Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

13.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 417 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Однако мы, по-видимому, поступим в большем согласии

со сложившейся практикойI

, если ограничимсяЛ п

использова

нием слова «распределениеп,

» в смысле, разъясненном выше.

ОтметимV

, что Лесли

совпадает<S (I),

или

с открытым

подмножеством

то

любое пространствоV (I)основных

функций

(/) содержится в

<§ (I)и. согласно условию 3

сходимость

любой последовательности

к нулю

влечет ее сходимость к нулю

$ '

Отсюда следует, что

сужёние любого

элемента

/ ЕЕ

{!)

на

Ѵ'

(Т)

принад

лежит

Ѵ* г

(/)•

Ѵ* (I)

функция на

(/ СИ

Л п),

такая,

Пусть / (£) — обычная

что для всех cp е

интегралdt

(1)

^ / (О ф (0

существует в смысле Лебега и для каждой последователь ности {срѵ}, сходящейся к нулю,

5 / (О

Ф»

d t

-*■ 0

при

V — СО.

;

(1), мы определимфункциейэлементв

fТогдаобобщенной, положивфункцией</, ф> равнымв W'

W (I),

который

мы будем называть либо

регулярной

V " (J).

сингулярной,

(/),

либо просто

называется

П р и Обобщенная

функция

/ е ^ ' С О

на I

если она не регулярна.

м е р 2.4.1.

Для иллюстрации сказанного мы построим

пространство обобщенных функций,

сужения которых на S3 (Г)

принадлежат

S3' (/), но

которые

пе

могут быть

отождествлены

с подпространством S3'

(/), так как существуют две различные об

общенные функции, имеющие одно и то же сужение па S3 (/).

Пусть I

— конечный

интервал

0 <

t < 1 в

33?-. Обозначим

через 33 {!) пространство всех таких комплекснозначных гладких

функций ер (<) на I ,	что		0		1		2
В (ф) =	sup I D ky (О I < оо,	/с =		,		,		, . . .
к	tel

Снабдив 33 {I) топологией, порожденной мультинормой {ßH“= o> мы получим в результате пространство основных функций, содержа щее S) (I ). Однако S3 (/) не плотно в 33 (/). Например, пусть ф (г) =

=1 на I . Тогда функция ф (<) принадлежит 33 (/); однако она не

может быть пределом последовательности функций из S) (/), по скольку lim ф (t) = 0 для всех ф ЕЕ S3 (/).

Пределы lim ф (<) и lim ф (t)		существуют для	всех ф Е ^ (/)•
і-И	(->1 - 0
Действительно, -0	(->1 - 0
ф (0 =	^ 1>Ф (0 dx +	ф (Ѵг), 0 < t <	!/*,
	V.

п правая часть стремится к пределу при t —* +					пли при t —* —О.
так как функция D <p (t) ограничена и			непрерывна на 0 <			t •< 1‘
				0		1
Определим		/ как функционал на 38 (I)		по формуле </,		<р> =
= limcp (/). Очевидно, / — ненулевой элемент пространства						38'{І),
^—*—{“О			(/) также является ненуле
сопряженного к & (Г). Сужение f па. 3)
вым элементом в ЗУ (Г). Таким образом,			существуют два различных
элемента 38'	(Г), а именно / и нулевой элемент 33' (Г), сужёнпя ко
торых на S)	(/)	равны и совпадают с нулевым распределением на /.
П р и м е р		2.4.2. Пусть I обозначает теперь всю действитель

ную ось ЗЯѴ, и 38 — основное пространство, определенное в преды дущем примере. В этом случае 3) также содержится в 38, но не плотно в нем. Пространство 38', сопряженное к 38, является про странством обобщенных функций на М 1. Мы не можем здесь ис пользовать рассуждения предыдущего примера для построения ненулевого элемента в 38', сужение которого на 3) является нуле вым распределением па 3ft}- Это объясняется тем, что пределы lim ф (г) и lim ф (г) существуют не для всех элементов 38 (напрнмер,

t — СО СО

для ф (£) = sin t пределы пе существуют). Однако мы можем доказать существованнѳ такого ненулевого элемента в 38', воспользовавшись методом Долежала. Пусть 38L обозначает подмножество 38, для

функций из которого предел lim ф (г) существует. 38ь — линейное

і —* ОО

пространство. Определим линейный функционал / на 38L формулой

		</, ф> = lim ф (<), ф е			38ь .
		t —* СО
Тогда для		любого ф ев 38L
		К /, Ф > К Р « ( Ф ) =	sup		\|ф(<)\|.
			—oo<f<oo
Отметим,		что ß0 — норма на 38.	По теореме Хана — Банаха су
ществует такой линейный функциональна.©, что <Д,							ф> = </, ф>
для всех	ф е 38l и \| <Д, <р> \| <		ß„ (ф)	для всех ф			38. Следова
тельно,	Д — непрерывный линейный			функционал		на	38.
Так как 3) С 38L , то сужёние Д н асесть нулевое распределение,
поскольку <Д, ф> = lim ф (£) = 0			для всех ф £ 0 .			Таким образом,
существуют два различных элемента 38',					а именно Д и нулевой эле
мент 38',	сужения которых на 38 (/) равны и совпадают с нулевым

распределением. Это показыват, что пространство обобщенных функ

ций 38' не может				быть отождествлено с			подпространством 38'.
	З а д а ч а 2.4.1. Пусть					I — открытое		множество	в	и
ЗС (Г) — пространство всех функций, аналитическпх на I . Для каж
дого	компактного			подмножества К (Z / определим полунорму т\|я
на	(I)	формулой					Ф 6
				(Ф) = sap		I ф (і ) I,		Ж (/).
Снабдим		ЗС (/)	топологией,		порожденной			где К	пробегает
				•ек

все компактные подмножества I . Показать, что 36 (Г) является пространством основных функций.

Дельта-функция б (s — я), сосредоточенная в « £ / , опреде ляется формулой

<б (s — я), cp (s)>= ф (я)

п принадлежит сопряженному пространству &С' (/). Найти инте гральное представление для б (s — я).

2.5. Линейные дифференциальные операторы с частными производными, действующие на обобщенные функции

В этом пункте мы рассмотрим одни из типов операторов, которые при некоторых условиях могут быть применены к обобщенным функциям. Рассматриваемые операторы оп ределяются как сопряженпые к некоторым линейным

дифференциальнымI

операторам с частными производнымиЯ п

действующимt

в пространствеt,

основных функций.

т)

Пусть

— некоторое открытое множество в

или

fé", =

{*2,

in, .

. . ,

г} е / , и ѳ ѵ (і)(ѵ

0 , 1 , . .

. ,

I .

обозначает

комплекснозпачную гладкую

функцию

на

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор с част

ными производными						D k^ D kt. . . Qm^ D k'mQm,					(1)
	к ѵ		Я =		(— I f	0О
гдеЛ п			теперь		обозначаютк\		неотрицательные целыепорядкомчисла
из		и\ктI		I — одномерное целое число \|				кх	\| + \|	к2	\| + . . .
. . .	+		к	\|.	Число	I
							мы будем называть

31. (Символ (1) обозначает следующую последователь ность операций: уножить наѲт , подействовать оператором

дифференцирования

D hm,

умножить наѲщ^,

и т. д. Кроме

того,

если

— открытое

множество

W1,

то оператор

определяется обычным образом; в частности%

, пределV" (I)

не

зависит от направления, по которомуI .

комплексное прира

щение стремится к нулю.)

Пусть, наконец,

(/) и

% —

пространства основных функций на

отображение

(/)

Если

— непрерывное

лилейное

(/),

то

мы можем определить сопряженное ему отоб

ражение

ЗѴ

как

оператор

на

V "

(/),

действующий

по

формуле

<917, Ф> =

</,

ср 6= %(/),

/ <= V" (I).

(2)

Согласно

теореме

1.10.1V 1'31'

определяет

непрерывное

линейное отображение

(/)

(

Отметим,

что

порядок

дифференцирования

в каждом

символе

Л*»(І**І 1) можно изменять любым образом, не меняя при этом Яіф, поскольку ср и 0 ѵ — гладкие функции. Поэтому 91' / также не зависит от порядка дифференциро вания. По этой причине мы никогда не будем указывать порядка дифференцирования в D k. В то же время Зіср и, следовательно, ЗІ'ср зависят от порядка, в котором при меняются умножение на 0 , и оператор дифференцирова

ния D ^ .

множество

Л п

Если

7 — открытое

/ — гладкая

функция, носитель которой компактен в 7 (т. е./

(7)),

то / и все ее

производные

определяют регулярные

рас

Vпределения'

£ '

(7). Как

было отмечено в предыдущем%

пункте,

сужения элементов

£ '

(7)

на

(7)

принадлежат

(7).

Таким

образом,

для / €Е 25 (7)

и ср ЕЕ (7)

фор

мула (2) может быть переписана в виде

<91'/, Ф> = </, % > =

\ і

dt.

Интегрируя последовательно по частям, получаем

$ФІѲт І > Ч . . Ѳ 17 )Ч /] dt- 1

Таким образом, в данном случае мы можем отождествить 91' с оператором

где	D	ѳ ^ Ч . ^ т / ' Ѳ о ,	(3)
где		обозначает обычное дифференцирование.	Символ


(3)		будет использоваться и тогда, когда / — произвольный
элемент				%’	(7), и даже когда	7 — открытое множество
в	с&п.		Однако в этом случае символ				D	нужно понимать как
обобщенное дифференцирование						неявно определенное фор
					,	неявно определенное фор

мулой (2). Необходимо отметить, что обычная и обобщен ная производная не обязательно совпадают; это утвержде ние иллюстрируется примером 2.5.1, приведенным ниже (см. также Земанян [1], пример 2.4.1). В этой книге всю ду подразумевается, что если дифференциальные операто ры, такие как (3), действуют на обобщенные функции, то они являются обобщенными дифференциальными операто рами, определенными формулой (2). С другой стороны, если они действуют на основные функции, то операции понимаются в обычном смысле.

П р и м е р .

2.5.1. Пусть

/ — пптерпал

0 <

t < 1 ( ( £

£%1)

3) (/) — пространство

основных

функций,

опрѳдолеиное

примере 2.4.1.

В этом случае дпфференцпровапио является непре

рывным лпиеппым отображенном 33 (/)

в 33 (/). Поэтому производ

ная

(обобщенная)

D f

любого

элемента / è

33' (/)

определяется

формулой

W f , ф> =

</,

—D(p>,

ф £ 33 (Г).

Пусть

теперь / задается

выражением

</, ф > = ^і ф («)<и .

Таким образом,

есть

регулярная

обобщенная функция в 33' (/),

соответствующая обычной функции

/ (г) = 1 (0 <

і < 1). Обычная

нропзводная этой функции равна пулю всюду на I и поэтому по

рождает нулевой элемент в.® ' (I ). С другой стороны, обобщенная

производная не является нулевым элементом 33' (/).

Действитель

но,

для любой

функции

ф (Е 33 (/)

мы пмоем

<£)/, ф> = </, — І)ф> =

— ^ Лф («) dt = lim ф (t) —

lim ф (t).

Частным2

(->+о

і-»і—о

случаем операции, которую можно задать

формулой ( ), является операция умножения на гладкую

функцию.

Например,

если Ѳ — гладкая функция на 7,

если

ср ь->- Ѳср

есть

непрерывное” \Т) %'линейное

отображение

(7) в

(7),

то /н -Ѳ /Ѵпредставляет собой непрерывное

линейное

отображение

(7),

определенное фор

мулой

<Ѳ/, ф> =

</, Ѳф>,

с р е ^ (7 ),

/ е Г ( / ) .

(4)

Если пространства основных функций % (7) и V (7) сов падают, то Ѳ называется мультипликатором в пространст ве % (7). Например, каждая гладкая функция на 7 яв ляется мультипликатором в 25 (7) (докажите это).

З а д а ч а 2.5.1. Предположим, что операции дифференциро вания Э/Эіѵ (первого порядка) и умножения на гладкую функцию

0 определяет непрерывные линейные отображения пространства

основных функций V “ (/) в себя. Показать, что для / (Е V " (I) спра ведливо правило Лейбница дифференцирования произведения:

4"(0/) = о Ж Г + / at..

З а д а ч а 2.5.2. Доказать следующие два утверждения. Лю бая гладкая функция 0 (т) па открытом множестве I является муль типликатором в 3) (/). Если, кроме того, 0 (т) нигде па I не обра щается в нуль, то отображение ф і->- Ѳф есть автоморфизм 3) (/).

З а д а ч а 2.5.3. Пусть б (s — а) — дельта-функция, опреде ленная в задаче 2.4.1. Показать, что к-я обобщенная производная D k б (.? — а) принадлежит &£' (/). Найти также интегральное пред ставление для D k б (s — а).

2.6. Обобщенные функции, зависящие от параметра, и дифференцирование по параметру

Пусть т £Е — параметр, заданный на некотором от крытом множестве J в М 1, t ЕЕ Л п изменяется в открытом множестве / в Я п, и пусть V (/), как и раньше, прост ранство основных функций. Мы будем называть /х (t) обобщенной функцией в V " (/), зависящей от параметра

т, если для любого фиксированного значения т /х (t) при надлежит V ' (/). Таким образом, при всех cp Е У (/) выражение </х (г), ф (t)) есть обычная функция т. Мы бу дем также говорить, что обобщенная функция /х (t) диф ференцируема по X в фиксированной точке т 0, если при всех cp (t) ЕЕ V (I ) выражение </х (t), ф (<)> обладает в т 0 обычной производной. Это означает, что предел

lim 4 г [ ( U (0. ф(0> - </х. (0, ф(0>]	(1)
Дт-Ю

существует при всех ф (t) ЕЕ !'№(/). Кроме того, мы ска жем, что /х (г) дифференцируема на открытом множестве J , если (1) существует для всех т0ее / . Заменяя т 0 на т, обозначим (1) символом <DT/х (f), ф(/)>. Это выражение определяет производную по параметру как фупкционал на 'W (/). Символически можно написать

				< Д .М 0 .ф (0 > =	о л и		(і). Ф(0>.		(2)
Далее,		нетрудно видеть, что				1	{I).	Действитель
но, при Ат			Ф
				0 выражение (Ат)- (/х+дх — /х) принадлежит
V	(/)	и согласно нашему определению являетсяW							направ
ленным множеством Коши при						А т —>-0. Наше утвержде
ние является поэтому следствием полноты								(/).

Производные по параметру высших порядков Z)x/x обобщенной функции /х, так же как и частные производ ные /х по параметру, в случае, когда t e J? 11, определяют ся аналогично последовательным применением операции дифференцирования (первого порядка), определенной вы ше. Таким образом, все такие производные, если опи су ществуют, принадлежат Ѵ"{1).

3 А. Г. Земапян

Можно придать	смысл и операции интегрирования
/т по т. Этот вопрос	рассматривается, например, в книге

автора (Земанян [1], п. 2.8). Однако мы этим понятием пользоваться не будем.

З а д а ч а 2.6.1.	Пусть	/т (t) — регулярная	обобщенная
функция в V " (/) (I	С З І 1),	зависящая от параметра т е / , где
/ — фиксированный	интервал	в З і 1. Предположим,	что /т (г) —

регулярная обобщенная функция, порожденная обычной функцией

А (т,	t), удовлетворяющей следующим		условиям. Функции Л (т,
t) и D xh (т, t) непрерывны в области		{(т,	t):		е	/, t е /}. Интеграл
^ А (т,	I) ф (I) dt сходится поточечно	в	/ ,	а		D J i (т, t) ф (t) dt схо-
				т
I					I

дится равномерно на / при любой ф е V (/). Наконец, обычная производная ПТЛ (т, t) также порождает регулярную обобщенную

функцию (і) в V ' (/). Показать, что в этом случае Z?T/T (t) = = gx (t) в смысле равенства в V ' (/). Другими словами, при сфор

мулированных условиях дифференцирование по параметру и обыч ное дифференцирование совпадают.

2.7. Обобщенные функции, сосредоточенные на компактных множествах

В п. 2.4	мы отмечалиI	, что еслиV"'		I				Я п,
					— подмножествоS '				I )
						<£'	(/) на про
то сужениеWлюбой обобщеппой функции / ЕЕW
странство	( ) принадлежит			(/). В этом случае					(
можно рассматривать как подпространство						V '	(/) и полу
чить описание соответствующих элементов в							(/), анало
сосредоточенагичное данномунав теоремеподмножестве2.3.1.								V "
Мы будем говорить, что обобщенная функция / ЕЕ									(/)
		t	f i d		/ , если		(/, ср) =		О

для всех ф Е ^ (/), равных нулю в окрестности £2. На пример, дельта-функция б ( ) сосредоточена на любом множестве, содержащем начало координат. Если / — рас пределение, то его носитель есть наименьшее замкнутое множество, на котором / сосредоточено (см. п. 2.2).

Те о р е м а 2.7.1. Пустъ I — открытое множество

в32” , и пространство основных функций V 1 (/) обладает

следующим свойством-. 3)						содержится		в		(/),	и схо
в V		к тому же самому(/)				пределу. Пустъ
димость в 3)				(/)	к некоторому	пределу влечет сходимость
Тогда для										е
			того чтобы обобщенная функция						принадлежала
S'		(/)необходимо и достаточно, чтобы она							была сосредо
										/ У ' (/).
	(/),			V			f i d	/ .
точена на компактном подмножестве								/
		Д о к а з а т е л ь с т в о .				Из наших		предположений
относительно					(/) и первого условия в определении про

странства

основных23

функций (см. п. 2. 4) следует, что

(I) d

2Д (I )

<§

(7). Так как

3) (I)

плотно в

І§

(7),

то оно плотно и в %

(7). Далее, из третьего условия в оп

ределении

пространства

основных функций получаем,

что сходимость в

(I)

к некоторому пределу влечет схо

димость

^ (?)

к тому

же пределу. Из теоремы<§' (I)

1.9.1

следует

тогда,

что

Щ'

(I)

— подпространство

23’

(7)

было

(более точно, нужно

бы сказать,

что

можно

однозначным образом отождествить с подпространством

23’ (/)). Установив эти предварительные результаты, мы обратимся к доказательству необходимости и достаточно

сти условий теоремы23.

(I)

3) (I)

Достаточность.

Сначала заметим,

что

по предположе

нию

относительно

сужепие / на

принадлежит

25' (/).

X (t)

Далее,

пусть

функция

(7)

такова,

что

X (t)

1 в окрестности23(1)Q. Функция

является23

мультипли

катором в

23(1).

Действительно,

ф >->-

Хер определяет

ли

нейное

отображение

(7) (Z

(7).

Оно

также

непрерывно;

в самом деле,

из свойства 3 пространства ос

новных функций (см.

п. 2.4)

вытекает,

что

если

фѵ

-*■

23 (I)

при V —>-

оо, то tapv ->

0, в

3) (I)

и,

следовательно,

23(1).

X (t).

функцию

на

равенством

Определим

£ ( )

£ (£) =

1 —

Так

как

единицаI, ) очевидно,

является

мультипликатором

(7), то

этим

свойством0

обладает

и функция

£.

Для

любой ф е

(

функция

£ф равна

нулю в окрестности Q, так что

</,

|ф>

поскольку,

по предположению, обобщенная функция

сосредото

чена на Q. Итак,

і)ф> =

</, tap)

</,

Еф> =

( tap).

</. ф> =

</. (*- +

Так какI )tap е

(/), то равенство показывает, что задание

/ на 25 (

определяет / на6

(7). Таким образом, / есть рас

пределение

на 7 (т. е. /

25' (7)).

поскольку содержит

Носитель2 2/ е

25' (7)

ограничен,

ся в компактном множестве £2. Кроме того, носитель замк

Необходимость.

нут (см. п.

. ) и поэтому является компактным множест

вом.

Из теоремы 2.3.1

следует

теперь,

что

/ ée §’'(/).

23(1),

Доказывается точно так же, как и

Единственным от

необходимость условий теоремы 2.3.1.

личием является то, что теперь функции фт принадлежат а не 25 (7).

з*

Г Л А В А 3

ДВУСТОРОННЕЕ П РЕОБРАЗОВАН ИЕ Л АП Л АСА

3.1. Введение

Обычное двустороннее преобразование *) Лапласа опреде ляется формулой

		СО
						(1)
	(і)		СО
где /	(і)	— подходящим образом выбранная обычная функF s
ция	на действительной осиs.		— оо <	t	<t)	оо. двустороннееТаким обра
зом,	это преобразование отображает1			/ (		в функцию ( )
комплексной переменной			Прилагательное

означает, что интегрирование в ( ) ведется по всей дейст

вительной оси — оо <	t	< оо и что па носитель / не нало

жено никаких ограпичений (т. е. функция / (t) не обязана обращаться где-либо в нуль). С другой стороны, / может

быть такой, что нижний (верхний) предел в формуле (1) становится конечпым; в этом случае преобразование на зывается односторонним или правосторонним (соответ ственно левосторонним).

Существует много способов распространения преобра

зования (1) на обобщенные функции, причем некоторые из этих способов применимы только к односторонним пре образованиям Лапласа (см. Бенедетто [1], Купер [1], Долежал [1], Гарнир и Мунстер [1], Исихара [1], Джоунс

[1]	,	Кореваар [1],		Лавуаи [1], Ливерман [1], Миллер [1],
Майерс2			[1], Реберг	[1], Шварц [2J, Уестон [1],	Земаняи
[1J,	,	[2]).	Самый первый способ, предложенный		Шварцем
[ ]		основывается		на его определении преобразования

Фурье обобщенной функции. В частности, Шварц оп

ределяет преобразование Лапласа	распределения /
как преобразование Фурье выражения	e~alj	t
как преобразование Фурье выражения		( ), где деыст-

*) Обычным интегральным преобразованием здесь и далее будет называться соответствующее интегральное преобразование обычной функции. {Прим, перев.)

вительиое число а содержится в множестве Г /, для которо

го

е~°1

/ (

— обобщенная функция медленного ростаF. (s)

В противоположность этому метод,

развиваемый в дан

ной книге, определяете~г1\

преобразование Лапласа

обобщенной функции / как

результат

непосредственного

применения / к

</(

, «-*'>•

Этот

*■ («) =

на

—оо

( )

подход требует построения

<С оо

определенных пространств основных

функций,

содержа

щих

e~sl

при различных значениях комплексного парамет

ра

Если через Г® обозначить множество внутренних то

чек Г/, причем Г" не пусто,

то

определение (2)

приводит

тем же

результатам, что

определение

Шварца,

для

всех значений s, удовлетворяющих условию er = Re s ЕЕ Г®. Указанный подход независим от теории Шварца, хотя и может быть связан с ним. Построение пространств основ ных функций требует в нашем случае несколько более длин ных рассуждений по сравнению с подходом Шварца, одна ко ряд доказательств, касающихся свойств преобразова ния (2), при этом упрощается.

Кроме того, наш подход позволяет определить преоб разование Меллина G (s) некоторого класса обобщенных функций g (х) на 0 < X < оо по формуле

G (s) = <g (х), XS-1}

на основе простой замены переменных t = — ln х, g (х) = = / (() в (2); это обсуждается в следующей главе. Более того, как мы увидим в главе 7, с преобразованием Лапласа можно связать также преобразование Вейерштрасса. В пн. 3.2—3.10 мы рассматриваем одномерное преобразо вание Лапласа, при котором i n s принадлежат Л х и fé1 соответственно. Пункт 3.9 посвящен применению получен ных результатов к задаче Коши для волнового уравнения в одномерном пространстве. Одностороннее преобразова ние Лапласа обобщенных функций затрагивается в п. 3.10; здесь наше рассмотрение полностью эквивалентно приве денному в книге автора (Земанян [1]), хотя по форме не

сколько отличается от него.	Преобразование			Лапласа
в /i-мерном случае, когда i n s	принадлежат	Л п	и	%п	соот

ветственно, вводится в п. 3.11; там же перечислены его наиболее важные свойства. Применению этого преобра зования к неоднородному волновому уравнению посвя щен ц. 3.12.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 417 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ