книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

1+ (0 * / (0

может

рассматриваться как обобщенный

интеграл

— ^1ОО / (X) dx.

Почему?

Вывести формулы преобразования

операций

ч

при отображении

/ I—;>

^ / (ж) dx.

З а д а ч а 3.10.13.

Обычное одностороннее преобразование

Лапласа чаще

определяют интегралом

—ОО

ОО

5 f(t)e~s l dt,

(4)

о

ОО

или — оо. Показать,

что пространство 33+ (w) =

(J

S '*

а

’

можно

определить

ѵ = і

ѵ

как счетное объединение пространств.

если

(c)

Назовем обобщенную функцию

^-преобразуемой,

/ 6Е ££'+

(ш)

при всех w, где 5?'+ (ю) — пространство,

сопряжен­

ное к 33+ (w).

Пусть

Cf — точная нижняя грань всех таких w.

Положим

F

(*) = (Я/) (*) =

</ (0,

Re * >

о ,.

(5)

Показать, что функция F (s)

аналитична при Re s >

а/.

(d)

. При каких условиях, наложенных на локально интегр

руемую функцию / (/), интеграл (4) можпо рассматривать как част­

ный случай

формулы

(5)?

е

Я п,

а, Ъ, а,

со

е

Я п

и

s =

а

+

= К ,

s2, .

. sn} е

rS n.

Как обычно, мы используем обозначения

e~st

=

exp (—

—

s2t2

— . . . —

sntn),

s‘ =

s['s12

. . .Sn".

ное

Пусть

f(t)

— функция из

Я п

в

ЧЗ1. Обычное п-мер-

преобразование Лапласа

отображаетF(s),

функциюF(s)

указан­

ного типа, удовлетворяющую некоторым дополнительным

условиям,

в другую

функцию

где

отображает

%п

в

ЧЗ1

посредством интеграла

(1)

= я$п W ) e - 'l dt.

U,

bv

t, а

татов см. Земанян [2]). Применение двумерного преобра­

Ь

зования Лапласа дано в следующем пункте.

и

Пусть

av,

обозначают ѵ-е компоненты

соответственно.

Положим П

* а ѵ,Ь ѵ (* ѵ ),

где

* « , ь (0 =

v2= l

t4

b v

bvU,

^

^

C\

. .

f

exp

0

oo,

а Л ,

W

— <

exp

— oo < « v< 0 .

3!>а,ъ

I

і)

Я п

4S1,

к (к

Я п)

Символом

будем

теперь

обозначать

пространство

всех

комплекснозначных

гладких

функций

ф(

из

в

Чк

что

при

любом

(t)

таких,

I ха,ь

€=

(ф) =

Га,ад- (ф) = snp

D kq> ( 0 | <

(£ЯП

Как и раньше, в топологии,

порожденной мультинормой

{Ѵл)ь>оі

%а,ъ

— полное

счетно-мультинормированное

пространствоt*e~si(т. еХ.

апространство,ь

Фреше).

Здесь снова

e~st

€Е

£ а,ъ

тогда и

только

тогда,

когда

0 < ^ R e s < [ & ;

и

также

(& =

2, 3,...) в

том и только

Как й в одномерном£ ,

случае,

если

а

с

â

^

Ь,

& а,ъ-и

■ го

%c,dCZ

Ä a,b,

и

топология

X c,d

сильнее

топологии,

индуцированной

на

с і

пространством

Следо­

вательно,

сужение

любого

элемента

/ ё

Ж0,

ь

па

Х Сга

принадлежит

Х с, а-

Кроме

того, свойства I,

II,

III

и V

п. 3.2 могут быть

анепосредственно,ь-

распространены

на

тг-мерный случай, £по крайнейw ,z ) ,

мере в части, относящейся

к пространствам

X ( Однако

понятие счетного объе­

динения пространств

использованное в одномер­

ном случае,

здесь не может быть применено

без некото­

рой потери общности;

поэтому не будем им пользоваться

вообще. Более существенным отличием от одпомерного

случая

является

то,

что лемма 3.2.2

больше

не

верна;

таким

образом,

если

/ — элемент

%а, а

и

%ь, ъ,

причем

а

< ;

Ъ,

то

/

не

обязательно

является

элементом

Х а, ь

или может быть расширен до него. В качестве иллюстра­

ции= К і,этогоі2}, регулярнуюприведем

обобщенную

функцию

случае,

где

t =

П р и м е р

3.11.1.

Рассмотрим

в двумерном

е4 '1=

ехр [— V

«* +

г2).

При а =

{д і,

0}

и —1 <

ах .< 1

функция

с- '1'

принадлежит <2?а, а,

поскольку отношение е- ' 11/ка,

a(t)

абсолютно интегрируемо

в

t-

плоскостп.

Аналогично,

при b =

{0,

Ь2} и — 1

<

Ь2 <

1 функция

е~111 принадлежит 56'ь ъ.

Пусть, далее, ср

=

ехр

(— axtx — a2t„).

Тогда при

ах <

О, Ъ2 >

0,

а =

{olt

0}, Ь =

{0,

Ь2}

функция <р

принадлежит пространству 55а>

так

как (гпри)

неотрицательном

целом к =

{кх,

к2) из ,3?2

«а , Ь W

(

* )

=

(

- «і)к‘ (

-

Ь У

Ч е,^,

1\о №,

Ъ,

(0

е_Ь2'2-

и правая часть этого выражения ограничена в f-плоскостн. Наконец,

положим ах =

— »/ю,

Ь2 =

—9/ю. Тогда, как и выше,

е- ' 1' е 55а, а

и е- І(I

Ei

55ь, ь.

Однако

не является элементом 55а, ь,

поскольку

< е ~ |( |,

Ф

( о

> =

=

5

^V

* ѳ1 х+р l l + —

<2)

] d t i d <

и интеграл

расходится.

Например,

на прямой

t2 =

— tx подынте­

гральная

функция равна

ехр [— У 2

tx +

tx)

,

т. е. стремится к

бесконечности при tx —»

оо. Отсюда следует,

что

в некотором угловом

секторе со

сторонами

t2 =

— (1 +

е) tx,

где

по Лапласу

обобщенной

функции

зависело от

леммы

3.2.2.

Так как

эта лемма несправедлива в ге-мериом про­

странстве,

мы

должны Пустьтеперь

IдействоватьЯ 1,

более

общимПоло­

жим

а

Іа

1)Ъ (т .

е.

а лежит на прямой,

сое­

образом.

О

1.

диняющей точки а и Ь). Тогда

Л е м м а

3.

11.

1.

6Е

=

+ (1 —

-at

Ф м ------сщ—

е

ьГ~ ф ( * )

е

+

0

есть

непрерывное

линейное

отображение

Х а,

в

Х а,а-

Аналогично,

-ы

Ф 1^

------ - a t

,

5 Г ~ Ф ( 0

е

+

е

есть

непрерывное

линейное

отображение

Х в<а

в Хь,ъ-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Правило

Лейбница

диффе­

ренцирования

произведения

остается

справедливым и

в п-мерном случае:

( І ) ф к' ^ ) Ф рФ).

D * m = s

Здесь

р

пробегает

все целые числа

в

Я п,

удовлетво­

ряющие неравенству

0 ^

р

к,

а

( К

А

\

л /Ді\//с2\

\Рп

\Р

/

\Рі )

\Рі )

Поэтому мы можем написать

—at

/1\

_

*a,a(t)Dk

е

Ф (0 _

(О

-at

,

-Ы ~~

]*..„(< )Д - t W.

е

4 -е

D b-P

(О

(2)

Несложные вычисления

показывают,

что

при любом

к

—

р

существует

такаяе -

постоянная

B h- P,

что

D k~p

<Га' +

at

t е м п.

(3)

Следовательно,

из

e ~ bt

формулы (2) вытекает неравенство

Tajdj/c

+

e(О- bl

0<p<fi-

e ~ a l

<

2

\P J

получается

при

Первое утверждение

доказано. Второе

перемене ролей

а

и

Ъ.

аддитивным,

Функционал / в произвольной области обычных функ­

ций

будем называть

если для

каждого

ко­

/ G Ä

ъ,ь,-

• •) / £ Ä Z, г- Это X

означает,

что

/ — аддитив­

ный функционал на Ä a, a (J

b<b

U • ■

• U

^z, сужение

Из леммы 3.11.1 вытекает

f ^

X

a, a

и

/€=%ь,ъ,

где

а фЛ е м м а

3.11.2.

Пустъ

+ (1 —

l)b

,

где I

ЕЕ J?1,

О

Z

Ъ . Положим о = Іа

^

1.

Тогда

/

можно

оп­

расширитъ

до элемента Х а, а,

ределяя

/,

как

функционал на Х а< а,

формулой

е °'ф

е(О

е

Ь'ф (О

) фSEEÄ

</,Ф) > А < 7 ( 0 ,

(4)

е -“ '

+

~ ы

e ~ a t

-I-

е ~ ы

X

Определение (4)

не

меняет

значений

/

на

32aia

или

btb,

если

1

=

0

Хили0, а

I =

1

соответственно (см. задачу

а,а

3.11.2). СХдругой

стороны,

это расширение / аддитивно

в области

U

U #ь,ь-ХБолее того, расширение /

единственно:

не

существует

никакого

другого

аддитив­

ного функционала

в

области

а>а

у gЖ0,„

jj

Ä blb, суже­

ния которого

на

Х а,а

и

X bjb

совпадают

с

сужениями

/. Действительно,

предположим,

что

— такой функцио-

иал. Любая функция ф ЕЕ ІД,,

0

может

быть

разложена

в сумму

Ф r=—a l Фа +

фь>

где согласно

лемме

3. 11. 1

- a t

е-ы

И

Ь =/\

е~а1 + е~ы

Х Ь,Ь.

Ф в =

-

Ф (О

Ф

е~Ьіф (О

£=

+

Тогда

ф > =

<g,

Фе) +

<g,

Фь> =

</. ф>а +

</,ХФь> = </. ф>-

<gi

Следовательно, g совпадает с / также и на

а

,0.

Как и

в

одномерном

случае,

мы

будем

называть /

преобразуемой по Лапласу обобщенной функцией,

если она

обладает следующими четырьмя свойствами:d(f)

1) / — функционал в некоторой области

обычных

функций.

{фѵ} и

{фѵ} — конечные множества,

элемен­

2) Если

ты которых принадлежат

d(f),

и если

^]V фѵ =

2Vфѵ (здесь

мы не требуем, чтобы

2 ф ѵ € = й ( / ) ) ,

то ^

</,

фѵ> =

Ф ѵ>.

V

V

d{f),

V

Если,(f,в дополнение к этому,

2V

сРѵ 6=

то

</, ЕфѵV

> =

= SV

фѵ > (это соотношение представляет собой обобще-

ном случае)Ъ.,

d(f)

а,Ъ

-Яп, а

Ь.

3)

Х а<ъ

d

по

крайней мере для

одной

пары

а

и

где

точек

ЕЕ

d(f)

■ <

X Cta

4)

Для

Sßc,d C Z

сужение

/

на

при­

Хлюбого'

сtd-

Х а<ь

d{f),

Х'с,с

надлежит а <^Ь

следует,

Из п-мерного аналога свойства IV

п. 3. 2

что если

и

CZ

то

/ ЕЕ

Ь.

при

всех с,

удовлетворяющихас, Ъс Я п, асс

неравенствус Ъс

а

с

Пустьас,

Л° —

Х

множество

всех

с ЕЕ

Я п,

для

которых

существует

пара

<

е

такая,

что

bcd

d(/).

Л®— открытое множество, так

как

оно образовано (объе­

динением

всех

открытых

множеств вида

{с : ас

<

с

<

Множество Л/ также открыто.

Действительно, любая

точка

5

ё

Л} лежит па прямолинейном

отрезке

L ,

концы

которого

сх

и

с2 принадлежат Л®.

Так как

множество

Л®

открыто,

то

существует такое

г ЕЕ

т )> 0,

что

сферы

S у

=

{с:

с (Е:

Л?п, | с—сх| <С г}

и

5 3= { с :

с ^ Л п,

L

\с—

г}

лежат целиком внутри Л®. Но тогда

каждый

с2| <

параллельный

прямолинейный

отрезок,

один из кон­

цов которого

принадлежит 5ц

а

второй —

S 2,

лежит

целиком

в

Л/.

Отсюда вытекает,

что

сфера

{с:

с

ЕЕ Л п,

I

с

— а | < г }

также содержится в Л}. Следовательно,

каждая

точка А) — внутренняя; это и означает,

что мно­

жество А/ открыто.

Теперь мы можем, снова используя формулу (4),

расширить

/ до

элемента Ä c,c при любом о Е ^ " , ле­

Е{ =

А® U Л/ U Л/ U

• ■ • Следовательно, Е/

также отк­

рыто.

Кроме того,

о ЕЕ Е/ тогда и только тогда,

когда /

можно

расширить

до

элемента

Х а>

0, следуя

указанной

процедуре, в результате конечного числа шагов.

(Факти­

чески эта процедура ограничена в том смысле,

что

после

п-то

шага последующие пространства не расширяются,

т. е. Л" = Л/1 при всех

тп

)>

п.

Кроме того,

Е^

явля­

U

Х а<а

и единствен в том смысле, что в указанной области

öS

Х а,

не существует никакого другого функционала отличного

от

/,

сужение которого на любое пространство

с,

где

о ее А®,

совпадает с / (докажите это).

что

В

дальнейшем

мы всегда будем предполагать,

каждая

преобразуемая по Лапласу обобщенная функ­

ция

/

расширена

указанным образом на

область

U

Ä . , « .

Множество

Ѳ

в

Я л

или

cßn называется выпуклым,

если любой

прямолинейный

отрезок

с концамиG

в

<Ѳ

і це< ­

ликом

содержитсяІа

в Ѳl)b. Другими

словамиі

,

Ѳ выпуклоа b

в том и только в том случае, когда при

в

Ѳ,

и.О

и

<

1 точка

+ (1 —

содержится

если

принадлежат Ѳ.

а

Ъ

выпукло.

Т е о р е м а 3. И . 1.

Множество

3,

— произвольные

Д о к аа з=

а

Іат е л ь с т вl)b.о . Пусть

и

точки

множества

3/

и

І е ^

1,

причем

0 < Д < Е І -

По­

ложим

+

(1 —

Из

определения

множества

3/

следует,

что а £ Л /

и

і

е

Л/ при некоторых

р

и

q.

Но

тогда

а

£= Л®, где s =

1 +

р

,

q).

Следовательно,

max (

er £Е 3/,

что

и

требовалось

доказать.

Л е м м а 3.

11.

3.

Пустъ

/ —

преобразуемая

по Лап­

Т ’ =

{о:

а

ласу обобщенная функция. Если множество

^

а

^

Ь} содержится в

3/,

то f может бытъ расширена

до

элемента

£ а,ъ-

Это

расширение

единственно

в том

смысле

что

только

один

элемент

Х а,ъ

имеет сужения

на

все,

Х а<

о (а ЕЕ Y ) ,

совпадающие

с

/

на этих

функция

Я 1,

на

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть X — гладкая%а,ъ

такая, что X (£) =

0

при

£ <

— 1

и X (£) = 1

при £ ]> 1.

Тогда для любой функции ср ЕЕ

ср (0

П

(X (fv) +

[1 -

X (іѵ)]}.

(5)

= ср (і) 2

V=1

конечную

сумму,

слагаемые которой

имеют

вид

(6)

ср (г)Х («о [1 -Х (г,)]. . .

X (г„) =

срХ+, _ ,.

. .,

+.

В обозначении Х+, _ , . . .,

+ первый подстрочный значок (+ )

соответствует сомножителю X (іх), второй значок (—)

соответствует

сомножителю

[1 — X (г2)]

и т. д.

Положим

а

=

{аъ . . .,

а„}

и

b

=

{^ ,

. . .,

èn}.

Покажем

теперь,

что

функция (6)

является

элементом

■ 2Д„, где

а =

{al7 b2, . .

.,

ап},

причем берется компонента

аѵ (или

Ьѵ),

еслинаѵ-м месте в правой части стоит знак -}-

(или соответственно —). Функция

равна нулю в

Ха,аПк

(срХ+, _, . . ,,+)

Д> —1,

(7)

Я п

везде, исключая

сектор

г2 <

< 1 , • .

tn

Д> —1. В

этом

секторе

отношение x0i0/xajb

в *а,ь I ^

к(фХ+ . - .

• • • > + )

I <

в 2

( к

I ° к~РК--- • -.+!■

0< р </с

\ Р /

. . , , ++

Так как каждая частная производная функция>->- срХА.,+,+ ,

ограничена в J? n,

то

это неравенство доказывает,

во-пер­

вых, наше утверждение и, во-вторых, что ср%а,ь

%а,а.

есть

непрерывное

линейное

отображение

в

Х а,Используяь

разложение (5) в сумму членов,

аналогич­

ных

(6), мы расширяем / до линейного функционала на

посредством

определения

< / іф >

=

(

f

i

+! • • М + )

+ • ■

■ + (Ііф^->

-1 ■•

•>

Ф £ =

(8)

В предыдущем абзаце мы

показали,

что ф •-»- ХфХ+, +,. .

. , +

есть

непрерывное

линейное

отображение

а,ь

в

Ä a,0,

где а =

{ах,

а2, . .

а „ }

GE S/.

Кроме

того, по предполо­

жению,

а/,ъ—-

элемент

Х аі„

при

всех

о GE Н/.

Следова­

тельно,£

</, фѵХ+,

+>

—у

0

при V —>- оо,

если

фѵ —

—fO

в

Аналогичное

утверждение верно и для всех

остальных слагаемых в правой части (8).

Поэтому в силу леммы 1. 8. 2 формула (8) расширяет /

до

элемента

%а,ь-

Единственность

этого

разложения

следует из (5), (6) и того факта,

что каждый элемент / ЕЕ

GEÄa.b аддитивен в

Х а,ь-

Лемма доказана.

все

Отметим еще раз, что далее мы всегда будем считать

преобразуемые

по

Лапласу

обобщенные

функции /

расширенными до элементов

X

'Qi

ъ

приплюбых

а,

Ь,

для

которых

множество

{а:

а

^

о ^

Ь}

содержится

в

E f.

Теперь мы в состоянии определить

-мерпое преобра­

s,

Трубой

в %п

зование

Лапласа

обобщенных

функций.

называется

любое

множество

{s} точек

для которых

Res

содержится

£

некотором

множестве

в

М п,

а Im s

в

пробегает

все

Я п.

Таким

образом,

если

su

=

о0 +

+ ісо° принадлежит трубе, то

и s =

о0 +

гео

принадле­

жит трубе при всех со Gr

/ — преобразуемая по Лапласу

Пусть,

как и раньше,

обобщенная%пфункция,

.

Трубой

сходимости

для

преобра­

зования Лапласа

функции / называется множество Q/ =

=

{ s : s £

R e s G

Е/},

где

Н/ определено выше. Так

как

множество

Е/

открыто

и

выпукло, то открытым и

выпуклым является также множество Q/. Мы определим

преобразование

Лапласа

£/

обобщенной

функции /

как

Правая

F ( s ) А

(й/) (s) А </ (0, в-5'),

S е= ß/.

(9)

часть имеет

смысл

как

результат

применения

/ €= Äe,o

к е-8' е

550.о,

где

о = Re s

Е

S/.

Кроме

того,

так как

множество £2/

открыто,

то

при

любом

s £ ß /

можно

найти такие

а ,b

ее Е/, что

труба

{s:

a

< R e

s <

^

< &}

содержится

в Qу.

В

силу леммы 3.11.3

и нашего

его свойств

(относительно подробностей см.

Зема-

нян [2]).

s

Если / (і) — локально интегрируемая функция, такая,

что для

всех

а = Re из некоторого открытого

подмно­

жества

S d

Л п

интеграл f{t)e~*‘ dt

(10)

J

• •

•

4 n-

3.11.2

(теорема аналитичности). Если

f

Т е о р е м а

s

то функция F

аналитична в

й

=

TIF (s)

при

ЕЕ £2/,

(s)

£2/

и

= </ (0,

( - I ) '* '

ЕЕ £2/,

D kF ( s )

tke~3ty,

s

где

ki

|/с| =

+ /с2 + . . . +

kn.

5 А . Г. Земанян

129