книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

на 0

< і х у

< с°о .

Следовательно,

внеинтѳгральный

член

равен нулю, и мы получаем (7).

(2)

и

(6),

Формула

(4)

получается

комбинированием

а формула

(5) — комбинированиемП ри

(3)

обычноеи (7).

преобразо­

ваниеМы

Ганкеляпереходим

являетсятеперь к

автоморфизмомнашей основнойна

теоремеЖ

.

Т е о р е м а 5.4.1.

р > —х/2

как

и

ц -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть,

раньше,

у

§^1

[ф (ж)1,

где ф ЕЕ

Ж у.,

а

т

и

к

— любая

пара

Ф ( ) =

неотрицательных целых чисел. Применяя

к

раз формулу

(2),

т

раз формулу (3)

и замечая,

что

N

N

X

N

ц + К + т -1 • •

•

N

(х+ fc+i-ZVр.+

hx^

ф

(х)

=

XkN

(1 + jn -i . . .

ц+1

|іф ( ) ,

мы получаем соотношение

( _

y)m+Wv+k-1...N v.<b(y) =

=

со

•• • Ny/f (а;)] У x y j ^ к+т (ху) іх .

5 (— х)к

О

Это равенство можно переписать в виде

(— 1

)т+кут (y-'DyYy-v-'b

Ф

(у) =

ф ]

(12)

=

J°° хЦМ-Ък+т+І

J

(х

)

dx.

Далее,

поскольку р >

—х/2,

функция

1у.+к+т {ху)І (ху)^+к

ограничена0

на<Zy0 <

ху

<

оо некоторой постоянной

B hjlil.

Отсюда следует, что последний интеграл сходится равно­

мерно на

так что левая часть (12)

является

непрерывной(у)

функцией при любых

т

и

к.

По индукции на

основании равенства (6) п. 5.2 мы можем заключить, что

Ф

— гладкая функция на 0 < у

<С°°-

ПредположимX

теперь, что

п

— целое число, не меньшее

числа

р +

к

+ 1/2

{т

+ 1).

Тогда

2

(1

гс2)71

ж2и- + fr+m+i

при

j> 0. Следовательно, из (12)

получаем

С

,

к (ф ) <

\ (*

+

жТ

+]

I (x-'D^x-'^Hp (х) I

dx <

О

п+1

г£ ,„ ( ф)-

2 ( “ | ' )‘

ѵ=0

*

ние Ганкеля

фу

обобщенных функцийЖу.

из

Жу.

как сопря­

женное к преобразованию ф у

в

Ж у

Более

подробно:

для произвольной функции Ф GE

=

и произвольного эле­

мента / ЕЕ

Ж у.

мы определим

F

ф у /

формулой

<Е,Ф > =£=</, ф>,

ф = ф у Ф ,

(1)

или, используя другие символы, формулой

(2)

<&/,Ф > — </,& Ф > .

Из теорем 1.10.2 и 5.4.1 непосредственно вытекает

Т е о р е м а

5.5.1.

При

р >

—1/2

преобразование Ган­

келя фу обобщенных

функций

является

автоморфизмом

на Ж у.■

фу =

фу1 на

последнее

утвержде­

Поскольку

Ж у

ние теоремы 1.10.2 означает,

что

(фу)-1

= фу., т. е. пре­

стве

Жу.

обратно самому себе. Тот

факт, что фу = фу1

в

Ж у.,

позволяет нам переписать (1)

в форме

F c (у)

= ф у /

оо

У х у

/ у

(ху) dx,

р > — Ѵ2,

= ^ / (ж)

L x

/ £=

(0 , о о ).

(3)

Поскольку функция У ху /ц (ху)Fограниченаc (у)

на 0 <Сху <

< ; оо, то интеграл в (3) сходится равномерно

на О <С?/

< о о . Следовательно, функция

непрерывна и огра­

ничена на 0

< оо. Согласно свойству V

п. 5.2

F c (у)

порождает регулярную обобщенную функцию в

Ж

(х. Да­

лее, в силу определения (1) для

F

=

/ и второго абзаца

свойства V

п. 5.2

мы имеем дляСО любого ср €Е

Жу.

и Ф =

= §уіф

соотношение

5 / (х) Ф (z) dx.

<F, Ф> = </, ф> =

Так как Ф GE

Жу.

CZ £ і (0, оо)

О

р

—г/2,

то

можно

при

воспользоваться

равенством Парсеваля (равенство (3)

п. 5.1) и написать

со

со

Таким образом,

наше преобразование Ганкеля обобщен­

ной функции

F

=

/ является регулярной обобщенной

функциейF, c

соответствующей

обычному преобразованию

Ганкеля

=

Поскольку при подходящих условиях на / мы можем

отождествить

с

то

мы]

будем в дальнейшем опус­

кать штрих

у

если

р >

—Ѵг- При этом наше опре­

ции / GE

Ж\>.

приобретает вид

<§іД, Ф) = (/>

/ 6= Ж\і, Ф £Е Ж\і, р > — Ѵг- (4)

х

как в лемме 5.4.1, однако теперь они относятся к обобщен­

у

ным операциям (т. е. к операциям, сопряженным к обыч­

F .

ным). В дальнейшем мы будем считать независимой пе­

ременной функций ф и / ,

а

— независимой переменной

функций Ф и

Пустъ

— (J.1£ф/1

Если

/ ЕЕ

Ж у, то

и+і (

х1)

(5)

Т е о р е м а 5.5§.2.

р >N —Ѵг-

(6)

—у

£ѵ+і (ЛѴ/) = М ѵ Д М

(MyJV

=

(7)

( -

я2/)

Если / ее Жу+х,

(j./)

= —у2§р./.

(8)

то

xf )

=

Л7іх§и-і/і

(9)

(

§и. № )

=

У Ш -

(10)

Мы уже отмечалиЖ, что преобразование Гаикеля обобщен­

ных функций из

у.

обратно самому себе.

Другими сло­

вами,

§ ц§ іі

есть

единичный оператор

на

Ж у.

Положим

F

=

$Qyf.

Тогда в силу (6)

N

y$Qyf)

уЕ)-

ц§іо./' =

xf

§^+i (—

=

F

Эта

§р+і§р+і7ѴI =

§ц+і (—х

на

формула совпадает с (5),

если заменить / и

и

у

соответственно.

Аналогично устанавливается формула (10), если поло­

жить

Ф ЕЕ

Ж у,

ф = §цФ

н

использовать следующим

Затем, полагая

F

= ф^+і/

= <г/Фр+і/, Ф>. (12)

^

и замечая, что фрфц —

тождественный оператор на

Ж

мы выводим (9) из (10):

•Мң-Фн-iF =

фр£>рм р/ =

фцуфщ-i/ = ^ . i j F .

<6М (X - а), ф (х)> = ( - 1 ) Ѵ Ѵ) (а),

Ф е

Очевидно,

что б^ѵ) (х — а)

£Е ffß'y.

Показать,

что

для р

— 1/2

( X -

а) = ( - 1Г

{ад)],

Здесь Пц

Г/

о®

(ах)]

(— 1)ѵ б(ѵ) (у

порядка ѵ,

=

— а).

обозначает

обычную

производную

доказательство этих формул.

Однако читателю предлагается в этой

задаче ею не пользоваться.)

З а д а ч а 5.5.2. Определим / как функционал на

формулой

СО

о о

</,

ф> = 2

\

ФО®) V a w

(avz) dx,

Ѵ=1 0

где p ^ . — 1/2,

ф е

и

а — действительное положительное

И

— 1/2 и 0 < и <

ю .

(оу) — 2 у ~ Ч ^ (ау)],

где р ^

фр [ж1А+Ѵг1+ {а — х)] =

а1Х+2у -’/г [,а/н,+1

З а д а ч а 5.5.4. Пусть п — положительное целое число. Вы­

вести следующие формулы:

(а)

В смысле равенства в &£у+п при р

— 1/2

$ н-п*"“1'* = (Р +

1)(|і + 3 ) ... ( р + 2 д - 1 ) у - " - '\

b) В смысле равенства в

ПРИ р ^ 2га — 1/2

Зу е 2"“ '7, =

(р2 - 1) (р2 -

9). . . [р2 -

(2га - I)2] у~'ІЛ~4'.

(с) В смысле равенства в

при (х ^ 2га — 1/2

£(х+1*2П+,/г = (II2 -

1) ([X2 - 9). . . [р2 - (2га -

I)2] (р + 2га - 1) у~2п^ .

Указание.

Исходить из того, что формула (а) остается справед­

ливой при га =

0.

F

(у) =

</ (х)>

Y x y J v.{xy)'>.

(1)

Как мы сейчас

докажем,

это верно, например,

если

/Егй’Х-О и р !>

—Ѵз-

Более общие условия, при которых

и

Р (л) = </ (я).

х/ х р -Д ф р )).

(2

При любом

фиксированном

)> 0 Ужр/р. (ащ) — много­

1

2ц —

значная функция ], исключая случаи, когда 1 +

(жре*2”’')1'»

(аще12"") =

еіп~(1+2Р) (ят))1/«

(arp),

F(y)

где г|

ф

0 и

п

— любое целое число. Следовательно,

удовлетворяет

равенству

F (у),

F

(ре12"71) =

еіпп(1+2^

р

0,

2р не

и таким образом, является многозначной,

если 1 +

равно четному целому числу.

наяТ. е о р е м а

5.6.1.

Пустъ

/ —

элемент

Щ’

(/),

р —

число

и

любое

действительное

комплексная перемен­

Тогда

функция

F

(р),

определенная

формулой

(2),

р —

D-nF Ol)

= </ (x), -С^/хр /ц (xp)>, I] ф 0.

(3)

Д о к а з а т

е л ь с т в о . При фиксированном p

0

С I т]

|. Пусть

Дг) —

комплексное

приращение,

удовлетворяющее

условию

0 < | Др |

< г . Рассмотрим

равенство

7)fl ]/rx i f / lj.(xp)>

=

</ (х), ф д Д х )> ,

^

+ Д р ) - ^ ) _ < / ( , ) ,

где

(4)

i

V

+

хДр

(хр +

хАр) — / хр /ц (хр)] —

Фди =

—

D-n

^ хр Д Д хр ).

=

ш

Ü

V ™ 1* W

(т - р - д р - - т ^ г ) -

С,

1

Ъ . - А і С

____

D ^ V x z J ^ x z )

( * - P)2 J

2я £ ^

(z — р — Др) (z —. р)а aZ '

Но для всех z E

^

при переменной я,

пробегающей ком­

пактное подмножество 0 < х

< ° ° , функция

D ^ x z J ^ (xz)

ограничена некоторой постоянной

В.

Так как, кроме того,

I

z

— р I =

гх

и

I

z

— р — Ар I >

гх

—

г,

то

мы имеем

Отсюда вытекает,

что при | Ар |

0

функция

Дѵфд„ (х)

ствах 0 < х < о о ; следовательно,

фд„ (х)

сходится

в

$ (I)

к нулю. Поскольку / £Е (Л,

то (4)

стремится

к

нулю. Таким образом, при указанйых

ограничениях на

т|

мы Fполучили

формулу

(3)

и

доказали

аналитич­

ность

(т|).

F

Теперь нашей целью является доказательство того, что

(у)

имеет определенный порядок

роста

при у ^ - + 0 и

у

-*■

F

(уТ)

Пустъ

элемент &'

(/), ц !>

еудовлетворяето р е м а 5.6.2.неравенству/ —

>

°°-

и

Функция

F (у)

определена формулой

(1).

Тогда

— 7г

I ^ (У) I

<

К у № ,

0 < г / < 1,

(5 )

где К и р

К у ѵ,

1

1

—■

достаточно

большие <действительные/ < о о ,

числа.

По

I .

X

3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

теореме

2.3.1

носитель

/ — компактное

подмножество

Возьмем

е =

(/),

причем

X х

) =

1

в окрестности носителя /. Тогда

можно

(

написать

F

(у)

=

</

(х),

X (х) У х у

/ц

(ху)>.

В

силу

свойства

Жуі,

а функция

III

и. 5.2

/ — элемент

X (х) Y Х У J v - (ху)

в

силу

свойства

I

и.

С5.2 — элемент

Жу..

Следовательно, из свойства IV п. 5.2 вытекает су­

ществование положительной

постоянной

и

неотрица­

тельного целого числа г, таких, что

IF (у) К

С

шах

sup

|

хт

(аГ1П х)'с [Л,

(х) x~v~'l*Yху1^(ху)}\^

0 < т < г 0 < :t < °°

v=ft0

0

< f t < r

С m, ft

X

\v /

<

max sup I 2

it) [x™ ( x ^ Dx f ^ X

(x)] x

ку !1 > —7г

1

то выражение /ц.+ ѵ (z)/zlA+v ограничено на

О < ; z <

оо

некоторой постоянной

В ѵ.

Поэтому

|^ (г / )|< С max

С

ш, /і-ѵ5 ѵу!і+ѵ>+2.

Отсюда

0<0 пг<1-

—1(5)І.%, т°

< f c < r

непосредственноЕсливытекает Шнеравенство'

Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.

ное Т е о р е м а 5.6.3.

/ е

(/)

и р >

определен­

преобразование Ганкеля обобщенной функции

/,

п. 5.5,

равенством

является регулярной обобщенной

функцией в Жу..(4)

Оно порождено гладкой функцией F (у),

заданной равенством

(1).

Ж у’.

Заметим,

что

F

(у)

действительно порождает регуляр­

ный элемент в

в силу свойства V п. 5.2, теорем 5.6.1,

5.6.2 и условия р

—Ѵ2.

Доказательство теоремы

5.6.3

основано

на

двух леммах.

элемент

Жу.,

Л е м м а

5.6.1.

Если

р !> —1/2

м Ф

—

Фу (я) =

§

Ф (у) У xyJ ^i xy) dy

•

У

сю.

сходится в ё (I) к нулю

при Y

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дифференцируя

под

зна­

ком интеграла и используя (6), мы получаем

{ x - 'D fx ^ - 'Ң у (я) = ( -

СО

Ф (у) yV*4Mk

J

(7)

1Д [

dy.

Эти дифференцирования под знаком интеграла оправ­

даны в силу ограниченности /ц+ь (г) / г'14* и,

следователь­

но, равномерной сходимости на

0 < я < ° о

интеграла в

формуле (7)

при любом

к;

таким образом, (7) стремится к

нулю равномерно на 0 < я

< С оо

при У

о о .

Но

1D)kx~V~'/ityY

Кфу (г)

(8)

(я X -ѵ-Ч»

Фу(я() =

D

фу (X)

=

х )

+ bfr,

,.2/С-І

. . . +

и YЛ е м м а 5.6.2.

Если

р, —V

21

Ф G=

f

£=

$ '

СО

(

у

—

фиксированное

то

конечное) положительное число,

5Ф (У) </ (*), V*yJv-{xy)> dV =

О

=

Y

и- (xy)dy).

(9)

</ (*). 5 Ф

о

771

(.f (x)i Y х Утч J

{х Утч)У

(Ду)т

(Ю)

2 Ф (Утѵ)

Н-

ѵ=1

</ (х),

со)

(х Ут.) (АУ)т >.

(И)

2 Ф (Утѵ) V х Утч h

При

т - +

Ѵ=0

сходится

в

&

(/)

оо основная функция в (11)

к основной

функции,

стоящей

в правой части равенства

(9).

Действительно,

D^YХУ Jv-

ХУ)

— непрерывная функ­

х

(

у)

в области Q =

{(ж,

у):

ция двумерной переменной ( ,

X

е=

К ,

О

у

К },

где

К

— любое компактное подмно­

жество

0

<С.°°. Поэтому допустимо дифференциро­

ваниеупод знаком интеграла:у

(12)

D X \

Ф (У)

Y

x y J » (Х У) d y=

$ Ф (у) Т>х Y

Х У J v- (Х У) d y-

о ]

сумма

о

Кроме того,

оо

® (і/тпѵ)

[ D x

Y х Утпч

{ху771V

У)т

2

)1(А