книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

лированное в начале абзаца.

М 2,

т

М 2

Поскольку / ЕЕ

$'

(/), то для рассмотренного ранее чис­

ла е > 0 мы можем найти такое

что при всех

вой частью (9) ограничена числом 2е, а так как е

О про­

извольно, доказательство завершено.Ж\і

Мы по­

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы 5.6.3.

казали, что для любой функции Ф ЕЕ

« /

(х), V х у Jy. (ху)),

Ф

(у))

= </, §ДР>.

(13)

У

(у) V x y J v i x y ) dy)

+ </

(х),

со

Ф

(у) Ѵ х у М х у ) dy>-

</ (*). 5 Ф

J

(15)

о]

У

З а д а ч а 5.6.1.

Пусть

/ €= %' (/) и ц >

— 1/2. Проверить,

что -SpjjLn (Nyj) = —

и Jj^

(ЛТД) = y S p ^ j ,

используя теорему

З а д а ч а

5.6.2. Предположим, что

р >

— 1,2,

/ 6Е $ '

(/)

и F = $}yf. Показать, что

/ (re) =

lim

\ Л (i/)

У Д у

(xy) dy

у

r

Y -> со

оJ

в смысле сходимости в Ж у.

Это выражение является формулой об­

ращения для (1).

Допустим,

что

р >

- -

1/2,

/ е й '

(Л

и

З а д а ч а

5.6.3.

F — Spyf. Пусть q— положительное целое число, причем 2д)> р +

2,

где р — число, указанное в теореме 5.6.2.

Показать, что

в Ж у

справедливо равенство

смысле, а/

интеграл( * )

— в=

СО

.

т+

т ((

*

-t f4

)

-

смысле [Римана5 і

L

м^ ) 4

Уо

У*яJi>

*у>

+

где дифференциальный оператор

понимается

в обобщенном

З а д а ч а

5.6.4. Показать, что при р ^

— 1/2 и 0 <

а <

Ъ<

оо

bq-Pf

1. Іх — а) 1. (Ь — х)

И

s - a

------

- =

Т

Ѵ *У Jq .ixy) — V ay J „ (ay)

£

У х у J у (xy)

=

\

------------------------------------------dx +

\

------ —

----- dx.

J

X — a

1 #)

X — a

a

a+l

Р ( M q jtfq .) U = g, 0 < X < OQ,

(1)

Р (—У2) U (у) — G (у),

(2)

“ (*) = & T j S f i ■

(3)

где

Ф =

О

решение единственно в Жу-

Полученное

G (уДействительно)/ у2)

, любое решение (1) должно иметь в каче­

стве

преобразования Ганкеля

обобщенную

функцию

Р

(

—

(докажите

это),

а

является

взаимно

однозначным отображением

Жу

на себя.

х —

0

Если

Р (х)

имеет нуль кратности

п

0, но

в точке 1

не имеет нулейgна —оо

< , то указанная операцион­

ная техника все еще применима для решения ( ) при ус­

ловии,

что на

наложены несколько другие ограничения.

В частности, пусть обобщенная функция

g

такова, что су­

) имеет решение, которое, однако,

в

Жу

уже не един-

(Івенно, как

мы увидим ниже.

Q

Q

ст Запишем

Р (х)

в виде

х

Р (х) — хп

(х

),

где

(х)

не

имеет корней на — оо < ;

0. Тогда (1) принимает вид

(MyNy)nQ MyNy) и =

g.

(4)

Применение фц к

(

У(4) дает

(у) =

(у).

(5)

( -

2)71Q (~ У г) и

G

По лемме 5.3.2 обобщенная функция

(6)

n - i f ) U { y ) = ( - i f r ' G ( y )

<

принадлежит,^;

в силу свойства II и. 5.2 она также удов­

летворяет уравнению (5) в смысле равенства в

Ж^..

6

Однако результат ( ) не единствен, существуют и дру­

гие элементы

Ж],.,

удовлетворяющие уравнению (5) в смыс­

ле равенства в

Ж

ц. В частности,

6

мы можем добавить к ( )

любое решение

Н (у)

£Е

Жу.

однородного

уравнения

{ i f f

И (у)

0

Такое решение имеет вид

—1

= .

Н ( ѵ ) =

П

(7)

Sav^v(y),

< і №

{у),

{у),

I/*п

[у^у-ѵ-Ч.ф

Ф (г/)> = <ЕѴ

« -ФЧ -o(у)> =

( у ) ] = 0

при 0 ^

V ^

=

l i m Q r 1D ) v

п — 1.

6

Таким образом, мы можем добавить (7) к правой части

( )

и получить уравнение для всего класса решений (5).

Операционное исчисление показывает теперь,

что

—1

П =

G (у)

П

{у)

(8)

Q ( - v 2)

(— у г)п +

2

« л

ѵ=0

что а ѵ —

является решением уравнения (4); напомним,

произвольные постоянные.

Р

(х

.і

Еще сложнее случай,

когда

)

имеет

корни на

— оо

< 0 .

Он приводит к проблеме деления, заклю-

7 А , Г , Земанян

193

■

чающейся в том, что нужно найти' обобщенную функцию

U у

( ), удовлетворяющую уравнению (2) (см. Земанян 18]).

Отметим, наконец,1

!

что дифференциальное уравнение

вида

_-:кист ііь<і &.Ѵ. .п

г-атэйоиэ yr.i-

тіг.к-чт.вп'!ГГь:

где

Л у

I. !.я т.ю і‘>«.і о .Р

і/?ѵ ).V =

'Ui.oa. (9)■

то'ѵатач.щу. .інктошіг.а он (Ш -!й.-.?гѵ«.»і. .-яви..О

!Г

tum.

x~hD

— J rV a,

' ■ MTi‘

!

ш/

.нтлоіі ••

ѵ

,

aiTiaiO- и: - Hoi-

■

--t

можно решить, если предварительно .умножить

и /

на

, Г -

ГТ - : , І

•'

1.

\-.. — ' . ' \

• U lli U l -

У X

поскольку

• Действительно,

f у-*-

у Ѵ являётся изоморфизмом

Жр

на

Ж^..

Развитые

выше методы позволяют найти решение

ѵ

£Е

Жу.

уравне­

тора П ^ і)„,;который может, быть, преобразован в

M 0N 0

на

умножением

рассматриваемых

обобщенных

функций

у х .

Кроме того, Меллер [1]ч,обобщила этот результат на

дифференциальные

операторы

вида

x^D xV+W ,

где

— 1

< р

< 1 , а Димовскис[1] сделал то же самое для бо­

лее общих операторов^, более высокого порядка.

З а д а ч а

5.7.1.

Пусть полином Р (х) ие имеет корней

на

— оо < X

0.

Доказать, что в

преобразование Ганкеля любо­

го решения уравнения,(1) равно G (у)/Р (— у2).

.?п

.■

З а д

а ч а

5.7.2. Н ай ти вІ^ р , р. ; > — 1/2, решения двух следую­

щих дифференциальных уравнений

'

и

оі;

нении

.ОШПІГ. Эьі.

„а miqoH

u, + ”P12 ( M ^ J

щ = gl,

-Ob пая

( М ^ )

и* = ft,

где

fi

—

l/2j

ri

g2

—

заданныРе пэлем(

енты

—

П О Л И Н О М Ы >

п

gj

Sfß'y., Р ц

определитель

2.1

х)

P'2‘2- (х)

,,

-PРц‘

,((ж)

х)

не

имеет корней

на —

сю < ^

0.

Н ай т и

Рп а(р у

реш енигй и

и2

в

Единственны ли

х они

х

х

—

3ß\s..

в

і

З а д а н а

5 .7 .4 .

Д о п уст и м klt, нто.

полинок

м

х )

имеет

н есколь­

ко

корней

на

>

—оо < ;

< оо; н априм ер ,

в т о ч к а х

.-г-

. . .

■

Р (Eq(

0).

с х

кратностям и .

. ,

соответственно.

Т огда

Q (х)

Q

(х)

(

+

І»)?* +

+

+ . ф'

t

.«,■

!»

'•:п* •=

х)

=

'

' ^ J* ■

( X

•JJ

где

полином

в 3 6 ^

равен

»'

<

0,

П о к а ­

не

нулю , нигде

н а

оо—

зать,

что решение

однороднаго

уравнения.

(ІИціѴ Д

ис

=

0,

р. ^

— 1/2,

имеет

вид

Р

“ «(*)=■

р2 2 с рЛ

і* V yJ v.l*u)]u=zp,'''

—1 ѵ=0

сировано,

обозначает

р егулярн ую обобщ енную функцию ..в

З а д а ч а 5 .7 .5 . Н ай т и в

3â\i

реш ение дифференциального ур гав ­

нения ( W

36\>.

и - и

= Б Щ х -

1) +

(і - П

Г 1

) б (* -

1),

; гі

где

снова

р ^

—

1/2.

М ож н о

л и

найти

в7й?р

другое

реш ение?

З а д а ч а

;5 .7 .6 .

П роверить

справедливость

ф орм ул ң

(-1Q),

считая дифференцирование обычным.

5.8.

Задача Дирихле в цилиндрических координатах

;,ПЯтгГ>

Этот пункт посвящен применению предшествующей теории

обычную

функцию

v (r,\z)

ів

области

{(г, г).:

0

< ; ?• < ° ° ,

0

< 2

<

оо}, удовлетворяющую

уравнению

Лапласа

в

цилиндрических координатах

___

«

Ф

dr%

1

d r

,

dz%

-

, f

д 2ѵ .

r

д ѵ

Ъгѵ

(в предположении,, что

Ѳ — фиксированный (параметр) й

следующим граничным

условиям:

.

(а)

Если z->- + 0 , то0

v (г, z

сходится в некотором обоб­

)

щенном смысле к распределению / (г) £Е

Ш'

(/). Здесь

I

обозначает0

интервал

V

< г

< о о .

Ь)

Если z

—у

оо,

то

(г, z)

стремится равномерно к ну­

лю

(і

>-

0на

<

г <

оо,

V (г, z)

z

(c)

Если г — оо ,

то

стремится к нулю для всех

V

0.

0, то

(г,

z) остается конечной для всех

(d) Если г -ѵ +

Здесь

и

(г, z)

= У г ѵ

(г, z),

g

(г) =

У rf (г).

g (г)

принадлежит

$'(/).

Согласно последнему аб­

зацу предыдущего пункта уравнение (

1

) принимает вид

где

M 0N 0u + ^

=

0,

(2)

M 0N 0u

=

(г, z).

А (Р) = <ё (я)> У я р / 0(хр)>.

(3)

рованном z 0

А

(p)e~pZ — гладкая функция р из

Ь 1

(0, оо). Поэтому мы можем применить обычное обрат­

ное преобразование

Ганкеля и получить формальное

р е ш е н и е в в и д е

и

(г>z) =

$

(g іх), V х ? Jo

e~pz V

Ф Л (ф) dp,

(4)

0(ф)>

v {r,z )

=

О

< г < о о ,

0

<

z

< о о .

r~'!* u ( r ,z ) ,

J x

e~pZ

e~pZ

/То0, что (4) есть именно то решение, которое мы ищем, мож­

но доказатьZ z <следующимС °°,

образом.

Прежде всего, функции

(гр) и

(гр)

ограничены на 0 < г р

< о о ,

и

и теоремы

при

0 < р

<С

Эти

факты

5.6.1 и 5.6.2

позволяют

переставить дифференцирование

лучающийся

интеграл

сходится

равномерно 0на каждом

компактном

подмножестве

области {(У,

z):

< г < ; о о ,

О < z

< о о } .

Поскольку

функция

e~pZY

гр

2/„и(гр) z)удов­

летворяет дифференциальному уравнению ( ) при любом

фиксированном р, то мы можем заключить, что

(г, так­

же удовлетворяет (2).

Следовательно,

v (г, z

удовлетво­

)

ряет (

1

).

Теперь мы докажем, что выполняется граничное усло­

вие (а). По переменной р функция

<g

(х),

V XP J 0

(ф )

}e~pz

(5)

<u(r, z), Ф (г)>=

ОО

5 < ^ ( х ),/ ф '/ 0(ф)> е-ргФ (р )ф .

Интеграл

в правой

О

равномерно

на 0 ^

части сходится

z

< о о ,

поскольку подынтегральная функция

ограни­

чена

выражением

0

0

\<g(x),

]Л гр /

(ф)> Ф'(р) I е А ( , об).'

Поэтому мы можем переставить переход к

пределу z —

—> -!

0

и иптегрнровапие,

получив при этом соотношение

2Гпп- + 0

(и (г, z), ср (г)) =

I

<g (.Г), ]Л ф /о (жр)> ф (р) dp.

Б силу

формулы

(4)

о

5.5

правая

часть

равна

<g (г),

п.

Ф (/•)>. Таким образом, мы показалиЖ, что

и

(г,

z)

g

(г) при

z - v + O

в

смысле

сходимости в

0-

Другими словами,

v(r,

z) —»- / (г) в обобщенном смысле (т.

е.

в пространстве

упомянутом в конце/ 0предыдущего пункта).

1

Ъ

Проверим выполнение граничного условия ( ). Пусть

число

В

ограничивает

(гр) на О < Ф

<Со°-

При z )>

из (г(4),

получаем

I у г) I

II

» (г, г)

<

р dp <

В

/ 0

е-ре-р (^ 1) /

<

5 I <g (а:), іЛср

(тр)> I

6

5

< 5 5 I <g (я), У хр J 0(хр)> I е-Р / р dp +

+

О

(6)

Ве-ь^-и 5 I <g (X), )Лгр /0 (хр)> I е-р / р dp.

s

тем, что при

z —

1

произведение

Воспользуемся теперь

(5) на ]/р принадлежит

Ь х

(0,6

оо). По любому заданному

е

0

найдем настолько

маленькое

б )>

О,

что

первое

слагаемое в

правой части

Z( ), не зависящее от z, будет

меньше е/2. Фиксируем это б. Далееv,

(существует такое Z,

для которогог

при всех z

второе слагаемое меньше е/2.

Отсюда0

вытекает, что при

z

оо

г,

z)

0 равномер­

но на

<

оо.

келя (Ватсон [1], стр. 502): если

h

(р) Е

(0, оо) и [і >

)> —Ѵгі то ПРИ г -»- оо

о

^ h (р) У р (rp) dp =

о

О < ф

<

оо

.

З а д а ч а

5.8.1.

Провести

подробное

доказательство того,

что

(4)

удовлетворяет дифференциальному

уравнению

(2)

при

0 < г < о о и 0 < г < о о ,

З а д а ч а

5.8.2. Решить задачу Дирихле для дифференциаль­

ного уравнения

вида

(1)

в области {(г,

z): 0 <

г <

0 <

z < 1}

со

следующими

граничными условиями:

к / (г) ЕЕ $'(/).

(a)

Если z —> +

0,

то

У гѵ (г, z) сходится в &£а

оо,

(b)

Если z —>1—0, то У

гѵ (г, z) сходится в

к g (г) ЕЕ <£' (I).

(c)

Если

г —> оо,

то

и (г,

z) стремится к

нулю

поточечно

на

0 <

z <

1.

Если г —> +

0,

то

V (г, z) остается конечной во всех точках

(d)

интервала 0 <

z <

1.

Ѳ, z) — функция цилиндрических

З а д а ч а

5.8.3. Пусть ѵ (г,

координат (г, Ѳ, г) в области

< Ѳ <

< z < оо}.

Найти

{(г,

0, z):

0

<

г

<

оо,

0

2л,

0

решение

уравнения

Лапласа

Э2и

=

2

дѵ

_

2

д2ѵ

д"-ѵ

0

dr

dr

r

2

при следующих

граничных условиях:

ЭІ

r

ЗѲ

(a) При z —* +

0 и для любого фиксированного Ѳ У гѵ {г, Ѳ, z) схо­

дится в &£п как

функция

г к / (г) cos пѲ,

где

п — фиксированное

положительное целое число и / (г) ЕЕ <?' (/).

(b) Если z —*

то V (г,

0, z)

сходится

равномерно к нулю

на

Ѳ),

0 < г <

оо,

0 <

Ѳ <

2я,}.

(іd) Если г —►

оо,

{(г, (c)

Если г —•

оо,то V (г, Ѳ, z) сходится к нулю при любом выборе

координат Ѳ и z.

0, z) сходится к нулю при любом вы­

+ 0, то у (г,

боре координат 0 и г.

Указание.

Показать

сначала, что

замена

ѵ (г, 0, z) =

г~" X

X и (г, z) cos яѲ приводит дифференциальное уравнение к виду, в ко­

тором к нему удобно применить преобразование Ганкеля порядка л.

Для

граничного условия (d)

использовать тот факт,

что | J n (гр)| <

< К

(гр)п при некоторой постоянной К и 0 <

гр ■ < оо.