книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

и

I

ST I

>

I a ±

I (A

+

6)

OO

ir

при r —► oo. При этом, как и раньше, мы полупим

D , .

е а ^

і

( г )

| min< ^

- 8)

еч ф

(t)

sin (rt — rt) dt

Pr (т) = ------------- [

УЛ

(/)

t _

r

min (fВ, г—Б)

_ a,‘cp..

(rt

e

Фк

0

^

«

rx

dt

—

t _^T— cos

+

— ря)

-1-

min (B, т—5)

+

5

[ e^ - x

s i n r( t ~ r t ) +

e~al<Pk

(0

'(rt

H-----

j p

p

+

rt — ря) X

— COS

х Ит^) + 0 (т^)+ °(т^ИтУа

]Л- <13)

Прежде

всего

отметим, что,

поскольку

<С сг, функ­

ция е<а-°)т/(і (т) ограничена при

т — б >

А .

Аналогично

величина

t

е°'ср.. (0

(rt

е~0,ф.. ( )

- t _

T

sin

— гт) +

—Г Р І

— cos (

+

г* —

ЦЯ)

rt

+ -у-

^

Dt —

cos (rt — rT) dt. (14)

где

(т) =

еат/|і (т)

st Ajx (st) X

X - j^

A

- ^ W - V 7 a ,x t l (s 0 * |^ o +ir, (15)

5

<?2, Г ( t) =

max (

, x+5)

еат7,х (t) T У

ST A ,x +1 (ST) x

* и + ІГ,

(16)

X -ST

\

- ^ _ / І Г / , г ( Я0

max (Л, x+5)

a

ir.

получаются из

QljT

и

@2, r заменой

a +

ir

@a, r и

(?J)r

на

a —

лемме

6.5.1

при

Re s = ст>

a > 0,

Согласно

I е °7 ц

(г) У

s r /Cx

I = I s V .- i V "

K?

|

<

p,R =

Re

[i. >

0,

Im

s = r >

1 и 0 < т

<

оо

(st)

Яц I s |№

(st)»4

(st)

C(X У 7 ,

(17)

<

(1 +

IS Г н) <

первого слагаемого. Таким образом,

(т)

равномерно

Qсходится^T

к нулю на 0 ■ < г < оо при г —> оо.

Q 3,r

(т) и

Qr Такие же выкладки в применении к (?2, г (т),

Р г

и,

следовательно,

(т) показывают, что эти величины

(х) также сходятся к пулю равномерно

на 0 <

т < оо

при г ->■

оо. В силу свойств Â r (x),

(х)

и @г (х)

лемма

Формула обращенияПустъ, и выводуF (s) =которойR y f примы sтеперь

подготовленыТогда в смысле,

сходимостидается следующейв пространстветеоремой3)'.

(Г)

Т е о р е м а

6.6.1.

ЕЕ й/.

F (в)Уst Iy(st)ds,

(2 1 )

о—гг

где о

любое фиксированное действительное положитель­

ное число из Q f.

3) (Г).

—

Пусть

Ф ЕЕ

Пока­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

жем,

что

о-|-гг

F (s ) У st ^

ds<ф

$

( * C >

( 2 2 )

о—гг

Q f

</, ф>

при

г

-*

(t)

F

(s)

стремится к

оо. Из аналитичности

что

в области

и компактностиt

носителя ф

следует,

рал по переменным

и м ,

причем подынтегральная функ­

тегрированияГ

. ПоэтомуООмы можем изменить порядок ин­

тегрирования в (22) и получить

У sx Ку

(st))0

^ Ф

(t) У stly (st) dt da,

s = а

-f-

ia.

— Г

4 - $ </(т),

Это выражение в силу леммы 6.6.1 равно

<(f (т),

Г

оо

ф (t) У st ly (st) dt da^>.

(23)

^ У sx Ку. (sx) ^

—г

о

Cлежитf C

пространствуг -*

УСу,а,

и согласно

лемме 6.6.2 основ­

ная

функция, входящая

в выражение (23),

сходится в

к ф (£) при

оо. Поэтому (23)

стремится к </, ф>,

и теорема доказана.

Непосредственным следствиемПустътеоремыF (s)6.6.1 RявляетсяH при

более слабый вариант теоремы единственности.

С л е д с т в и е

6.6.1а.

=

s

Qf,

G (s) = Ryg

при

s ^ Q g и

F (s)

G (s) при

s GE

Qj

Г)

Тогда f

— g

в смысле равенства=в З)'(Г).

ЕЕ

лученногочто обобщеннаяБоасомфункция[1], и формулируетсясосредоточена следующимна полуинтероб­­

разом.

Пустъ F

(s)

=

/

при

s £ ß /

и предположим,

вале вида

/

Тогда

Г < « < о о , Г > 0 .

Ht) = lim

j

/

Ä

(4, ,Р (») | ,,да] (24)

6.7. Описание 1Г-преобразований

В этом пункте мы докажем,

что любое i f -преобразование

можнонием порядкаописать

некоторойследующимобобщеннойобразом.

функции, определен­

Для

того чтобы

функция

F

s)

была К-преобразова-

ным формулой

п.

необходимо и достаточно, чтобы

(1)

6.4,

(

0},

рой

F

s

(s : Re

существовала р

( )

аналитична и удовлетворяет неравенству

(1)

i)

—

\F(s)

\ ^ P b (\s\),

\s

|.

где P b (\s

полином относительно

Ъ

Как мы увидим,

Р ьможет быть любой действительной

положительной точкой из области определения i f -преоб­

разования.

Однако

( I

s

I)

в общем случае будет

зави­

сеть

от выбора

Ъ.

Мы сначала

докажем

необходимость

в более общей формулировке, где

Ъ

может быть неположи­

Ь

Т е о р е м а

6.7.1.

Пустъ F

(s)

=

f

при s

€Е Q/

и

тельнымb любоечисломдействительное.

число, удовлетворяющее условию

—

Пусть

А ь обозначает

подмножество

опреде­

>

Ст/.

Q/,

ленное

формулой

Тогда

А ь =

{s :

s

ЕЕ £2/,

Re s >

Ъ, \s

| ;>

Ъ

—

а,}.

F

s

удовлетво­

аналитическая

в А ь

функция,

ряющая

неравенству

(1).

Полином

P b (|s

|)

в общем слу­

чае

( ) —

зависит от выбора Ъ.

Теорема

6.5.1

^утверждает,

что

ДFо к а з а т е л ь с т в о .

(z) — аналитическая функция

при

s e

Q; и,

сле­

\e~“

(zt)-»Ip(zt)\

(5)

ограничена2

при

\zt\

^

1,

0

< it

< о о .

То

же самое

верно

и

в области,

ограниченной

условиями

|

zt

| > 1,

Re

Ар=

с,

0

<

t

< оо;

действительно, из формул (5)

и (6)

и. 6.2 мы получаем, что при достаточно большой постоян­

ной

функция (5)

ограничена выражением

e-cl

I

(zt)~W*

I

Арв^

=

Ар

I

zt \~'xR~'heіиу! —.

<

Ape'**'"1

,

‘ '

2

IКроме того,

рн =4= Re p,

px =^= Іш p.

I Z р

+^

+,'Ѵ ^ І п/2р (I z |)/| z |m~<2 ^

Z~m+W *F (z) | <

< C | z

|-ч+^ +,/*,

где С — другая постоянная. Поскольку — q +g

рн(t)e~clt~^~'^+ 1/з<С

< — 1, то все это доказывает, что интеграл в (4)

сходится

равномерно

при 0 <17 <С 00 и чт0

функция

непрерывна и ограниченаg (t)ë~dll]pна(t)0

< о о .

Таким образом,

при любом d >

с в обоих случаях (т. е. при Rep

< 0

или

р =

0)

функция

абсолютно

интегрируема

на

0

<

t

< о о . Поэтому

в

силу свойства

V I

п.6.3

g (t)

Доказательство теоремы

6.7.2 приводит

еще к одной

удовлетворяетформуле обращенияусловиям(см. ,

нижесформулированнымформулу (6)).

в теореме

С л е д с т в и е

6.7.2а.

Предположим,

что

F s)

(

6.7.2.

П ри любом

(фиксированном

ц

ограниченном

обыч­

)

(

т —

Re ц — 3/2

превосходит

степень

Р

(|

s

|).

Положим

f = S™/2i ^

cs-mF(s)},

где

b,®

определяется формулой

) , a S ^

обозначает

с >

(3

выбора

с >

Ь;

кроме

того,

f

=

F (s)

по крайней

мере

при Re

Ъ.

F

(s),

t),

Из теоремы 6.7.1 и следствий 6.6.1а и 6.6.2а вытекает,

что мы можем налагать условия не на

F (s)

а на / (

и

получить следующее

утверждение:

если

=

Ці/

при

R e s >

о/,

то соотношение

(6),

справедливо

по

крайней

мере в смысле равенства в пространстве 3)'

З а д а ч а

6.7.1.

Доказать

следующее

предложение:

F

(s)

является //-преобразованием порядка р обобщенной(/)функции.

/ (г),

сосредоточенной

на

полуинтервале Г ^

< со

( Г > 0),

в том

и

только в том случае,

если 1) F (s)

— функция, аналитическая в не­

которой полуплоскости {s : Re s ^

Ъ >

0}, и

2)

существует такой

ПОЛ И НОМ

Р (I s|),

что

\F ( s ) \ ^ e - ResT Р (\s\,

R e s > ö .

(7)

Указание. Чтобы доказать необходимость, примените свойство

IV п. 6.3 к выражению

F

(s) = </ (г),

к [ I * I (г -

Т)]

Y J t K ^

(st)>,

где k (t) — гладкая

на

— оо <

t< оо функция,

к (t)= 1

при

— 1/2 <

t<

оо,

к (г) =

0 при — оо < г < — 1.

Для

доказательства

Р (Sv)u = g,

(1)

(6) п.

6.7 и таким

образом найти обобщенную функцию

и

по

крайней мере

в принципе — вычисления по этим

шение

V ЕЕ З)'(і )

не

будет сосредоточено

на

Т

t

< оо

(см. Шварц [1], т. I, стр. 130; Гуревич [1], стр. 46).

Сравним 5?(х-операционное исчисление с ^-операци­

онным

исчислением,

рассмотренным в п.

5.7.

^ -опера­

пользовали

соотношение

К ^{і)

=

K ^ (t)

для того, чтобы

ограничить

множество значений р областью Rep > 0

без потери

общности; относительно

случая

Re р =

0 и

р

0Р см, .

Земанян [10]). В настоящем случае

мы

не на­

кладываем

также никаких ограничений на корни

поли­

нома

входящего в уравнение (1),

в то время как в §н-

операционном

исчислении требовалось,

чтобы

Р

х)

не

(

имел

корней

на действительной

полуоси — оо

<^х

< 0 .

Кроме того, допустимые решения в ^.-операционном

исчислении

могут быть

обобщенными функциями экспо­

ненциального

роста при

t

-» о о ,

тогда

как

в ^-опера­