книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

/ ЕЕ

м'а,ь

на

Л Суі

принадлежит

(мы

отмечали это

н раньше). С другой стороны, если

іо

и

и

ѵ

z,

то

Л- (и, V) —

подпространство

Л

(го,

z),

и

сходи­

J i '

(w, плотное

мость в

Л (и, и)

влечета

ЬсходимостьЛ а,ъ

в

Л (іо, z).

Поэто­

z)

Л ' (и, ѵ).

му

S

Для

является подпространством

подпростран­

III .

любых

Лиа,ъ

— плотноеS

ство

(/),

причем

топология

Л 0іЬ

сильпео топологии,

индуцированной на

пространством

(/). Поэтому

IV .

Для

любого

элемента / €Е

Л

по­

Ла,ьа,ьсуществуют

ложительная

постоянная

С

и

неотрицательное целое

число

г, такие,

что

для

всех

0 €Е

I </, ѳ> | <

С

max

£а, ь,,ДѲ).

0 < fc < r

V .

Если

f (х)

— локально

интегрируемая на 0

< іх

<

<

;

o q

функция

такая,

что отношение / (я)/Са,ь

(х)

солютно интегрируемо на 0 <

х

-< оа, то /

(х)

порождает

в

пространстве

Л а,ь

регулярный

элемент

/ по формуле

</, Q> =

\f ( x) Q (х) dx,

Ѳ е Л а> ъ.

(5)

О

3) (/) на 3),

а

также изоморфизм $ (/) па %. Отсюда вытекает, что

(3)

определяет

изоморфизм между Ю’ н 3)'

(I), а также между

и Г

(/).

4.2.3. Доказать утверждоиия, сформулированные в

З а д а ч а

свойствах I,

II, III и V непосредственно,

без использования тео­

рем

4.2.1 и

4.2.2.

Мы

будем

называть

/

преобразуемой по Меллину обоб­

щенной функцией,

если /

обладает

следующими

свойст­

вами:

1) / — функционал

в

некоторой

области

d

(/) обыч­

ных

функций.

,

т. е.

если ср, ф и ср + ф принадлежат

d

2)

/Л аддитивена>ь d

(/),

то < /,а,Ф -I-

ф >

=

< /, ср> -I- < /, ф>.

3)

CI (/) хотя бы для одной пары действитель­

ных

чисел

Ъ,

где

а <б.Ь.

4)

Для

всех

J/.c>d d

d

(/) сужение / на

,Mwl

принад­

лежит

Л сщ

всех действительных чисел а,

Пусть Л/ — множество

аа, Ь0,

зависящих от

а,

аа

< Ь а,

и

J f aa,bad

селd

чтоах

и

С

(/). Пусть,ахкроме

того,

g 2 — соответственно

нижняя и верхняя точные

грани Л/.

При этом допуска­

ются значения

=

— оо и ös =

+

оо, В силу теоремы

4.2.2

и первой части п.

3.3 / можно расширить до функ­

ционала

fi

на

d

(/)

(J

Л

(сц, о2),

имеющего

следующие

два

свойства:

быть расширена до функционала Д ,

однако

обозначать

Д будем снова через /.

Приняв это соглашение, мы можем

теперь

сказать,

что

для любой преобразуемой по Меллину

обобщенной

функции

существует единственный непус­

той

интервал

(сц,

а 2),

в котором

/

имеет непрерывное

ни

на

каком

не

определена

линейное сужение на

Л ( а х, а 2),

причем

/

,

< ;a lt

либо z^> о2.

пространстве J t

w

z),

если

либо w

(

/

4g1:

Для

любой

преобразуемой по Меллину обобщенной

функции /

обозначим через Q/ полосу в

&f =

{s\

G1< R e s < G 2},

где сц и а2 определены выше.

Преобразованием Меллина

обычная

функция

обобщенной

функции

/

называется

F

(s), определенная

на

формулой

F

(s) А

( Щ (s)

А

</ (я),

а-3“1),

s e ß / .

(1)

Правая

часть

имеет1

смысл,

поскольку /

(сц, о2) я

Меллина.

о2)

при любом фиксированном

s £Е £2/.

Ото­

г '"1 ЕЕ <М (сц,

F

бражение

$02 : / ->-

также

называется

преобразованием

Область

Q/ называется

полосой

(или

областью)

сходимости

$02/, а

ах

и

а 2 —

абсциссами сходимости

$02/.

Когда

мы

пишем

$82/,

то подразумеваем при

этом, что

ширенная указанным выше образом.

в

теореме

4.2.1,

При

отображении, определенном

функции

e~st

и а;5-1 соответствуют друг

другу. Из

этого

разуемафакта и потеоремыМеллину4.2.2тогдаследуети только

тогда

когда

(е~1)

Т е о р е м а 4.3.1.

Обобщенная функция

х )

преоб­

/ (

является преобразуемой по Лапласу обобщенной функци­

ей.

В этом

случае полосы определения

,

и

при

/{е~1)\

совпадают

и

F (в)

2

\е~1)]

всех

,

$02 [/ (а;)] =

=

$02 [/ (а;)]

й [/

s е

Q ,.

[/

различные

На

основании теорем 4.2.1, 4.2.2

и 4.3.1

перенестп

на

преобразование

Меллина,

сделав подста­

новку

і н-

— log

X

,

X

(сц, п2)

I-)-

Л

(сгц о2),

X '

(Оц а 2)

•->-

>->

Л '

(сц,

о2),

«Лаплас Меллии», S

^

$02. Для

об­

результатов.

(теорема аналитичности). Если

Из

Fтеоремы

3.3.1 и формулы (5) п. 3.4 вытекает

Т е о р е м а

4.3.2

то функция F (в) аналитична в

$02/ =

(в)

при

SEE£2/,

Q/

и

< /

(In

Xs' 1) = < /

e Q/,

(s) =

(х),

x f

(x), D U 3' 1), s

D *F

k

=

1, 2, 3, . . .

(2)

следующие теоремы обращения и единственности.

Т е о р е м а

4.3.3.

Пустъ

$02/ =

F

(s) при

Oj -< R es< ^

в

< а 2,

и

пустъ

г

—

действительная

переменная.

Тогда

в X)'

(/)

смысле

сходимости

±

о+іг

F{s) x -‘ds,

/ (0 =

lim

J

a—ir

где

а

любое фиксированное действительное число

удов­

летворяющее неравенству

о г

< ; аН<(ва2.

,Пустъ

F

s) при

—

4.3.4

(теорема единственности).

Т е о р е м а

$02/г —

£Е йл.

$02/ =

(

s E ß /

)

при s

Если

множество

Q/ П

пе

пусто

и

F

(s)

=

Н

(s)

при

z),

где

ЕЕ £2/

П

Q/и

то

f = h

в

смысле

равенства в d l' (w,s e

интервал

сw < ö

< z

является пересечением

множе­

ства

осью.

Теорема

действительной

3.6.1

превращается в следующую.

F

(s)

Q/П ^/і

4.3.5.

Для

того

чтобы

функция

Т е о р е м а

была

преобразованием Меллина

обобщенной

функции f

(б

смысле

определения

(1))

и

чтобы

соответствующая

Q ,

=

{

< R e

< a 2},

полоса сходимости имела

вид

s

0

s

в

и для любой замкнутой

: !

необходимо и достаточно, чтобы F

(s)

была аналитична

Ь}

полосы

Qf (Оі < іа

< ib

а

Q/,

подполосы

{ s :

^

R e s ^

полином

Р ,

что

\F

Р

s

существовал бы такой

(s)|

( |

j

)

при

а

^

Re

s

^

b.

Полином

Р

в общем

случае

зависит от выбора а и Ъ.

<Г сг2)

что при Jлюбомl ' 0

вы­

Из0

теорем

4.3.4

и 4.3.5

следует,

боре

Х п

0

где

0

осу­

2,

! < о2, преобразование Меллина

ществляет

взаимно однозначное

отображение

(

Х,

о2)

логx

следствия 3.6.1а, однако мы отложим формулировку

этого

утверждения

до того,

как будет введен

оператор

—

D

x, в которой

переходит

оператор

D t

(см.

теорему

леммы 3.6.1, который мы сформулируемфункция F следующиманалитичнаоб­

Т е о р е м а

4.3.1.

Если

(s)

вразомполосе.

и удовлетворяет в ней не­

равенству

{ s : a - < R e s < C b }

где К

постоянная, и если

I

F

(s) I

К

I

s

I “2,

—

—

О—і00

/

—

(3)

где

а

фиксированное число,

то

(х)

непрерывная

на

О

< С X

<

оо

функция, не зависящая от выбора а и порож­

дающая

регулярный элемент

пространства Л ' (а,

Ь).

Кроме

того,

5К/ =

F (s),

по

крайней мере

при

а <( Re s

Ъ.

торый предлагалось

доказать в

задаче 4.2.4.

З а д а ч а

4.3.2.

Показать,

что если / (.т) — локально

инте­

грируемая на

0 < ж <

функция, такая, что при любом

о из

некоторого интервала (с,,ооа.,) функция ж0-1 / (ж) абсолютно интегри­

руема па 0 <

X < оо,

то обычноо преобразование Меллппа

ОО

F (.?) = ^

/ (ж) л;5-1 dx

(а)

(ж — а),

(Ъ) ж* 1 + (ж — а),

(с)

ж*1' 1+ (а — ж),

(d)

е~ах.

Здесь

а — действительное

положительное

число,

к — неотрица­

тельное целое число и 1+ (<)

обозначает функцию Хевисайда.

З а д а ч а

4.3.4.

Пусть

а — действительное

положительное

ОО

число. Показать, что 2

б (ж — аѵ) является элементом J li' (— оо, 0).

Показать, кроме

ѵ=1

того, что

ОО

9ft 2

б (ж — аѵ) =

а5-1 £ (1 — s),

Re s <

0,

v = l

где

£

обозначает

дзета-функцию Римана

(Бейтмен

п Эрдойп [1],

т.

1).

4.3.5.

Сформулировать

для

преобразования Мел­

З а д а ч а

лина

F = 9ft/

какие-нибудь, необходимые

н

достаточные условия,

тервале 0 < ж ^

X (X

< оо). Сделать^ то же самое в случае, когда

/ (ж) сосредоточена на

полуинтервале X

^ ж < оо (X ;>

0).

З а д а ч а

4.3.6.

Придумать такое

преобразование

Меллпна

что

F

(s)

=

9R/ при

s E Ö / .

Кроме

того,

к

обозначает

положительное

целое

число.

х)

Л {w

(х)

Умножение

на

(In

х)к.

Операция

i-> (ln a;)fc0

задает

іи

0 (

в

непрерывное линейное

отображение

, z)

себя при любом выборе

и

z.

Для доказательства этого

проще всего сослаться на теорему 4.2.1

и соответствующий

факт, касающийся отображения(х)

t)

{(),

где ср

і

cp (

x)kfі-> Ар(х)

( ) =

=

е~'Ѳ

é~l

).

Далее,

согласно п.

2.5

п

теореме 1.10.2

со­

Л '

(

пряженное

отображение

/

>->- (ln

определяется

на

(іи

z) формулой

,

х)к

Л

{іи

<(ln

x)kf,

Ѳ> =

</,

(ln

0 >,

0 е

, z),

{w

и= являетсяX

непрерывным<^21линейным отображением

Л '

, z)

в себя. Поэтому,

выбирая

/ (ж) ее

Л ' (аи

н2), 0 (ж)

=

3-1

и

Oj <

Re s

мы

можем

написать

<(1п

х)к

/ (ж),

ж5-1) = < / (ж),

(In

х)к

ж3_1>.

формулу преобразования

операции:

ЭД (In

х)к

/ =

D * F (s), s

е Q/.

(1)

Л {іи

—

г,

z — г)

па

Л

(w

z ).

Поэтому формула

физмом xaf

Л ,'

(2)

имеет смысл,

и по теореме 1.10.2 сопряженный опера­

тор

/

задает изоморфизм

{w,

z)

на

Л ' {іи

—

г,

z

— г).

теперь,

что

/ —

F {s)

при s E lä / =

Предположйм

Л '

=

{ s: Hi <

Re s <

сг2}.

Тогда

f

е

(alta2) и

ж“/ e

£ =

(o^ —

r , a2 —

г ) . Выбирая s

+

a EE

Q fполучаем,

,

что

ж5-1 ЕЕ

Л

(Сті —

г,

п2 — г), поэтому

< жа/ (ж), ж3- 1)

= < / (ж), ж84-““1).

разования операцииF:

(s + а),

s + а

е й/.

(3)

ЗКжа/ =

Поскольку / (e~')

е~а' / (е-а() является изоморфизмом

5?' (аь о2) на

X '

(ох

— г, а 2J —f (го)1,

а(см2) .

п.

3.4),Л ' {<зто изг,

х

>-*- xaf

(х)

теоремы 4.2.2 вытекает, что отображение / ( )

х —

является

изоморфизмом

на

о2

— г).

Кроме

того,

подставляя

ж5- 1 вместо

Ѳ

(х),

мы

получаем

из

формулы (7) п.

3.4

соотношение

(х)

, а;5- 1) =

<е-“'/ (е- '), e-s'> =

+

а),

s +

а

е

£2/,

которое согласуется с (3).

видетьЛ

, что

оператор

0 і-»-

Дифференцирование.

D )k

Л аЛегко+к,ь+к

I-»- (—

0 осуществляет непрерывное линейное отобра­

жение

пространства

в

а,ь, и, следовательно,

непрерывное

линейное отображение

Л

(w

+

к,

z

+

к)

в

Л,

(w

, z). Поэтому сопряженный оператор

/ >->-

D kf,

оп­

ределенный равенством

(W

к,

Z

<Dkf,

Ѳ> =

</, (— /?)* Ѳ>,

0 е

+

А),

(4)

Л+'

задает

непрерывное

линейное Лотображение'

w

z)

в

( ,

Л '

(w

/с). Следовательно,

при

s — /с ЕЕ £2/ =

=

{

s :+ахА, z +

< R e

s < с г 2} и /

(Оц а 2)

мы можем на­

писать

^ _ 1 >

=

< /

( - D f x ^

=

(—1)* (s— Ä)*®-*"1),

<D*f ( * ) ,

( * ) ,

где

=

</(*),

< а 2}, Ѳ (ж) =

а;4"1

и

/ (ж) €= М '

(сгі,

(Tg) мы получаем

формулу

( ~ D ) kxs'k~ly

(xkD kf

(ж), ж8' 1)

= </(ж),

=

=

^5"1)

И Л И

®а:кЯ к/ =

( - l ) k(s)k </(*),

( - l ) k {s)kF (s),

s e

fl/.

(6)

<

(жО)*/, Ѳ> =

< /,

( -

D®) Ѳ>,

Ѳ £Е

М

(U7, z).

Символ

(—

D x)kQ

обозначает

выражение

(— 1)

D (х. . .

. . .D {xD

(жѲs)):. . .),

где имеетсяs

к

пар(хскобок)

. Обозначение

s

xD)k

Таким образом,

при

(.

Е-

М' интерпретируется аналогично.

А/ = {

< Re < п2 }, 0

= ж5-1 и / (ж) 6Е

ЕЕ

(Пі ,

п2)

имеем

соотношение

так

что

<

{xD)* / ( ж ) ,

ж 4'

1 )

=

<

/

( ж ) ,

( -

1 ) *

А

^

> ,

(ж Т >)* /

=

( —

l ) * s *

F

( s ) ,

s

е

А / .

Аналогичные

рассуждения(S

приводят к

формулам

® W

/ =

( -

1)к

-

/С), ^

(S),

а ЕЕ А/,

(8)

(з -

s

ЗК (Лж)к/ =

( -

1)*

1)*

F

(s),

е

А/.

(9)

с

(1)

п.

Между прочим,

сравнивая

(7)

формулой

3.4

следствие 3.6.1а в виде следующейПустъ

теоремыF

, приприводящейs

к еще одной формуле обращения:

(s)

а, Ь,

чтоТ е о р е м а

4.4.1.

ЗК/ =

ge

А/.

Выберем

в

три таких фиксированных числа а,

а

< п

<^Ь. Возьмем

также полипом Q

(s),

не имею­

в

F(s)

Re s ^

Ъ

и

полосе а

удовлетворяющий

щий нулей А/

а <[ Re s

неравенству

Q (s)

b,

где xD x

—

обобщенный дифференциальный оператор в

Показать,

что отображение Ѳ*->- ха0

является

изоморфизмом

Л (ш — г, z — г) на ,М (ш, z).

З а д а ч а

4.4.3. Показать, что 0 і-»- (—D )kQ задает непрерыв­

ное линейное отображение d l (w + k,

z + к) в d l

(ш, z).

З а д а ч а

4.4.4. Вывести формулу (7), применяя теорему

4.2.2 к равенству (1) п. 3.4.

З а д а ч а

4.4.5. Вывести формулы (8) и (9).

З а д а ч а

4.4.6. Вывести следующие формулы, в которых г

) А (anxnD n

+

ап_гхп 1 D n

1 +

. . . +

а0) и {х)

=

g (х),

(1)

Lu (хаѵ

ап Ф

где

— постоянные и

0.

Такие

уравнения назы­

вают иногда

дифференциальными уравнениями Эйлера.

Пре­

В (s) =

ап (— 1)” (s)n +

ап-1 (— l)n_1 (s)n + . . .

+ а0

и

В

s

(s)v =

s ( s +

1)

. . . ( S +

V

— 1).

Еслп

не имеет корней

f i g ,

то

по

теореме

( )

в полосе

4.3.5

существует преобразуемая по Меллпну обобщенная

функция

и

X

преобразование которой

равно

G

s)/B (s)

( ),

(

в fig. По теореме 4.3.4 такая функция

и (х)

единственна

.М'

в .

il'

gi,

Og2).

Кроме того,

и (х)

является

решением

(п

уравнения

(1)

в

смысле

равенства

в

(aSl, а8г),

что

лически можно инаписать

s

Мы можем

(х)

=

ЭЛ

1

,

ее

fig.

его

определить

решение

(по

крайней мере

сужение па

некоторое подпространство

Л (agl, og.J или,

используя

теоремы

4.3.3

либо

4.4.1, или сославшись

на таблицу

преобразований Меллииа

(Лафлин [1]).

Предположим теперь,

что

В

(s) имеет корни в

fig.

лосу

fig на

т

смежных

подполос

aßi =

Со < Re

s

0

< Ke s < o2, . . . ,

<

< (Гц !

(2)

< Re s < om =

Og2,

ства

Л '

(стѵ,

Стѵ+і),

удовлетворяющий0

уравнению

(1 )

в

Л '

(а„ аѵ+і)

и

<

преобразование Меллииа которого

равно

G s)/B

(s)

В 0

,

Re .? *<

Ѵ+1.

Мы

обозначим это решение

(

через

“

(ж) = Я Г 1 Щ

'

<

Re s < öv+1.