книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

L (t) = t

генри и постоянного сопротивления

R = 1

ом.

Здесь

t

jit)

обозначает время. Мы допустим, что

начальное

возбуждение

в

контуре

Lit)

отсутствует и что напряжение на

ШНгк

концах равно пулю до

некоторого

v(t)

положительного

момента

времени

Я

іом

t = Т > 0.

Мы

желаем

определить

Рис. 4.5.1.

=

ток j (t), возникающий

при

подаче

напряжения.

Законы

Кирхгофа

приводят

к

утверждение.) Обозначим эту

полуплоскость

через

Q u = {$:

Re s < о0}.

Физический смысл

задачи

требует,

чтобы

функция

/ (t) также

была сосредоточена

на Т

t < оо.

Следовательно,

обобщенной функцией, преобразование

Меллина которой

равно

V (s)/2 — s h

имеет область определения

{s: Re s < (min

av,

2)}.

З а д а ч а

4.5.1. Используя обозначения, введенные

в

этом

полос (2) в Q^, является гладкой функцией на 0 <

х < оо, которая

удовлетворяет

уравнению Lu^ =

0

в обычном смысле. Указание:

использовать

теорему 4.4.1.

З а д а ч а

4.5.2.

Пусть

X

— фиксированное

положительное

число,

и

1+ {х — X)

— сдвинутая

функция Хевисайда:

Г

0,

0 <

а: < X ,

1+ { х - Х ) - =

i/г,

* = Х ,

I

1,

Х < ж < о о .

Пусть

L

— дифференциальный

оператор,

определенный

в (1)

и

и {х) — решение однородного

уравнения

Lu (х) =

0, 0 <

х <

оо.

Известно, что функция и (х)

— гладкая на 0 <

х <

оо. Показать,

что

п—1

L

[и (х) 1+ (X

-

bvD* 6 (* -

Z )'

(3)

X)] = 2

v=0

где

2aa:'l+2"v+ l

К =

a v+ ]*''+1"0

+

+ ••• +

a nXn un-v -l>

ных

функций,

преобразуемых

по Лапласу.

Сверт­

Пусть

а

и

Ъ

— действительные числа,

а

6.

кой

меллішовского типа

называется операция,

которая

каждой паре элементов /,

М ' а,ъ

ставит в соответствие

выражение

f \/ g,

определенное формулой

</V

ѳ> =

g

</(*)»

< s ( y ) , Ѳ ( х у ) } ,

0 e J f a ,b. (1)

Выражение

f \ J

также является элементом

J f

а ь-

х

замену

Чтобы доказать это

утверждение,

сделаем

перемеппых

= е-і н

у =

е~х

в соответствии с теоремой

4.2.1. При

этом положим

или,

эквивалентно,

0 (ху) =

(ху)~1 cp (In ху).

Из леммы

3.7.2

и

теоремы 4.2.2 следует,

что функция

£ а,ь,

<g

(е~т)> Ф

(t

т)>

(2)

яринадлежит

£ а+,ь■

еслиJ

ср е

Поэтому в

силу тео­

рем 4.2.1

и 4.2.2 мы можем записать (2)

в виде следующего

элементаg пространства

f а>ь:

у)

g (if),

(ху)>.

X

— ln

> =

<

0

<

(2/). З ГЧ (— ln

смысл.

g

£= .^ а,ь>

Для завершения доказательства того, что / V

мы воспользуемся

теоремой 4.2.2

и напишем

/

(е~1)

ее

ЕЕ 5?а,ь

п

g (е~

ее

Поэтому согласно теореме 3.7.1

Е=

')

Из

/ (е~‘) *

g (е~*)

%'а,ь-

теоремы

4.2.2

вытекает

тогда

справедливость

включения

g \ J

f

ЕЕ

поскольку

где Тае о р е м а 4.6.1.

Если

f u

g

принадлежат Л а,ъ->

g,

определенное формулой

(1),

то выражение f \ J

также принадлежит Л а,ь-

J f

(w, z),

w

< Ь,

Равенство (1) определяет свертку меллиновского типа

также

и в любом пространстве

g

где

< z ,

однако в этом случае 0 — произвольный элемент

J f

(w,

z).

J f

( ш ,

)

Другими словами, для любых элементов /,

z

сверткойѴр меллиновскогоЪ < z ,

типа /

\/ g

является тот элемент

J i '

(w

, s), сужение которого на

любое подпространство

J f а,ъ,

/ и

g

на Л а,ь-

совпадает

со

сверткой сужений

о о

h(x)j(t — x)dx,

—5о о

мы получаем с о

0 < > < о о .

(3)

О

щее. Если

f u g

— локально интегрируемые на 0 <

х

<

< о о функции

и

если функции

//£аіЬ и

g/t,a,b

абсолют­

но интегрируемы па 0 <С а; <

оо, то / \/

g

—•регулярный

элемент

соответствующий gобычной функции (3).

Специальный случай, который мы используем в сле­

дующем(g

пункте, возникает, когда

и 0 — основные функ­

ции из

3)

(/), где

I

— интервал 0

<z.x

< о о .

Выражение

0/)і Ѳ (z, у)>

является в

этом случае

интегралом,

который после замены< ѳ переменных<й - т « ( £ ) можно> •

записать в виде

Носители

Ѳ

(у)

и

x~xg

пересекаются

по

компактному

подмножеству

открытого первого

квадранта 0

<С.х

< о о ,

О <г</<*),/ < о о<.ѲСледовательно(я), і г ( ф у, равенство-< / мхом(1)

,принимаеті г ф

вид,

</ V В , Ѳ> = <0 (у), < / (х), 1 g ( ! ■

). »

(4)

< /

e'ß- (е'~х) >,

(6)

и заметив, что (6) — регуляризация,

а поэтому гладкая

нами доказана

4.6.2.

Если

/

Ж а,ъ

и

g

€Е 25 (/),

то

Т е о р е м а

(/)

f \ J

g совпадает в смысле

равенства в Ю'

с гладкой функ­

ge

цией

на I ,

а именно

у е / .

(7)

( f V g ) ( y ) = < /(*),

Будем называть

(7)

регуляризацией меллиновского

типа

устанавливает

формулу преобра­

обобщенной

функции

Следующая теорема

зования свертки

/.

для преобразования Меллина и два свой­

выведены

из

этой

формулы.

то Тf

е оSр

Если

$Rf =

F s

при

существуете м а 4.6.3.в смысле свертки меллиновского( ) s £типа£ 2 ;,

$5lg

V

G (s) при

s e e

Qg

и

множество

не

пусто,

Q ,образованf] Qg

в Ж=

(w

где

интервал

w

a

пересе­

ме того,, z),

Q/

П

с

< z

Кро­

чением множества

действительной осью.

f \5К (/ V

8)

=

F

(s) G

(s),

s G

Qi

П Q*.

(8)

Далее,

$5lh =

Н

J g

=

g \ J

f

коммутативность

)

в смысле равенст­

w,

Если

(

что

ва в Ж

дополнительно

предположить,

при

s

и множество Qf

Q h

не

пусто,

то( f \z)J .

( g \ J

h)

=

(f \ J

g) \ J h

ассоциативность

в

смысле равенства(s)

в ЖQ h,(w', z'), где интервалf~| w'Qg (~)

дей­

образован

пересечением

множества

(

f]

Q/ f]

Q(l

с

ствительной

осью.

Первое

<Си < z '

Д о к а з а т е л ь с т в о .

утверждение

выте­

кает из теоремы 4.6.1Ъи того факта, что / и g — элементы

Jf-a, ь

при

w

<Еа

^

< z .

Далее, при

любом фик­

сированном

s g 2 (

П a g

определение

(1) приводит

к

соотношению

=

®

( / Ѵ £ ) ' = < / (s).

< е ( У ) і х У У 1» =

= < /

(я г),

Xs-1) <(у

(у), у5“1)

= F {s) G (s)

g

= < s

),

</(*), Uy)8-1»

= а» (* V /)*

что

f \ / g = g \ / f ' B J f ' w

доказать

( , z). Наконец, чтобы

последнее утверждение теоремы, возьмем s Е

^

f] ^ П

П ЙЛ. Тогда, как и выше,

3R Г/

V

( s

V

h ) ] = F (s) G(s)H (s) = SR [ ( /

V

£)

V

Их теоремы

единственности получаем равенство

/VteVÄ) = (/Ѵ*)Ѵ:*

5

У

Фл„ (*) = ■g У + Дxhy

■ s\ —

~ i r DvZ ( іГ ) ’ Д ^ ° ’

рядка можно получить по индукции,

поскольку D kg GE S) (I),

если g e 3) (/).

З а д а ч а 4.6.2. Показать, что М '

(w, z), где w < z, является

З а д а ч а

4.6.3. Пусть а <

Ь, } ge М '\ -ъ, і-а

и g £Е Л а ,ь . Опре­

делим вторую

свертку меллиновского типа / Д

g формулой

или

(/ А ?) И =

,М а,ьV 8 И .

Показать,

что

/ Д g — элемент

Л ’

п

ЯИ (/

ff)

= F

(1 -

s) G (в)

по

крайней мере для а < Re

.5<

b, где 95?/ =

F

(s) по

крайней меро

для

1 — Ь <

Re s < 1

Л— а,

и 951 g =

G (s)

по

крайней

мере для

а <С Re s <

b.

Указание: использовать результаты п. 4.4,

включая

задачу 4.4.6.

З а д а ч а

4.6.4. Показать, что свертка мѳллпповского типа

является непрерывной операцией в следующем смысле: если

w <

z,

{/ Х = і сходится в J l '

(ш, z)

к / п у (Е М ' (ш,

г), то

в

/ „ V 8 = g \ Z f 4 - > f \ / g = g \ / f

d l' (w,

(w,

w

З а д аг)ч п р и V —> o o .

z), где

<

z.

а

4.6.5. Пусть / п g — элементы J t '

Показать,

что для любого целого положительного чпсла /с

r2f 5 - + r £ + £ = 0’ ° < г < ~ ’ 0 < Ѳ < а

(1)

условия:

и {г,

Ѳ) сходится в

Ю'

(/) к

не­

1. Если(I Ѳ -» + 0, то

которой преобразуемой по Меллину обобщенной функ­

ции

/(г)

здесь обозначает

интервал 0 < г

< о о ) .

2.

Если Ѳ

а — 0, то и

(г,

0) сходится к

нулю

рав­

номерно на каждом ком­

пактном

подмножестве

О < г

<

оо.

ПреобразованиеМел-

лина

дает

возможность

решить эту задачу ме­

тодами

операционного

исчисления. Как и рань­

ше,

сначала

получим

решение

формально,

а затем

докажем, что

оно действительно удов­

летворяет

уравнению.

Применяя

преобразо­

переменную,а Ѳ — как фиксированный

параметр.

Ш

(г,

Ѳ) =

<ц (г, 0), г5"1) А

U

(s, 0).

4.4

В силу формулы

преобразования

операции (6) п.

9К преобразует (1) в

0) = 0 ,

s(s + l) U( s , Q ) - s U ( s ,

Q ) +

* L u

{s ,

если предположить,

что

оператор

ö2/902 перестановочен

с $0і. Поэтому

0)

=

А

(

eis0 +

В (s)

е~ьо,

(2)

U (s,

s)

A (s) +

В (s) =

F (s),

A (s) eUa +

В (s) e~isa = 0,

так что

A(s) =

*•(»)

1

F(s)

^__ еі2ав ’

_ e-i2«s •

sin (as — 0s)

-

О

(е~И°),

I со I —> oo,

(4)

равномерно

sin as

на — оо < о < о о .

Кроме того,

при 0 <

< Ѳ ^ а особенностип

функции sin (as — 0s)/sin as — это

простые полюсы, которые могут находиться лишь в точ­

ках s = ягс/а, где

— целое число, не равное нулю.

(Точка s =

0 не является полюсом, поскольку обе функ­

полосеа й/. Следовательно,

если О < 0 < J

a > то функция

(3) удовлетворяет

Ъ

условиям теоремы 4.3.6

в любой по­

лосе

< ; Re s <;

(оу,

<

а

<

Ъ

< оу,),

не

содержащей

точек

вида тгя/a (п =

+

1, ±

2, . . .).

Таким образом,

применяя теоремы 4.3.6, мы получаем

в качестве возможного

решения уравнения (1) выражение

О

<< 0 <С а,

0 < ; г <г. оо,

где а — любое

(5)

действительное

число из й/,

не равное

дя /а(?г==+1,

+ 2 , ...). Если

й/

о,

содержит некоторые из точек гея/2, то решение (5) не

пп/а.

0единственно; оно может быть различным при различных

значениях

равных, например, оу и о2, если между оу и

2

имеются точки вида

Этот случай мы рассмотрим

Г

sin (a — gѲ) (о +

іш)

(6)

I “

(г, Ѳ) I < 2я

+ ію) sin a ( +

iu>)

da>,

где

a

фиксировано

указанным выше образом. Теорема

4.3.5 утверждает, что

F (а

+

ісо) имеет медленный рост при

I со

I ->

оо. Следовательно,

из оценки (4) вытекает равно­

тервале ß

Ѳ

а, где ß >

0. Поэтому мы можем перей­

ти в (6) к пределу

при Ѳ -*•

а —

0 под знаком интеграла и

<*<г,Ѳ),

Ф ( г ) > = ^ 5 *

I

где 0 <

0 — оо

X г_0_1“ ф (г) dco,

Ѳ < а и а фиксировано, как указано выше. Если