книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

Функции

F

(s)e_cs'

и

F

(s)ecsl

в

силу іеоремы

3.6.1

представляют

собой

преобразование Лапласа

в

полосе

Й/.

Однако

паличие множителя s-1

в других слагаемых

выражения

(3)

налагает

некоторые

ограничения

на об­

ласть

определения

й и

преобразования

£

х

Обоз­

іі

, ( ).

начим через

R +

и

R _

полуплоскости

Re s >

0 п Re s <(

<

0

соответственно.

SЕслиE È R + .й/ f~)

Q e

и

R +

пересекаются,

то

возьмем

Qu =

й/П ^гП -й+-

Заметим

также,

что

£ ё[1+ (а:)]

=

s_1

при

Тогда

обратное

преобразо­

вание

Лапласа

определяется

уравнением

£ [1+ (х)

*

*

(я)!

=

s_1G (s)

при

s G

П ^ R+•_ , С другой

стороны,

если

й/

(~|

Q g

я

R

+

не

пересекаются,

то

множество

й/ П О? должно целиком лежать в

поскольку все рас­

мем

R

й и =

й/ П

й

е.

Так

как £ [—1+ (—л:)] =

s_1

при

s е

_,

то

обратное

преобразование

Лапласа

функции

s~xG

(s)

определяется

теперь

уравнением £ [—1+

(—х)

*

*

ё

(я)1 =

(s)

при

s G: Йг П 7?_.

Положим

Іг (х) =

X)

*

g (х)

в

первом

случае и

/г

х)

1+ (

(г) = — 1+ (—

*

g (х)

— во втором. Используя

формулу

выражения (3):

(X

ct)-\-j

ct)

с~гк{х

ct)}.

ut (х)

=

[/

(х — ct) —

с_1/і

—

(x-f

+

-j-

(4)

ется вполне определенной обобщенной— оо

функцией на — оо <(

<^:г<^оо,

t.так что она действительно имеет смысл как

обобщенная

функция

на

зависящая

от

параметра

обобщенной

функции

q

называется

Первообразной

q.

обобщенная

такая

функция, производная

которой рав­

на

DВ нашем

случае

h

является

первообразной

функ­

ции

g.

Действительно,

как уже было

показано,

D

1+

(х)

=

=

—

1+ (—

х)

=

б

(х).

Тогда, если

h = \+ * g,

то из

ра­

венств (12) пh.

3.7 и

(3)

п. 3.8

следует, что

D h =

(І>1+ *

х)

*

g)

=

б *

g

=

g

и,

аналогичноg,

,

h (х) =

—1+ (—

*

g (х).

Функция

в (4) может быть заменена любой другой

первообразной

функции

причем

решение

от этого

не

изменится. Действительно, любые две первообразные

мо­

гут отличаться только на постоянную

(Земапян

[1],

п. 2.6),

а эта постоянная выпадает, еслп

h

заменить в

формуле

(4) другой первообразной.

ным начальным условиям.

обобщенную

производную

Пусть /(ѵ)

обозначает ѵ-ю

/. Тогда

D x f (X

—

ct)

=

/!2>

(X

ct)

в смысле

25', посколь­

— 3)

ку для любойcp

функции

ср 6Е

D l cp (z) >=

\D%f (X — Ct),

(.X) > =

</ (z — ct),

= </

(x), Dl+ct cp

(z +

ct)

> =

</ (z),

D% cp (x

+

ct)

> =

cp

(x

= </(2) (z),

(x

+

ct)

> = </(2)

— ci),

Cp(x)

>.

Aрованияt

по

параметру

в

(равенство

(1)

п.

2.6) к

пределу

в смысле

сходимости

25'. Тогда

при любой

ср

2) и

—у 0

величина

— с <^гтлТ I/ ('г>~

с{ — сА0 — / (х

— c()h ф

[1],

стремится

к

<—с/(1>( z — ci),

ср (z) >

(см.

Земанян

стр. 53—54),

так что

D

J (х

—

ct)

=

—cfiA

(z —

ct)

в

25'.

на

/(1>

показывает,

что

D* f

(х

—

ct) —

с2/(2>(z — сі)

в 25'. Следовательно,

D\f (х

—

c t ) = c ‘1D l ( x

—

ct)

в

25'.

установить

Аналогичные

равенства

можно

также

для

/ (z +

ct),

h

(z —

ct)

n

/г (z -f-

ct).

Таким образом, функ­

(4)

ция

действительно

удовлетворяет дифференциаль­

ному уравнению (1) в требуемом смысле.

Обратимся теперь к начальным условиям. Для любой

ср е

25

1/2 [ср (z —

ct)

+

ср

(z +

ct)] -*■

ср (z)

(5)

п

Y

[ср (z —

ct)

— ср (z

ci)] — О

паппсать

<h {х(), )> Ф( х(* —

cp

-f

+

<ut

И .

Ф

(*)>

=

ct) -I-

(х

ct))

t

+

ф

—

ct)

—ф

( х

+

c t ) ) — >

</ (ж), ср(а:))

при

->

0.

Итак, первое начальное условие выполнено.

Чтобы проверить второе начальпое условие, исполь­

зуем уравпения

D , f (х

-

ct) =

с/(1)(х -с/),

D tf {х —

ct)

—

— с/(1>(х — ct),

D

D

,h

(х — ct) =

—cg (х — ct),

th (x

4ct)

— cg (x

- ct)

4

4

в

2)'

II

- f

проведем рассуждения так же,

как и выше.

Сделаем

теперь несколько

заключительных

замеча­

ций, преобразуемых

по

Лапласу. На самом же

деле

ниg

начальные условия, пи решение (4) ио обязаныh

быть

преобразуемыми по

Лапласуg,

.

Действительно, если / и

— произвольные обобщенные функции и — обобщен­

ная первообразная для

то (4)

все равно удовлетворяет

З а д а ч

а 3 .9

.1 .

Д о к аз а т ь ,

что

(4) удовлетворяет

втором у на­

чальном у

услови ю .

Д ей ству я

ф орм ально,

найти

в облас

З а

д

а ч

а 3 .9 .2 .

{ ( х ,

г):

—оо <

X

<

оо,

0 <

t

< оо}

реш ение

диффе­

и — и ( х, t)

ренциального

уравнения

D%.u =

D tu,

Кроме того, если этот

( 1)

интеграл сходится при sкаком-либо

значении s, то он будет сходиться при любом из некото­

рой полуплоскости

C T / < R e s < со или даже во всей

могут' быть перенесены на обобщенные функции.

Основная

идея заключается

в построении

подходящих пространствХ аЛ

основных функций.

Для этого

объединяются

методы,

использованные

при

построении пространств

и $,

а именно, методы пространства

Х а>ь,

обеспечивающие необ­

функций при £—>- +

о оТ,

и методы пространства $ , гаран­

тирующие,

что

эти

обобщенные функции сосредоточены

на интервалах вида

£ <

оо

(Г ^> —

с о ) .

Уточним сказанное. При любом выборе действитель­

ного числа

а

определим пространство

Х а

основных функ­

ций

следующим

образом:

функция

ср (£) принадлежит

Х а

тогда и только

тогда,

когда ср (£) является гладкой

наТ

— оо <

£ <

с°

и для

любого

неотрицательного це­

лого числа /с и любого действительного (конечного) числа

удовлетворяет условию

со

ра,т,к(ф)=

snp |ea(ZAp(£)| < ос­

т

е «

Таким

образом,

ср и все ее производные имеют порядок

О

( ~at) при

t-*-

+

оо,

ио при

t-*-

— оо на скорость их

e

Х а

роста

ие

наложено

никаких

ограничений.

— линей­

ное пространство.

Кроме

того,

каждое ра,

т,к

определяет

полунорму

в

Х а,

и совокупность всех таких полунорм

отделяет пространство

Х а,

так как предположение, что

Ра,т,о(ф)

=

0

для

всех

Т ,

влечет

тождество

ср (<)

=

О

на —

оо

<

t

<

с оТ.

Снабдим

Х а

топологией, порожденной мультинормой

к

где

{ Р а ,т , й}т,л,

пробегает

действительные

числа,

а

— неотрицательные целые числа. Из рассуждений, ана­

логичных проведенным в п. 2.3,

следует, что та же самая

топология

порождается

в

Х а

счетной

мультинормой

{Ра,Тр,к}р,и=о'

где

Т ѵ

пробегает

последовательность

точек,

стремящихся

к — оо .

Следовательно,

Х а

— счет-

но-мультииормпрованиое

пространство.

Х а

полноХ

(до­

кажите это),

а

поэтому согласно

теореме

1.8.3

полно

н

сопряженное

к

нему

пространство.

Более того,

а

—

пространство

основных

функций,

а

Х а’

Х а— пространство

обобщенных

функций.

состоит в том,

Очевидное,

но важнейшее свойство

что

e~st

Х а

тогда

и

только sтогда, когда

кпринадлежит

R e s > a .

В

то

же

время

tk

cp

(t)

принадлежит

Х а

при

любом

тогда

н

только

тогда,

когда Re

)>

а.

Пусть

Pa,T,fc (ф)

Т < 1 < оо

Г -т * а ,ъ (О Л кФ (О

<

СТа,М (Ф).

s u p

где

С =

sup I

еа'/к0)Ь (£)|.

Следовательно,

при

любом

Т < і < оо

Ъ Х а, ь

Х а,

выборе

числа

является

подпространством

и

топология

Х а,ъ

сильнее топологии,

индуцированной

на

X 0j ь

пространством

Х а.

Отсюда вытекает,

что суже­

ние любой

обобщенной

функции

/ ЕЕ

£ а

на

Х а,ъ

яв­

ляется

элементом

Х а,

ь>

какое

бы

значение

b

мы

ни

взяли.

а

Аналогичным образомХ с

можно показатьХ а., что если

<

с,

то

Х с

d

Х а,

и

топология

Х с

сильнее топологии, инду­

цированной

на

пространством

Следовательно,

ние

пространств

со

Х

аѵ;

последовательность

сходится в

U

Х—1

X

w

V

(

)

тогда и только

тогда,

когда она сходится в одном

из

пространств

ач.

Кроме

того,

X

w

не

зависит от

(

)

выбора

{ßy}.

Пространство

X

w

к

нему

(

) и сопряженное

пространство

X '

w

w

<Е5и, то

X

(и)

(Z

X

w),

( ) полны. Если

X

(

н сходимость

в

X

(и)

влечет

сходимость

в

(гя);

таким

образом,

сужение любого элемента

£'

w

на

X

(и)

при­

(

)

w

надлежит

X ' (и).

АналогичноX w),

сужение

/ ё

£ '

(

) на

X

w,z)

является

элементом

X '

(w,z)

при любом z.

Далее,

(

(

пространство

25

плотно

в

(докажите это),

хотя оно

и не плотно в

Х а

ни

при каком

а.

Отсюда следует,

что

элементы

X '

w)

являются

распределениями

и

что

это

(

неверно

для

элементов

пространства

X ' а.

Кроме

того,

значения,

которые

любой

элемент / G Ä '

w)

принимает

(

на

3),

однозначно

определяют

/

на

X

w).

Наконец,

(

<£'

является

подпространством

X ’

w)

(докажите

и

это

(

утверждение).

X ’

(w)

В силу предыдущих замечаний / допускает преобразо­

вание Лапласа

в

смысле

п. 3.3,

если /

е=

для не­

которогоах

w,

так

как

в этом случаеах =

/ является элементом(ах)

X

'

(

w

,

X '

wКроме того, существует такое действительное

о о ).

значение

— о о ),

что / е Г

число

(вюшчая

и / ÉjÉ

(

),

если

w < і ах.

Преобразование

Лапласа £/,

как

и

раньше,

определяется

формулой

F

(s)

А

(S/)

(s) ±

</

(t),

e~sl

>,

s е= Q/,

(2)

но

область

определения

представляет теперь

собой пра­

вуюX ’ полуплоскостьw) e~st X :

Q f

=

{s:

ах

< ; Re

s

< ;

с о } .

Правая

часть

(2)

имеет

смысл как

результат

применения

/ ЕЕ

ЕЕ

(

к

е

(П ),

где Re s >

При

этих усло­

і

обобщенной функцией

допускаю­

виях мы будем называть /

,

и (2) —

щей правостороннее преобразование Лапласа,

что

эта

правосторонним преобразованием Лапласа.

Следующие

несколько

абзацев

показывают,

востороннего

преобразования

Лапласа.

Т е о р е м а 3.10.1.

Каждая обобщенная

функция,

допускающая

правостороннее

преобразование

Лапласа,

сосредоточена на полубесконечном интервале вида Т

=

<

о о ,

ср,

/

(т. е.

</,

ср>

О

где T f конечно и зависит от

для любой гладкой функции

тождественно равной

нулю

<

в окрестности интервала

T f ^ t < i

о с ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Путь рассуждений совершен­

теоремы

2.3.1.

Пусть

Л„ обозначает бесконечный полу­

интервал

—п

t < і

оо.

Предположим,

что

элемент /

не

сосредоточен

ни на

каком полуинтервале

вида

T f

t

< С

о о . Это означает,

что для любого

п

найдется глад­

кая функция

фп,

которая

обращается

в нуль

на

Л „, и

для которой </, Ф„>чі=0. Заметим, что ф„

е Ж „

при лю­

бом

а.

Положим

0П =

фцД/.Фп).

Так

как /

^ X ' а,

если

а

(т^ то мы можем применить /

к Ѳл.

Следовательно,

</, Ѳп > =

1 при любом

п.

Но при любом выборе

а

после­

довательность {Ѳп}“=1 СХОДИТСЯ В

Х а

К ф уіІК Ц И И ,

ТОЖ"

дественно

равной

нулю,

так

как

элементы

{Ѳ„

Т

за

tисключением, возможно,

конечного

нх числа,

будут

-равны

нулю

па

любом

заданном

полуинтервале

п

*■

<

оо

(Т

>

—

о с ) .

Следовательно, </,Ѳп >-»- 0 при

со.

Это противоречит предыдущему утверждению, что

</, 0П > =

1

для

всех

п.

Доказательство

закончено.

Если / (г) — локально интегрируемая функция,

такая,

то / (г) =

0

почти всюду на — оо <

t

<

Г/, и

произведе­

t) е~аІ

абсолютно

интегрируемо

на —Хоо

<^£

о о ,

ние / (

то / (£)

порождает

регулярный

элемент

а

(мы

снова

его

обозначаем

через /),

определяемый

выражением

(1) п. 2.4), / задается равенством (3),

где правая часть су­

ществует в смысле Лебега

при всех

( р е Ж

(ш). В

этом

случае

обычная

функция

/ (

t)

должна

быть равна нулю

почти

всюду на

некотором

интервале —

со

< ;

t

<

T t.

Действительно,

в

силу теоремы 3.10.1

существует такое

действительное

число

Tj,

что

оо

Ф ( t)

dt =

0

для

— оо

всех

Ф £Е

3),

носители которых содержатся

в — оо < ;

t

Т<

<С

у,

Возьмем два произвольных действительных числа

а; и

Tf.

удовлетворяющих

неравенству — = о < £ < г / <

/.

Положим

,

0,

t ^ x

и f >г/,

ф(г) = 1

e x p f - ^ r - ^ ) , * < * < >

О =

1X-+00

1/i f{t)

l im [ф(i)]l / n =

?;[f(t)dt.

lim </,ф1/"> =

X

X

t)

X

и

n—у

t)

В силу произвольности

мы можем заключить, что

/(«) = 0

почти всюду

на

— °о < ; f < ;

Tf

(Уильямсон

[1], стр. 87). Наше утверждение доказано.

регу­

Таким образом, преобразование Лапласа 8/

лярной

обобщенной

функции /

из % '

имеет

вид

оо

R e s ^ a ^

F (s)

Tt j(t)e~sldt,

Т е о р е м а З.І0.2.

Для

того чтобы функция

Р

s)

(

была преобразованием Лапласа обобщенной функции

допускающей правостороннее преобразование

Лапласа

и

сосредоточенной на

Т

t

необходимо

/,

и достаточно, чтобы

существовали полуплоскость

Р

^

<

оо ( Г

— оо),

;>

а, в которой F(s) аналитична,

и такой полином

R e s >

И « ) | < е _Ке,т^ ( М ) . Re

( |s|),

что

s > a .

З а д а ч а

я < с сужение

любого

3.10.1.

Показать,

что

при

элемента / е

SSa на 5?с принадлежит SSс.

пространство.

З а д а ч а

3.10.2.

Доказать,

что

SSa — нолпоо

З а д а ч а

3.10.3.

Доказать,

что 3) плотно в SS (w).

З а д а ч а

3.10.4. Показать,

что

— подпространство Sß' (w).

З а д а ч а

3.10.5. Пусть / (t)

— локально иытогрируемая функ­

ция, причем

/ (г) = 0

при

— сю <

t <

Г. Показать, что

/ (г)

дение

e~at

/ (t) абсолютно интегрируемо на

— оо < г-< со

при

всех

а >

w.

3.10.6. Построить

пример,

показывающий,

что

З а д а ч а

утверждение,

обратное утверждению

«каждое правостороннее пре­

роннее

преобразование

Лапласа

с

областью

с х о д и м о с т и

вида

{s: сі <

Res

<

оо}.

Пусть <S*

обозначает

быстро

З а д а ч а 3.10.7.

пространство

убывающих

основных

функций

на

— оэ <

г <

оо, d?' — сопря­

женное

к нему пространство обобщенных функций медленного

роста (эти пространства были описаны в задачах 1.6.4, 1.7.3, 1.8.4

и 1.9.3). Пусть ХТ (г) — гладкая функция, такая, что Хт (г) = 0

при t <

Т — 1 и Кт (г) =

1 прн г >

Т. Доказать следующие утвер­

ждения.

(а)

Если {Фѵ}^! сходится

в Sßc к нулю,

то при

всех а < с

последовательность {Ä.T (г) еа,фѵ (<)}£Li сходится

к

пулю в d?.

(Ь)

Пусть

носитель

обобщенной функции

/ £Е 3)'

ограничен

слева числом Tf

О

пусть

Т <С. Т] и e~atJ 6Е

при всех а )> сц.

Определим / как

функционал на SSC при любом с )> а формулой

оо;

</, е~5‘> = « Г “ '/, Ѵ <а_8)' >, Re s > о > бх.

(с)

Если {фм}“ =1 сходится в d? к нулю, то {:в_а 'фѵ}^=і сходится

в SSa к

нулю.

(d) Пусть

/ 6E

56a при любом а >

ах.

Определим e~at / ( t)

как

функционал

на

<*?

формулой

д

е_ а 'ф>,

ф б і У -

ф> = </,

Тогда e~atf (Е $'■

Далее,

выберем

Т слева от полуинтервала

Т/ ^

^ t <5 оо, на котором /

сосредоточена.

Доказать, что поскольку а

можно взять как угодно

близким к щ, то

A,r e(a-S)'> =

</, е ^ 1},

R e s > c 1.

усилено до утверждения «/ — Іг

в 56' (гг)».

З а д а ч а 3.10.10. Доказать

теорему 3.10.2. Указание. Для

где X — гладкая функция, причем X (f) = 0 при t < — 1 и X (t) =

= 1

црн t —Ѵ</2-(0,Применитьe-si> = </также(0,

теорему 1.8.1. Для доказатель­

ства

достаточности использовать следующий классический факт

кости R e s ^ a

функция G (s) аналитична и удовлетворяет неравен­

ству I G {s) I <

К I s] ~2 e~Re sT, где К — постоянная, и если

с-{-іоо

§ № =

2лі с —5ісс

G №eSlds' с^ а’

то g (I) — непрерывная функция при всех г, g (г) =

0 при t < Т и

СО

G(s) =

g(t) e~sl dt

т

по крайней мере при Re s > а,

причем произведение g (t) é~at огра­

ничено на — оо < t <

оо.

З а д а ч а 3.10.11.

Следуя рассуждениям п. 3.7,

ввести опера­