Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 412 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

имеются в таких стандартных справочниках, как Янке, Эмде и Леш [1], Эрдейи [1]. Мы также используем без до казательства ряд классических результатов из обычной теории интегральных преобразований, в частности ком плексную формулу обращения для преобразования Лапла

са (п. 3.5), формулуЬ)		обращения для преобразования Ганке-
ля (п. 5.1), разложения в ортонормальные ряды в про
странстве	(а>	(п. 9.2) и теорему	Рисса — Фишера
(п. 9.2). Поскольку доказательства			этих	результатов8.6
имеются во многих		книгах, приводить их		еще раз пред

ставляется мало оправданным. Наконец, в пп. 8.5 и мы рассматриваем два специальных типа преобразований

свертки обобщенных функций на основе некоторых ре зультатов из книги Хиршмана и Уиддера о преобразова ниях типа свертки.

Для всех теорем, следствий, лемм, примеров и рисун ков используется тройная система нумерации; первыми двумя числами обозначается пункт, в котором они впер вые появились. Например, лемма 1.8.1 и теорема 1.8.1 — это соответственно первая лемма и первая теорема пунк та 1.8. В то же время формулы имеют одинарную нумера цию, начинающуюся с (1) в каждом пункте.

А. Г. Земанян

Сентябрь 1968

Г Л А В А 1

СЧЕТНО-М УЛЬТИНОРМ ИРОВАННЬІЁ ПРОСТРАНСТВА, СЧЕТН Ы Е

ОБЪ ЕД И Н ЕН И Я ПРОСТРАНСТВ

ИСО П РЯ Ж ЕН Н Ы Е К НИМ

1.1.Введение

Теория обобщенных функций основана на теории тополо гических линейных пространств, однако для наших це лей не обязательно знание всех тонкостей последней, особенно если использовать более простое понятие про странства с секвенциальной сходимостью. Эту главу мы посвятим некоторым результатам теории пространств указанных типов, необходимым для понимания последую щих глав. Однако сначала в п. 1.2 мы приведем сведения о терминологии и обозначениях, которых будем придер живаться на протяжении всей книги.

1.2. Обозначеніи и терминология

Прежде всего отметим, что в конце книги имеется алфа витный указатель; он содержит наиболее важные терми ны, используемые в тексте.

Символы Я п и сЗ п обозначают соответственно действи тельное и комплексное тг-мерное евклидовы пространства. Таким образом, точкой t в М п (в сё п) является упорядо ченный набор п действительных (соответственно комплекс ных) чисел: t = {іх, t2, . . ., tn}; число | t | определяется формулой

(1)

Расстоянием между двумя точками іи т называется вели чина 11— XI, где вычитание проводится покомпонентно.

Компактное множество в Л п или в Чоп — это замкну тое ограниченное множество (однако в более общих ти пах топологических линейных пространств замкнутые ограниченные множества не обязательно компактны). Если I — открытое множество в Л п, К — компактное

множество в

Я п

содержится вt

I ,

то мы будем говорить,

что

есть компактное

подмножество

I .

Неотрицательнымt

элементом

из

М л

называетсях, t 71пэле,

мент,

всеX

компонентыt х

которогоt

неотрицательныхѵ

;

хв.,

этомt.j

случае мы пишем

< ;

0. Кроме того, если

ЕЕ

то

запись

или

означает, что

или

соответственноко

(ѵ =

1, 2, . . . ,

п).

Целым

числом

{ки к*, .

. .,

кп}

Я п

называется элемент

Я п,

все ком

поненты

которого — целые числа.

Я п,

Если

— неотрицательное

целое

число из

то

операция взятия частной производной обозначается сим

волом		D k		D kt =	h	5
			=^=		J +A*2+ .... +А'	— .		(2)
			=^=		— -------------	— .		(2)
					ді^'ді^ . . dtnn
					Л				,
(Мы используем обозначение = , если хотим подчеркнуть2									,
что данное равенство является определением.) Будем, как
это делается обычно,				обозначать порядок/^ -(- /с				+ . . . +
+	кп	оператора дифференцирования (2) через \|					к	\|. Смысл
+		оператора дифференцирования (2) через \|						\|. Смысл

этого символа будет ясен из контекста и не вызовет пута ницы с обозначением (1). Обычную (частную) производ

ную	функции / мы будем обозначать одним из символов
D kf,	D kf (t),	или	f k)(t).		Отметим,	что во	всех последую
щих	рассуждениях								2
				порядок дифференцирования в ( )
может быть изменен произвольным образом.								Я п
Обычной функцией				мы будем называть такую функцию,
область определения
				которой содержится в					или в
а областью значений				является		или	(не обязательно
соответственно).			Мы	используем		здесь	прилагательное

«обычная» для того, чтобы отличать эту функцию от обоб щенной, которая будет введена позже.

Если область значений обычной функции / принадле жит J? 1, то мы называем / функцией с действительными зна чениями. С другой стороны, комплекснозначная функция яв ляется в то же время обычной и поэтому может иметь в ка

честве области значенийЧ§1. ?1действительную ось. Здесь нет
противоречия, так как J				можно отождествить с действи
тельной осью в							Я п. Локально ин
Пусть	I	— открытое		множество		в
тегрируемой на I функцией					мы называем обычную функ
J		Л п,
цию, интегрируемую поI .Лебегу на каждом открытом мно
жестве	из		замыкание которого			7	является компакт
ным подмножеством				Пусть			удовлетворяет

условию 1 р <z оо; как обычно, L v (/) обозначает се мейство всех локально интегрируемых на I функций / (или, точнее, семейство всех классов эквивалентности), удовлетворяющих неравенству

$ | / ( * ) | M f < o o . .

Л 1,

Если

представляет собой интервал

<с

интегрируемойто мы будем использоватьна I .

также обозначение

Ь р (а,

Ь).

При

функция

ЕЕ Ь2

(/)

Лназываетсяп 9оп

квадратично

называется

Обычная

функция / (/)

на

или

быстро убывающей,

если

(t)

ѵ711)

при |

(t)

Л 1.

оо для всех

целых чисел

еЛ п

С другой стороны,

функция /

называется

медленно

растущей,

tесли

она

Л 1,

(t)

Гв п,

является

обычной

функцией на

или

и существует

такое

целое

число

/с ее

что

| / [

\к)

при

I —»-

оо.

Та

же самая

терминология используется и в

случае,

когда функция / определена только на целых чис

лах или1

Л п

4Sn.

другом неограниченном подмножествебесконечноилиглад

Обычно

функция

называется

гладкой

(в книге Зема-

кой

няна

[

]

мы называли такую

функцию

если все ее производные всех порядков непрерывны

во всех точках ее области определения. Согласно2

извест

ной теореме анализа, порядок дифференцирования в лю

бой частной производной /г-го порядка ([ /г | >

)

можно

менять

произвольным

образом.

Носителем

непрерывной

t),

определенной0

на некотором открытом мно

функции / (

жестве Q

Л п,

называется замыкание в £2 множества то

чек

в которых / (г)

; носитель обозначается

supp /.

Пусть

z — переменная

р — фиксированный

элемент из fë1. Если специально не оговорено, то всегда

будем	считать,			что	главная	ветвь для			многозначной
(в общем		случае)			функции	#	выделяется условием
— л <	arg	z	^	я. Таким образом,			z^ принимает действи
тельные положительные значения,							если	z	действительно

иположительно. Подобное же соглашение принимается

иотносительно других многозначных функций, таких, как функция Бесселя Jy (z) первого рода и порядка р или модифицированная функция Бесселя Ку. (z) третьего рода и порядка р. Как следствие, получаем, что когда р

действительно, то J y (z) и Ку (z) — функции с действи тельными значениями, если z действительно и положитель но (Янке, Эмде и Леш [1].

Мы будем иногда использовать обозначение {ср : Р(ср)} для множества всех элементов ср, для которых утвержде ние Р (ср) справедливо. Кроме того, {фѵ}ѵел обозначает семейство элементов, помеченных индексом ѵ, причем V пробегает некоторое множество А . С другой стороны,


последовательность		обозначается		как	{cpv}JL1 или		{ср1(
ф2, фз, . . .},	в то время как		направленное *) множество
обозначается	через	(фѵ}ѵ_ м.	Конечное		семейство обоз
начается символом		{фц, ср2, . . ., ср„ }.		Иногда		мы будем	ис
пользовать сокращенное обозначение {фѵ},						если ясно,	ка
кое семейство мы имеем в виду.

1.3. Линейные пространства

Линейное пространство (или векторное пространство) — это обобщение понятия семейства векторов в евклидовом пространстве. Оно определяется таким образом, что поня тия «сложения векторов» и «умножения вектора на число» сохраняются. В качестве «чисел», на которые умножаются векторы, берутся элементы некоторого поля. Во всех примерах лнпейных пространств, встречающихся в этой книге, таким полем является 'S1, пространство комплекс ных чисел. Поэтому мы будем пользоваться следующим более узким определением линейного пространства. Се мейство Ѵ* элементов ср, ф, Ѳ, . . . называется линейным пространством, если выполняются следующие аксиомы.

1 . В V определена операция + , называемая сложе нием, которая любой паре элементов ф и ф ставит в соот ветствие единственный элемент ф -(- ф в W . Кроме того,

+обладает следующими свойствами:

Іа)

ф +

г|) =

а|)-(-ф (коммутативность);

ЕЕ V

l b)

(ф +

ф) + Ѳ =

ф +

(ф -j- ѲЕЕ) (“ff')ассоциативность);

lc) существует единственный элемент 0

для ко

торого Ф +

= ф при всех ф

id)

для

каж дого

ф Е У

сущ ествует

такой

элемент

— Ф E

ІУ

что

ф +

( — ср) =

0 .

определенаа

операция, называемая «умноже

нием на комплексное число»,

которая

любому комплекс

ному

числу

и любому

элементу ф Е ^ "

ставит в соот

ветствие единственный элемент ссф в

‘‘ff'.

Кроме того, при

*) Определение направленного множества см., нанрпмер, в книге К . Иосида «Функциональный анализ». «Мир», М ., 1967,

стр. 150. (Прим, иерее.)

любом выборе ф Е ? * " и комплексных чпсел а и р справед ливы следующие свойства:

2 а )	а (ßcp) =		(a ß )		rp;
2b)	lcp =	cp	(1	обозначает число, равное единице).
3.	Должныср			выполнятьсяаср аф ;		следующие дистрибутивные
законы3 Ъ)	:( а ( +	ß)	ср	=	аср + ßcp.
За)	а	+ ф)		=	+

На этом определение линейного пространства заканчи вается.

Из этих аксиом вытекают обычные правила сложения

обычных функций и умножения их нанулевымчисла (смэлементом. задачу

1.3.1).

Вычитание'

определяется формулой

ср — ф

= ср +

( — ф). Символ 0

называется0

или

началом координат

большинстве

случаев

он

будет обозначаться просто

цифрой .

пространствомПодмножество) V ,

линейного пространстваср, %

V 1

назы

вается

линейным подпространством

аср(или6

просто

под

ср

П р и м е р 1.3.1. аПустьесли

Кпри— компактноелюбых

подмножествоф Е и любом£R,n \

комплексном числе

элементы

Д- ар и

принадлежат %.

Я)к — множество всех

комплекснозначных

гладких

функций

на

31п, равных нулю всюду вне К . Множество 3)к представляет собой

линейное пространство с обычными определениями сложения и умножения на комплексное число, причем нулевым элементом слу жит тождествеппо равная нулю функция. Это пространство в даль нейшем будет играть для нас важную роль.

Примером элемента Я)к является следующая функция. Пред положим, что К содержит область { ( : ( £ £Ип, | 11^ 1} и пуст

	“	p W =	r -	' ‘ К	’ ’		(1)
	I	о	,	\| t \| >	l .
Функция £ (t) принадлежит Я>к -			это утверждение становится
очевидным, если мы заметим, что все частные					производные		£ (<)
непрерывны в тех точках t, для которых \| 11=					1.
П р и м е р	1 .3 .2 . Обозначим через Я) объединение всех Я)к
когда К пробегает всевозможные компактные					множества	в	З і п.
Таким образом,	ср (г) принадлежит Я) тогда и только тогда,					когда
ср (г) — комплекснозначная		гладкая	функция,		носитель которой

есть компактное множество. Я) является линейным пространством с обычными определениями сложения и умножения на комплексное

число. Нулевым элементом здесь служит функция, тождественно равная нулю.

З а д а ч а 1.3.1. Доказать следующие соотношения, исполь

зуя аксиомы		линейного	пространства:
a) из	ф +	ф = ф -\|-	0 следует і[) = 0;
b) а 0	=	0 ;


c)	Оф = 0	(здесь О обозначает число нуль);
d)	(—1) ф =		—ф ;
e)	если аф =		ßcp	и ф ф 0 ,	то а = ß;
d)	если аф =		а\\|>	п а =/= 0,	то ф = ф.
З а д а ч а		1.3.2.		Доказать,	что линейное подпространство И

линейного пространства V при тех же правилах сложения и умно жения на комплексное число также является линейным простран

ством .
З а д а ч а	1.3.3. Показать,	что пересечение ^ любого семей
ства линейных подпространств линейного пространства V — также
линейное подпространство V .
З а д а ч а	1.3.4. Показать,	что функция £ (Оі заданная выра

жением (1), действительно принадлежит 3)к .

1.4. Пространства с секвенциальной сходимостью

Обратимся теперь к понятиям пространства с секвенциаль ной сходимостью и линейного пространства с секвенциаль ной сходимостью (см., например, Дадли [1]).

Пусть

— некоторое

множество.

ПоследовательV

ность {срѵ} называется

последовательностью в W ,

если все

Множество

ее элементы

принадлежат

называется

пространством с секвенциальной

сходимостью

°}У

, если:

W;введено

правило,

по которому

выбираются

не

которые последовательности,

называемые

сходящимися

каждой такой последовательности ставится в соответ

W',

называемый

пределом

этой

ствие некоторый элемент в

последов ательности;

Ѵ'

выполняются три первые из перечисленных ниже ак

сиом.

При

этом если {срѵ}

— сходящаяся в

последова

тельность и ср — ее

предел, то

мы будем

говорить,

что

«{срѵ}

сходится в

к ср», и будем записывать это в виде

«{ср„ ->- ср в

при V

оо»

или

«lim срѵ

ср в

Ѵ»-

V —

‘‘ІУ

Для

любого элемента ср е=

последовательность

{ср, ср,

ср,. .

сходится в

к ср.

2.Если {ср„} сходится в V к ср, то любая ее подпосле довательность {cpV(;}fcLi также сходится в ТУ к ср.

3.Любая сходящаяся подпоследовательность имеет

единственный предел, т. е. если			ср„ ср в	ТУ	и срѵ	ф
в	ТУ,	то ср =т\|).
	Понятие сходимости может быть следующим образом
распространено на направленное			множество	ТУ{срѵ}ѵ_ а,		где
числовой индекс ѵ стремится к			некоторому пределу			а.
Мы будем говорить, что {срѵ}ѵ-а сходится в					к пределу

Ф тогда и только тогда, когда любая последовательность

{фѵ JfcLi при		v h	а,	которая содержится в (фѵ}ѵ_а,
ъ Ѵ '	V*				линейным	пространством с
Семейство			называется
секвенциальнойсходится		ксходимостьюф.				является одновре
				, если оно

менно и линейным пространством, и пространством с сек венциальной сходимостью, и если правило, определяющее сходящиеся последовательности, удовлетворяет двум сле

дующим

дополнительным

аксиомамѴ'

4. Если {фѵ}

сходится в

Ѵ*к ф и {грѵ} сходится в

ф, ТО

{фѵ +

фѵ}

сходится

ф + ф.

Если

{ф„}

сходится

к ф и последовательность

комплексных

чисел

{аѵ}

сходится

в обычном

смысле

комплексному

числу а ,

то

{аѵфѵ} сходится в

осф.

Наконец,

будет называться

линейным пространст

если в дополнение к

вом с секвенциальной ^-сходимостью

пяти сформулированным аксиомам выполняется еще одна.

Если фѵ не сходится к ф в

при ѵ -> оо,

то суще

ствует такая

подпоследовательность {ф^} из {фѵ}, что лю

бая подпоследовательность

{Ѳ>.} из {ф^} не сходится

V 1

к ф при

X —у

оо.

П р и м е р

1.4.1. Рассмотрим линейное пространство Sb,

опре

деленное

в примере

1.3.2.

Последовательность

будем

называть сходящейся в Sb, если: а) все фѵ принадлежат 3), п их

носители содержатся в некотором фиксироваииом компактном под множестве К с М п, в) для любого неотрицательного числа k (ЕЕ 9 іп

і я Ч ( о - д Ѵ ( г) і- * °

равномерно на SR?1, когда ѵ и р независимо стремятся к бесконеч ности.

Из известной теоремы анализа следует тогда, что существует единственная гладкая функция ф на SR?1, носитель которой содер жится в К и

\Dk<pv ( t ) - D kq>(t)\-^0

равномерно на З іп при ѵ —• со. Возьмем ф в качестве предела в 3)

последовательности {фѵ}. Можно показать, что все аксиомы, сфор

мулированные выше, выполняются. Таким образом, Sb является линейным пространством с секвенциальной »-сходимостью, если

внем введено указанное понятие сходимости.

Сдругой стороны, если в определении сходящейся последова тельности мы откажемся от требования, чтобы носители всех фѵ

содержались в некоторой фиксированной замкнутой области, то 3) перестанет быть линейным пространством с секвенциальной схо димостью. Действительно, пусть функция $ (г) задана формулой (!) и .1.3. Пусть, кроме того, </ѵ обозначает «-мерный набор

{ t jv , t jv , . . ., t„lv}, гдѳ V пробегает положительные целые числа в ЯІ1. Последовательность функций {•£ (t/v) exp (1— | t j3) ) ^ ! сходится

равномерно на 5Ьп вместе со всеми своими производными. Но пре делом является функция ехр (— | 1 12), которая не принадлежит Я). Таким образом, последовательность не сходится в Я), так как тре


бование, чтобы предел принадлежал Я),		нарушено.
З а д а ч а 1.4.1. Проверить, что Я		удовлетворяет	всем акси
омам	линейного пространства с секвенциальной »-сходимостью,
если	сходящиеся последовательности определены как		в приме

ре 1.4.1.

І.5. Полунормы и мультішормы

В этой книге мы не будем касаться общих линейных про странств с секвенциальной сходимостью. Все пространст ва обычных функций будут ограничены двумя специальны ми типами. В одном из этих типов правило, определяющее сходящиеся последовательности, выводится из топологии пространства; во втором типе пространство разбивается на счетное семейство подпространств, каждое из которых обладает топологией, и сходящиеся последовательности определяются в терминах получившегося семейства топо логий. В обоих случах рассматриваемые топологии по рождаются мультинормами. Цель этого пункта и состоит в том, чтобы объяснить, что такое мультинорма. Тополо гии и линейные пространства с секвенциальной сходи

мостью, ассоциированные2Т

с мультинормамиПолунормой, рассматри

ваются в последующих пунктахср), .

на

Пусть

— линейное2Упространство(

называется

правило

ставящее(ср

соответствие

каждому

элементу cp GE

действительное число и удов

летворяющее

следующим

аксиомам

обозначают

произвольные

элементы

2У,

ос

— любое

комплексное

число2.

)у.

(ср +

ф)

у (ср) +

у (ф).

(ссср)

а I у (ср),

Выбирая а

0 в аксиоме 1,

мы видим, что

(0 )

= 0.

Далее,

= у (ср

—дляср) <всеху (ср) +

у ( —посколькуср) = 2 у (ср).

(ср)

ср е

V ,

Если

одним

свойством

является

справедливость

не

равенства

I у

(ср) — у (ф)

I <

у (<р — ф),

(1)

которое вытекает из сформулироваапЫх аксиом, если вос пользоваться неравенствами

(ф) <

(ф — Ф) +

(Ф) и у ( ф )<

(ф — Ф) +

(ф].

Полунорма

называется

нормой

при выполнении еще од

ной

аксиомы:

то ф =

(т. е.

— нулевой

эле

если у (ср) =

мент в #").

Если

— положительное число, то мы определим сим

вол

ау

)

(q;) ~

ау

(ф).

Очевидно,

что

ау

формулой (

также

полунормаУп

. Если {ух, . . . ,

у „} — конечное

семей

ство

полунорм

на

то

мы

определим

полунорму

Уі +

• • •

формулой

(Y + • ■ ■ +

Уп)

(ф)у= Тг (ф) + • • • +

Уп

(ф)-

max

(уу-,, .

. ,

п)

определяется

выражением

Полунорма

[max

(v j, . .

п)]

(ф)

max

(ф), . . . ,

уп

(ф)].

То, что эти выражения действительно являются полунор

мами,

вытекает непосредственно из аксиом 1

и 2.

Кроме

того,

если одна из полунорму

уѵ

С1У

является нормойэквивалентны, то тогда

Уі +

. . . +

у п

max

(у^

. . ., у„)

— также

нормы.

ми,Две

полунормы

иЬ,р на

называются

аУ

если существуютby

два такие

фиксированные положи

тельные

числа

что для

всех

е У

мы имеем

(ф) ^

Р (ф) ^

(ф). Следовательно,

ух +

. . .

уп и

max

(у2, . . . ,

у п)

эквивалентны,

так

как

max

[ух (ф),

. . . ,

у„ (ф)] <

Уі

(ф) п+

. . +[уху„ (ф) <

у„

(ф)].

Пусть теперь

max

(ф), . .

. ,

=А {. уДцед обозначает семейство полу

нормщим

на

причемотделяетиндексW),р пробегает конечное или бес

конечное множество

Семейство

называется

отделяю

элемента

Ф ¥=

(или

найдется

по

если

для

любого

в ^

крайней мере одна полунорма

Уі^, такая, что у^ (ф)

0. Другими словами, семейство

является отделяющим, если все полунормы обращаются

в нуль только на нулевом элементе пространства 2^. В этом

случае мы называем

мулътинормой.

Очевидно, что для

y k

того

чтобы

было

отделяющим,

достаточно,

чтобы

по

крайней

мере одна из

полунорм

была нормой.

Если

— счетное

отделяющее

семейство

полунорм,

то

оно

<<< < Предыдущая 12 / 412 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ