ф);

(1)

2 А. Г. Земанпн

33

Мы

уже

1К/>

Ф*> I > ѴРѵ (фѵ)-

(2)

отмечали, что рѵ

является2

нормой. Поэтому

Рѵ (фѵ)

0

фѵ не

может быть нулевым элемен­

, так как

том в

V

(иначе мы имели быв ( ) равенство, поскольку

обе части обратились бы в нульI

). Положим

Ѳѵ

____ —

ѵрѵ(Фѵ) ^

Если

к

— произвольное, но фиксированное неотрицатель­

ное целое число, то при ѵ

к

мы имеем

Pt (Ѳѵ) < Рѵ (Ѳѵ)

Рѵ(фу)

1___ п

ѴРѵ (Фѵ)

ѵ

Полученное

I

</, Ѳѵ>

I

= 1</. фу> I

^ ,

теорему.

ѴРѵ(Фѵ) ^

противоречение доказывает

1

Мы показали, что условие ( ) необходимо для того,

чтобы линейный-*■ Р '

функционал / на

был

непрерывным.

По лемме 1.8.2 это условие также и достаточно, так как

если фѵ

0

в

при V ->

оо, то | </, фѵ> |

Ср (фѵ) 0.

Семействопространствомвсех непрерывныхсопряженнымлинейныхк W

функционаловдуальным

наV )счетно-мультинормированном пространстве

V

назы­

вается

,

V*'.

(или

к

g

и обозначается через

Говорят, что два элемента /

и

из

V ' равны в V '

(или просто

равны),

если для всех

Ф ЕЕ

V*

мы имеем </, ф> =

<g, ф>. Сложение и умножение

на

комплексное число

а

определяются в

V '

следующими

двумя

равенствами:

.

<а/, Ф>

â а </,

Ф>.

</ +

g,

Ф> = </, ф> +

<g, ф>,

ные

пространства,

причем

%

— подпространство

Ѵ*.

Под

сужёпием f Е=Ѵ"

на

%

мы понимаем единственныйg

функцио­

GE %.

нал

g

%,

—

</, ср>

для

cpна

%определенный формулой <g, ср>

всех

V

Очевидно,

что

функционал

линеен.

Если

топология

.

сильнее топологии, индуцированной прост­

ранством

на

%,

то

g

также непрерывен и поэтому при­

надлежит

Действительно,

предположение о том,

что

Ф„ ->■

0

в

%,

влечет

cpv

0

в

W ,

и,

следовательно,

(g,

срѵ> =

</,

Wсрѵ> ян-*■ 0.% Таким

образом.,

по

лемме

1.8.2

g

определяет непрерывный

функционал

на

%.

Поэтому

сужёнпе / е

принадлежит

что

0 "

0 "

Одпако мы не можем сделать вывод,

—■ под­

пространство

%',

поскольку два различных

элемента

могут иметь одно и то же сужёние на

%

(т.

е. не обязатель­

но существует однозначное соответствие между

0 "

и под­

множеством

%').

если мы добавим пред­

0 "С другой стороны,

положение о том, что

%

плотно в

0",

то тогда, как мы сей­

час

покажем,

— подпространство

%'.

П р и м е р

1.8.1.

Пусть

й>'к — пространство,

сопряженное

сосредоточенная

в

точке

т (Е <%".

Она

обозначается через

б (г — т)

п определяется формулой

Ф 6

< 6

(t — т),

<р (<)> =

ф (т),

%

Пусть

К

обозначает

множество {i:

| t \ ^

1} и

/ — множество

{і: I 1

1<

2}. S0K

образует подпространство в SDj,

а топология 3>к

совпадает с топологией, индуцированной 3)j

на 3)к - Отсюда сле­

ствие между V " и подпространством %',

представляющее

собой соответствие между элементами W и их сужёниями

на %).

%

V 1,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

(Z

то

оче­

видно, что два различных элемента

%'

не могут соответV " , ­

ствовать одному и тому же элементу

V " .

Таким образом,

нам нужно доказать лишь

следующее:

если

/ ЕЕ

то

значения </,

ф> при cp

E

V

■

Это гарантирует нам, что два

различных элемента

é

не будут иметь одно и то же су­

V "

жение на

%.

%,

%

V ,

мы6

Так как

плотно в

то для каждого элемента cp

е=

V

можем

найти

последовательность

{срѵ}

элементов

сходящуюся в

V*

к ср (см. лемму 1.6.2). Тогда для любого

/

Е

V '

справедливо

соотношение

</, срѵ> — </,

ср)

при

оо;

V —>■

следовательно,

</,

ср)

однозначно

определяется

значениями </, срѵ>, что и требовалось доказать.

Наш результат можно сформулировать также в виде

следующего

утверждения.

Пустъ % и V*

счетно-мулъ-

С л е д с т в и е

1.8.2а.

—

тинормированные

пространства,

причем

%

плотное

подпространство

Предположим,

что сходимость любой

последовательности

к

нулю

в % влечет ее

сходимость к

—

нулю в

W .

Тогда

W

—

подпространство %'.

к

счетно-

W ,

^ ,

Введем в

пространстве

сопряженном

мультииормированному

пространству

топологию, из­

вестнуюV

под названием

слабой

топологии.

Эта топология

W ,

где

порождается

мультинормой

{£Ф}<ре т ,

для

каждого

ср ЕЕ

мы имеем полунорму £ф на

определяемую фор­

мулой I ,

(/)

=

I </,

ср>

|.

Эта

мультинорма

отделяет

V " ,

так

как

</,

ср)

V ,

не может равняться нулюV ' шаромна всехс центромср ЕЕ

если / Vне"

является нулевым элементом в

V

' .

в g

Таким образом,

в пространстве

ЕЕ

можно назвать множество вида

{/: / (ЕЕ

W

,

I

</ —

g,

ср*) I

^

ел,

к =

1, 2,

. . .,

л},

п

—в Vлюбое' точкиположительноеg Z E V "

целое число,

ц>к

— любой

гденость

элемепт

V

и

гк

— любые g.положительные числа.

Окрест­

W

— это любое

множество,

содер­

жащее шар с центром в

Семейство

всех окрестностей

в

называетсяWслабой топологией в

мы будем опу­

скатьWприлагательное,

«слабый», поскольку никакая дру­

гая топология в

рассматриваться не будет.

Простран­

ство

снабженное такой топологией,

становится муль-

тинормированиым,

но

не

обязательно

счетно-мультинор-

мированным,

1что6 1и показано на рис. 1.6.1. Поэтому

V

—

линейное

пространство с секвенциальной

^-сходимостью

(см.

задачу

.

. ).

слабо сходящейся

Последовательность в

V ' ,

сходящуюся в этой тополо­

гии,

обычно называют

;

мы будем называть

ее просто

сходящейся.

Согласно лемме 1.6.1

последователь­

ностьФ

{/„Küi

элементов

V '

сходится тогда и только тогда,

когда

существует

такой элемент /

ЕЕ V " ,

что

для всех

е

V*

</ѵ —/,

ф> -»-0 при V

оо. В этом случае предел /

носительно

направленных

множеств

{/ѵ}ѵ-а

и

рядов

со

V "

У /ѵ. Последовательность {/vKLi элементов

является

ѵ=1

последовательностью Коши

V "

(слабой)

в

тогда

и только0

ЕЕ V

тогда, когда для всех ф

при стремлении ѵ и р к бес­

конечности

независимо друг

от друга

</ѵ — Ді,

ф> ->■ .

Как и раньше, пространство

V '

называется

полным

(точ­

если в нем сходится

любая последовательность Коши.

Т е о р е м а

1.8.3.

Если V

—

полное счетно-мульти­

нормированное

пространство

то

сопряженное к

нему

пространство

также полно.

,

Пусть

{/ѵ} — последова­

1 Д о к а з а т е л ь с т в о .

тельность Коши в

V ' .

Из полноты комплексной плоскости

fë следует, что для любого <р E

f

существует единствен­

ное число, которое мы обозначим через </,

ф>, такое, что

П т </„, ф> = </, ф>.

Когда

ф пробегает

W',

эти пределы

V—*со

V 1.

</, ф) определяют функционал / на

Легко видеть, что

из линейности

всех /ѵ вытекает линейность /. Для

завер­

шения доказательства мы покажем,

что

функционал /

непрерывен в начале координат пространства

V .

Допустим противное; именно, пусть существует после­

довательность,

сходящаяся в

Ѵ"

к нулю и такая, что соот­

ветствующая последовательность

значений

функционала

I </, фѵ> I > С > 0 , V - 1 , 2 , 3 , . . . ,

(3)

через {YjJSLi

Ук (фѵ) < 4-ѵ,

к =

1, . . .,

V;

(4)

— обозначена мультинорма

на V". Положим

фѵ = 2ѵфѵ.

Из

(4)

и

леммы

1.6.1

следует,

что

{фѵ} ^ і

сходится

в

Ѵ'

к

нулю,

а

числовая

последовательность

{ I < /, фѵ> I

} в силу

(3) расходится.

Выберем далее под­

последовательность

{ф'ѵ}“

і

из

{фѵ}ѵ=і

и

подпоследова­

тельность {/ѵ}^=і из последовательности Коши

{/ч}7=і

следующим образом.

что | </, ф^> |

Д> 1.

f[

Сначала выберем фі так,

Поскольку

для любого ф

е У

</ѵ,

ф1> ->-</, Ф>

при

Ѵ -ѵОО ,

то

можио выбрать

таким, что |

</і,

фі)

|

1.

Затем,

пред­

полагая, что первые ѵ —

элементов этой подпоследова­

тельности

выбраны, возьмем в качестве фѵ элемент после­

довательности {фѵ} с индексом,

большим чем у элементов

фі, . . .,ф ѵ -Kі,

/иJ ,

для которого

7

=

1 ,

• • . , V —

1,

И

Ф ;і><

2/~ѵ,

ѵ -1

I </, *Фѵ>I >

2

к/. Чѵ>| + ѵ.

(6)

Это можпо сделать, так как для любого

0фиксированного /]

</;■ , фѵ'>

0

при

V

о о .

Условию

6

также

можпо

(

)

удовлетворить,

поскольку6 |

</, фѵ> I

при

ѵ —»-

о о .

оо.

Для любого ф е У

имеем </ѵ, ф> ->

</, ф> при ѵ

1

На основании формулы ( )

в качестве Д можио выбрать

такой элемент

из {/ѵ}

с индексом,

большим,

чем у / , . . .

. . ., /ѵ-ь

для

которого

ѵ-1

I </v, aly> I

V-

(7)

I </ѵ, Фѵ> I >

2

-I-

Теперь, когда

{ф{,}

и

{/{,}

И=1

рассмотрим ряд

выбраны,

ф =

ОО

2

(8)

V—) ф ѵ .

т

т

оо

оо

V=r?l

v = n

v = n

v = n .

V— 1

00

</ѵ, Ф> = [2і= 1

</ѵ, Чѵ> + </ѵ, Фѵ> +

2

ѵ+1

Из

</ѵ, Ф>>- Н-=(9)

(5)

получаем

*

2

2

2

1

10

I Н-=ѵ-Ы< / : . ы | <

ѵ + 1

( ) .

| |

^^ == .

"П

Для любых трех|

>

—

|

I

— |

комплексных|

чисел а ,

ß

и ц справедливо

неравенство

а

+

ß + ц

а

ß

1-

Поэто­

му из (7),

(9)

ч-1

н (10) следует

I < / * , Ф >

|

>

—

</»»

Ф ^ >

—

| </ѵ , Фѵ> II92= 1

— I

I

оо

I >

ѵ — i-

= 4 - 1

9

2

</*»

W

j

оо

Отсюда

вытекает,

что

при

|

</(,

гр>

| —-

;

ѵ —>- оо

это

противоречит

предположению,

W

которому

согласно

{/ѵ} — последовательность

Коши в

.

Таким образом,

/ — непрерывный линейный функционал в

,

что и тре­

З а д а ч а

1.8.1.

Проверить, что пространство V ' , сопряжен­

ное к счетио-мультинормированноыу, является линейным.

бовалось доказать.

З а д а ч а

1.8.2.

Проведите доказательство следствия 1.8.2а.

З а д а ч а

1.8.3.

Пусть К — фиксированное

компактное

под­

</, ф> =

^ h (<) ф ( 0

dt,

(1 1 )

где ф (Е

Показать, что / принадлежит 3)К и определить наи­

меньшие

возможные значения,

которые

могут принимать

6

' и г

в формуле (

1

) для функции /.