книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

в которых функция

G

(s) I В

<

Re s

<

am =

0g,

(s) аналитична и удовлетворя­

ет условиям роста, указанным в теореме 3.6.1. Следоваи

­

тельноX ' ,

для

любой

заданной

подполосьт,

например,

a v<C Re s <X;

'сгѵ+х, существует единственный элемент

(£)

из

(аѵ,ап+1),(s)lBудовлетворяющий уравнениюs < .

(7)

в про­

странстве

G (аѵ, аѵ+1), и преобразование Лапласа

кото­

рого равно

(s)

в a v <

Re

стѵ+і.

При

любом

другом выборе подполосы мы найдем решение,

в общем

цией,

гладкой

па

— с о < ( і < ( е о

и

удовлетворяющей в

Ьи =

ниеобычномЛапласасмыслекоторойуравнениюимеет вид —5 +

s0.)ln Cs с областью опреде­

З а д а ч а

3.6.1.

Найти обобщеішую

функцию, преобразова­

ления

Res >

0.

Здесь

С = еу , у — постоянная

Эйлера (0,5772...).

Использовать

при

этом формулу

ln Cs

., Re s >

0.

£1+ (0 lu£ = — — —

Кроме того,f

полученные результаты будут распростране­

ны*^,наЬ)пространства

X ' (w

, z),

где

w

< z .

(а

Свертка

* g

двух

обобщенных

функций / и

g

в

X ' а ь

< f * gопределяется,

равенством

е £

а,

ь.

ф>

= < f ( t ) , < g

(т), cp

[t

+

т ) » , ф

(1)

исследовать

выражение<g

(т),

Ф (t +

т)>.

(2)

Ф (0 =

Х

Так как пространство

а<ъ,

замкнуто относительно опе­

рации

сдвига (п. 3.4),

то правая

часть (2)

существует

при любом выборе

t

и определяет ф (£) как обычную функ­

цию в

Я 1.

3.7.1.

ь,

Пусть

g е Х'а,

Ф ^

Х а, ь и функ­

койЛ е м м а

t является глад­

ция

ф

определена формулой

(2).

Тогда

ф ( )

функцией и

ф (t +

т)>,

к = 1,

2,

3, . . .

(3)

2>ф (£) =

<g (х),

D f

At Д о к а з а т е л ь с т в о .

При

фиксированном

t

и

=4=

О

<g

(т),

D

,ф (£

+

т)> =

<g (г), ѲЛ( (т)>,

-1- [ф (і + А0 - Ф (01 -

где

Ѳдг (т) =

-ду [ф (£ -j- Д£ -f- т) — ф

-f- x)J —

tф

т).

(4)

(t

D

(t

ф(Р) (t +

т + A t ) = ф(л> (t + т) +

Агф(р+« (t +

X) +

At

p = 0 , 1 , 2 , . . .

.

+ \ ( A t - y ) < f V » * ) ( t

+ %+ y)dy,

о

&l

— у)

(t +

x + ij) dy.

Ѳд? (т) =

\ (Af

ср<Р+2)

(5)

О

< 1

Кроме того, при любом фиксированном t, всех т и | Af |

выражение

{t

т +

у)

I

(6)

X ь (т) sup

I cp(P+2> +

МСІЛ'І

A t

В .

ограничено пскоторой постоянной

Следовательно,

I Иа,ь ( t ) W (Г) I <

( A t^- y ) d y = - | - | A « В|.

О

t

Х а,ъ

к

56а,ъ

Это

доказывает,

что

0Д, (т) сходится в

к нулю

при

A

0. Тем самым формула (3) установлена при

= 1.

Так как

замкнуто относительно дифференциро­

ный результат,

написать

(0 =

D ^ 1<g

(т),

D

t<р

(t

+

т)> =

=

D

к-*

(g

(т),

D l

<p

(t

+ т)> = . . . =

(g

(т),

D f

ср (< + т)>.

Доказательство

закончено.

Л е м м а

3.7.2.

Пустъ в дополнение к предположениям

леммы

7.3.1

выполняется условие а<^ Ъ .

Тогда \\> Х а>ь-

к

Д о кD*а з а(t)т е л ь с т в о .

В силу предыдущей леммы

нам нужно просто показать, что при

любых

функция

х а>ь (0

ф

ограничена на — оо

< о о .

Из леммы

янной

С

и неотрицательногоI

целого числа г,

таких,

что

«а ,Ь ( 0 ^ 4 ( 0

I =

«а,Ь ( 0 < ? W .

( І +

Т)> К

<

С max

sup | ха,ь (t) x0)!l (т)

cp {t + x) | =

=

C

0<p<r

Txa,b(*>Xa,b(T>

(t

(t

0max sup

\,ba,b

+ T) ф(Р+,°

+ T) <

< p < r

C

T

(J + T) •«a,b

<

j^sup

(0y-g,b(T)

IJ

0 < p < r

(7)

Xa,b(f +

T)

1

maX Та,Ь,р+*(ф)-

n, .

( {) X a,b

(T )

K (t, х ) ѣ -

Q , 0

а , Ь (t +

(8)

T)

При

t

>

О и

%

К

(г, т) =

1.К (t,При

t

>

О и т

Ö

> Ö имеемt

рассмотрим

два

случая.

Если

t

+

т

О,

то

К (t,

т)

=

=

<

1. Если

+

т <

0,

то

т) =

<

1.

Таким

образом,

К

т) ограничена единицей при

t

О

и

— оо < т

К (t,

рассуждения

< о о .

Аналогичные

показыва­

ют, что функция

(t, г) ограничена и в остальной части

(£, т)-плоскости.

Лемма доказана.

Е = £ а,ь,

сходит­

ся

Л е м м а

3.7.3. Вели а ^

Ъ,

g

{фѵ}^=і

в Х а>ь к нулю и

<£(тО.

Фѵ(і +

т)>,

то

{ ф Д ^

также сходится в Х афѵ(*) =

>ь к нулю.

как (8)

— ограничен­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

Теперь

мы,

наконец, в

состоянии

дать определение

свертки.

Пусть

/

и

g —

произвольные

элементы

£ а<ь,

где

а < Ь .

Сверткой

f * g

называется функционалg (t

на

Х а,ъ,

определенный

формулой (1). Правая часть (1)

име­

ет смысл, так как по лемме£ а,ь-3.7.2 функция <

(т), ф

+

т)>

принадлежит

£ а>ъ,

если

ф Е ^ 0іь.

Очевидно,

что этот

функционал

линеен в

Непрерывность его является

доказана

3.7.1.

Если f u

g

—

элементы

Х а,ь>

а<^Т е о р е м а

g,

выражением

(1),

Ь, то свертка

определенная

£ а,ь-

также принадлежит/ *

Свертка

является

операцией,

отображающей любую

упорядоченную

Хпару

элементов /,

g

е

Х>'а,ъ {а

^

Ь)

в элемент / *

g

а,ъ-

Эта операция

билинейна

в следую­

g

порождают регулярные

g

элементы

SSaib,

которые

мы

также обозначим через

f u

соответственно. Тогда

для

С »

с о

(9)

= ^ dt

^ f(t)g(x)<p(t + x)dx.

/ (0 ё (т)

\,ъ Ѵ )\,ъ (т)

Ка,ь(г + 'Г) Ф (* + 1Г)1-

\,Ъ

*a,bW*a,b М

(г + т)

ОО

00 f(x)g(y — x)y(y)dxdy.

5

J

это выражение

0к0

виду

ОО

^

ФЫ ^

f(x)g{y — x)dxdy.

(10)

— ОО

— ОО

Интеграл

ОО

представляет собой

5 f(x)g(y — x)dx

функций / и

(И)

обычную свертку

g.

у,

поскольку сно-

Эта свертка локально интегрируема посо

то хмы можем заключить, что функция

(у)

^

/

іх) g{V —

) dx

— ОО

—

абсолютно

интегрируема

на — оо

а<,ьі-/ <С о о .

Снова воспользовавшись

свойством V п. 3.2,Х

получаем,

что (11) определяет регулярный элемент

g

Таким

образом,

обычная свертка (И)

функций /

и

порождает

регулярный

элемент

Х а,ь,

Х который

в

силу

(10) равен

/ * g в смысле равенства в

а,ь-

на про­

Понятие сверткиX ' (w

легко можно распространитьf * g

странство

X '

(w, z

где

IV

< ; z. В частности,

если /

и

g

X '

w),

принадлежат

(

,

z), то

их

свертка

определяется

как

элемент

g, z), сужёние

которого

на любое

про­

странство

Х а, ь

при

w

<

а

^

Ъ

<[ z совпадает со сверт­

кой

сужений

/

и

на

Х а, ъ.

Другими словами, мы снова

(1),

используем

определение

где

ф теперь произвольный

элемент

X

(w,

z).

Отсюда

следует, что

свертка

является

X'(w,билинейнойz).

операцией,

отображающей

любую

упорядо­

ченную пару

элементов

X '

w

элемент

( , z) в некоторый

X ' (w, z)

Кроме

того,

свертка

регулярных

элементов

согласуется с обычным понятием свертки

(11)

соответствующих

обычных

функций.

Заканчивая этот раздел, мы

кприведем несколько срав­

нительно

легко

устанавливаемых

формул.

Как

обычно,

б обозначает дельта-функцию,

— положительное целое

число и т

— фиксированное действительное число. Тогда

в смысле свертки

в

Х а,ь

или

в

X'(w,

z),

где

а

Ъ

или

w < z ,

D кб * / =

/, D kf,

(12)

6 {t —(.

х) *б) * / =

f

{t —

(13)

f

(t) =

т)z,.

(14)

Sß'З а д а ч а

3.7.1.

Показать, что

если

w

{fv}™=1

<

S5'(w,

сходится

в

(w,

z)

к / и

g e S S '

(w,

z), то {/v*

g}™= l

сходится в

z)

к

f*g.

и (14).

З а д а ч а

3.7.2.

Доказать формулы (12),

(13)

Этот

результат

будет

затем

применен

к

исследованию

Qнекоторыхg = G (s)другихпри sсвойствQg.

сверткиЕсли множество.

Qf

s €Е Qf и

пустоТ е, отор еf м* аg

Пустъ

F

(s)

при

существует3.8.1.

в смыслеS / =

свертки в X '

(w, z

где интервал w

ЕЕ

z образован пересечением

множест­

П

Й# we

ва

с

< er ■ <

)

действительной осью. П ри этом

й/ П £2/ Q ( f* g ) = F ( s ) G ( s ) , s ^ Q ,

П Q*.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

g

определения

преобра­

зуемых

по

Лапласу обобщенных

функций

и

из п.

3.2

следует,

что

сужения

/

и

на

X

(w, z)

принадлежат

X '

(w,

z)s.

Поэтому

f

* g

существует

в смысле

сверт-

w

ки

в

X'(w,

z).

Кроме

того,

для

любого

s,

такого,

что

<

<

Re

z, мы можем в силу формулы (1) и. 3.7, написать

8 ( f * g )

=

</ ( t ) ,< g (r ),e - ° < W »

=

— F

(s) G (s),

что и

=

</ (0, e_sl>

<g

СО, e-ST>

(2)

требовалось доказать.

свертки

показывает,

что

Формула

преобразования

коммутативна и ассоциативна.

Более

точно,

справедлива

пустоТ е, отор е м аg =

3.8.2.g

Пустъ Qf

=

F

(s)

при

и

(коммутативность)

в смыслеs й/ра­

Qg

=

G s)

при

s

£E й г.

Если

множество

Й/ f] й г

не

(

венства в X ' (w,

где

интервал

хѵ

а

z

образован

пересечением/ *множества* /

й/

р|

й г с

действительной осью.

Если,

не

s

E<

< и пересечение

кроме тогог,),

Qh — Н (s) при

*

й/ П

й 5 П йл

пусто,

то

f

*

(g

h)

=

(f * g) * h

ассоциативность

в

X '

(w', z'), где

в смысле равенства й,п

интервал w'

< ; а <

z' образован пересечением множества

(i

осью.

П

^ с

действительной)

й/ П

Цепочка равенств

(2) пока­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

зывает, что

йод злаком свертки. Точпее говоря,

пусть / и

g

удовлетвО-

ряют условиям теоремы 3.8.1,

т — фиксированное дейст­

вительное

число

и

S-z

обозначает

оператор

сдвига:

S t: f{t)

=

f {t —

т).

Тогда

D

f * D g

и

(/ *

g)

=

{Df) * g =

(3)

Sx {f * g) =

{Sz f) * g =

f *

{Sxg),

(4)

где равенства снова понимаются в

смысле

пространства

X ' w, z)

(см. теорему

3.8.1).

Действительно,

для того

(

QD {f * g) = s [F {s) G

(*)] = [sF

(s)]G (s) =

=

ß (/ *

= ß

F (s)lsG (s)}

Dg),

[{Df) * g] —

w — регулярная обобщенная

функция:

w (г) =

1+(i) sin

t.

И, в силу формулы (1) п. 3.4 и теоремы единственности

d 2v

V.

Если V — регулярная

обобщенная функция, вторая производная

/ =

+

минах обобщенных функций, а но обычных, несмотря на то,

что

заданные функции w и и можно

рассматривать как обычиыѳ.

З а д а ч а

3.8.1. Пусть f u g

— элементы 3 ' (ш, г) при неко­

торых и; и г,

ш < г.

Показать, что если f * g = 0 в 3

('w, z),

то /

либо g (или оба элемента вместе)

равны пулю в 3 ' (ш,

z).

З а д а ч а

3.8.2.

Показать,

что пространство 3 ’ (ш, z),

где

ti> < z, является коммутативной

алгеброй относительно операции

алгебры).

Содержит

ли она единичный элементѣ (Отметим, что

согласно

предыдущей задаче она не имеет делителей нуля.)

З а д а ч а 3.8.3.

Пусть выражение

СО

«-'"«('- ѵ)

/(<)= V—2— СО

с2 D l и = D\ и.

(1)

Наконец,

наложим

следующие

начальные условия: при

«—>-[- 0 обобщенная функция

ut (х)

сходится

в 25' к / (х),

а

Dili, (х)

сходится

в

25' к g

(х),

где / и

g — заданные

элементы 25'.

f u g

— преобразуемые по Лапласу

Предполагая, что

х

уравнению (1) и начальным условиям. При примене­

нии

преобразования

Лапласа

£

мы

рассматриваем

какU

параметрt s

и

какU t независимую(s)

переменнуюt

. В соот­

ветствии с этим мы используем

обозначение

£

[uj (х)] —

=

( ).

Функция

— обычная по

и s,

где 0 <

< £ <

оо,

и s

изменяется

t

определе­

в некоторой Dполосе

ния, которую мы считаем не пустой.

коммутируют,

Предполагая,

что

операции

£

и

можно

c*s*U,

(s)

D l

Ut (s ) .

преобразовать

(1)

к

=

виду

СледовательноUt,

(s)

=

+

(s) ecsf.

(2)

А

(s) e~csl

В

G

s)

ЕЕ

g.

(

t

при

5 ЕЕ Й/

и

£

[g (х)] =

Положим

£ [/ (x)]

=

=

(

при

s

Q

Предполагая

далее, что

операция

перехода

к

пределу

при

+

0 и £ перестановочны,

получаем при

(s) =

соотношения

+

и

F

Ut (s)

li^+o =

A

(s)

В (s)

U t ( S ) = 4 - [ F (s) - 4 г - ]

+ - y [ F (s) + 4 r ] * “ '•

®