книги из ГПНТБ / Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций

З а д а ч а 1.8.4.

Пусть <!?' обозначает пространство, сопря­

женное к пространству

определенному в задаче 1.6.4. Элементы

eff' называются обобщенными функциями медленного роста. Пусть

ровать условия па рост h (t) при |

1

—> oo, которые гарантируют,

что h (t) порождает элемент / из S '

в

соответствии с (

), где теперь

1

для того,

чтобы

Ф (Е <(?. Будут

ли эти условия также и необходимы

1 1

выполнялось равенство (И )?

З а д а ч а

1.8.5. Пусть t (Е 31'.

Допустим, что элементы S

СО

заданы на 31'. Определим выражение

/ (£) = ^ а„б (£— п),

где

7 1 = 1

V '

Т

оо

Ѵ'т

Пусть

=

(J

обозначает счетное

объединение

про­

П = 1

{^ m)“=1

странств,

порожденное

последовательностью

счетно-мультинормированныхV*

пространств. Как п раньше,

функционал

/

на Ѵ'

— это правило, по которому каждому

элементу

cp

ЕЕ

ставится

в

соответствие1

комплексное

число </,

ер).

Функционал

/

называется

линейным

,

если

для любых ер, ф ЕЕ2

I

а ,

Р Е

fé выполняется равенство

</, аф +

ßi|)>

=

а </,

ф> +

ß

</, ф>.

Далее,

/ называется

непрерывным

на

^,

если он непрерывен на каждом

Ѵ'т-

По определению последовательность8 2

сходится в

V

тогда

и только тогда,

когда1

она сходится в одном из

Ѵ"т.

Следо­

вательно,

0по леммеV .

.

. ,

линейный функционал /

на

V .

непрерывен в том и только в том случае, если </, фѵ> —ь О

Совокупность всех непрерывных линейных функцио­

при фѵ

V

в

пространством

,

сопряженным к V

налов на

называется

W .

W

и обозначается

через

Равенство, сложение и умно­

жение на комплексное число определяются для

совер­

шенно так же,

как

в п. 1.8. При этом

W

превращается

в линейное%

пространство.

Ѵ*

пространств,

Пусть

%

и

V

— счетные

объединения

причем

— линейное подпространство

(как было отме-

в % к

некоторому пределу ср

V*

следует ее сходимостьV слабеев

,

к тому же%.)самому пределу ср. (В этом случае мы будем

также говорить, что понятие сходимости для

чем для

%Если

— счетно-мультинормированные

пространства, тоV .это условие,

конечно,

выполнено,

когда

топология

сильнее топологии,

индуцированной

на

%

пространством

W ,

g

%,

%

Если / — элемент

то его сужением на

называется

(g,

тот

единственный функционал

на

1.8,

для которого

V '

ср) = </, ср>

при ср

Как,

и в п.

можно дока­

зать,

что

g

принадлежит

.

Для

того чтобы множество

было подпространством

нужно предположить боль­

ше.

В частности, достаточно допустить,

что

%

— плотное1 8 2

подмножество

V

,

и тогда доказательство требуемого свой­

ства

будет

аналогично

доказательству теоремы . . .

рему.

Пустъ % и V*

счетные объедине­

Т е о р е м а2

1.9.1.

—

плотное под­

ния пространств. Предположим,

что %

пространство

и что понятие

сходимости для % силь­

нее, чем для 2

"

является под­

в указанном смысле. Тогда V—

^,

^, .

W ,

сопряженно­

пространством

Понятие сходимости для пространства

2

го к счетному объединению пространств

^,

вводится сле­

дующим

образомW ',

. Последовательность {/ѵ}

называется2

сходящейся в W ,

если все / , е Г

, и

существует

такой

элемент / е

что </„, ф)->-

</,

ф>для всех ф £

*"

при

V —V OQ

(этот тип

сходимости

называется

также

слабой

сходимостью в V

) .

Очевидно, что для любой данной после­

V " .

довательности не может существовать более одного преде­

ла / в

Приведенное понятие

сходимости

Vможет быть

обычным образом распространено

на направленные

мно­

жества

и ряды.

Мы не уточняем топологию

" ,

как

это

Однако ранее

уже было1 6показано1

, что

W

— линейное

пространство

с

секвенциальной

^-сходимостью. Этот

факт отображен

на рис. . . .

последователь­

Последовательность {/ѵ} называетсяV "

последователь­

ностью Коши

в V '

слабой

ностью Коши в Ѵ ) , (точнее говоря,

и для любого ф е У

если все /ѵ €=

Т е о р е м а

1.9.2.

СО

—

счетное объе­

Пустъ 2У —

ш ь

динение пространств

построенное из последовательности,

ffim )

полных

,счетио-мулътипормированиых

про­

полноіп. =і

Тогда

сопряженное пространство

V 1'

также

странств.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{/ѵ}^=і — последо­

вательность Коши в

W ■

Как п в доказательстве теоремы

1.8.3, {/ѵ} определяет единственный линейныйV—*оофункцио­

нал / на

посредством соотношения </, ср> =

lim

</v, ср>

(ф €Е

.

Ѵ').

Мы должиы показать, что /

также

непрерывен

на

По определению, /ѵ при всех ѵ является непрерывным

линейным функционалом на

каждом

W m,

причем {/ѵ} —

П р и м е р

1.9.1. Пусть âУ — пространство,

сопряженное

к 3), строгому

счетному объединению нространств,

введенному

По теореме 1.9.2 пространство 3)'

полно. Элементы 3)' называются

распределениями на З У или просто распределениями.

З а д а ч а 1.9.1. Проверить,

что пространство, сопряженное

ством с секвенциальной »-сходимостью.

/(')=

а (*-*,.>

З а д а ч а 1.9.2.

Определим

выраженяе

721 = 1

как функционал на 3) формулой

</ (0,

Ф (0> = 2

ф (т«)’

Ф е 3),

п = 1

если правая часть ее сходится;

здесь t

— перемепная

в З У 1, и

гп — фиксированные точки З У 1. Найти для множества точек {тп}

Пусть

% u ffl

— линейные пространства.

Оператором

(или

операцией

,

отображением) из % в Ѵ'

называется пра­

или%

вило 52, по которому каждому

элементу

из

некоторого

подмножества

ставится

в соответствие

один

(и только

одни) элемент в

V".

Множество элементов в

%,

па которых

правило‘

51

определено,

называется

областью определения

51

и обозначается через

d

(52). Множество

всех

элементов

в

Р',

которые

получаются в

результате

применения 51

к

элементам

d

(52),

называется%

областью

изменения

V",

%,

отобра52­

и обозначается

через

г

(52).

Если

d

(51)

=

то говорят,

что 51 — отображение (всего)

в

или что 5?

жает % в V .

Если

г

(52)

=

W ,

то 5?

называется

отображе­

нием

из % на V .

В качестве

обозначенийг

этого соответ­

ствия

используют

запись

о|э =

52ср

и л и

52: ср

>->■

тр,

и л и

просто

ср

>->■

г|),

где

cp

d

(52)

и с|э ее

(51).

%

Может случиться, что более52чемср

один520

элемент

ото­

ср

бражается в один и тот же элемент

однако если этого

52не происходит

(т.

е.

если

из

=

следует%

W',= Ѳ),

тообратноеотображениеотображениеназывается52_1

взаимно

однозначным.

Если

V

%

из

в

— взаимно

однозначное

отображение

то

ср

6

d (52),

из

52срв

— это просто прави­

ло, относящееср 52“ 1ij)каждому.

яр ЕЕ

г (52)

тот единственный эле­

мент

Е

=

для

которого

=

яр;

тогда

мы будем

писать

V

линейным

d

%

Оператор 52

из линейного

пространства

в линейное

пространство%)

называется

d

, если

(52) — линей­

ное пространство (т. е. линейное подпространство

%

или

само

и для

всех ср, Ѳ ЕЕ

(52) и любых а ,

ß Е

52 (аср

-f-

ß0)

=

а52ср +

ß520.

Следовательно,

линейный оператор 52 из

%

в

V"

отображает

начало

координат

%

в начало координат

W .

Кроме того,

52

область значений

образует

линейное

подпространство

в

V 1

или совпадает с

V .

Если в дополнение к этому опера­

тор 52 взаимно однозначен,

то

обратный

ему

оператор

52'1 также линеен% (докажите

последние

два

утвержде­

ния).

Ѵ*

%

—некотороймультинормированныеточке %,

про­

Пусть теперьнепрерывными

в

странства

и 52 — отображение

в

Отображение 52

называется

%,

ср £Е

если

для любой

окрестности

Л

элемента

52ср в

GIT

существует

такая окрестность Q

элемента

ср

в

что 52ф ЕЕ Л,

когда

ф €Е Q. Отображение 91 непрерывно,

если оно

непрерывно

в каждой точке

%.

Мы уже видели, что линейное отображе­

ние

Sft

пространства

%

в

непрерывно

в том и только

в том

случае, если оно непрерывно

в

начале

коорди­

%.

Пустъ

линейное

отображение

Л е м м а

1.10.1.

92 —

мулътинормированногонат

пространства % в мулътинорми-

рованное пространство W',

пустъ S

и R

мулътинормы

для % и

соответственно. Для того чтобы отображение

было

непрерывным,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

—

каждой

полунорме

соответствовало конечное число

полунорм92

. .,

n Е

й и

такое

положительное число С ,

что для

Ѵи .

7

всех

р Е й

или,

что

ф Е ^

С

max

(^ (cp), . . .,

уп

(cp)}

р (92<р)

<

эквивалентно

предыдущему

неравенству,

Р

(Stop)

<

С

[ у і

(ср)

+ .

. .

у+п (ср)].

Доказательство этой леммы почти полностью совпадает

с доказательством леммы 1.6.3.

В данном случае шары

А

берутся8.1

V ,

а шары

В

и

В к

— в

%.

в1 8.2

доказательствах1

лемм

1

.

Незначительное

изменение

в

и

. V ) .

приводит

к

следующему

результату

(при

замене окрестностей в комплексной плоскости fé

окрест­

Л е м м а

1.10.2.

Отображение

92

счетно-мулътинор-

мироеанногоностями в

пространства % в мулътинормированное про­

странство

V

непрерывно

тогда

и

только

тогда,

когда

92фѵ —»- 92ср

в V

при

срѵ —>- ср

в %. Кроме того,

если

допол­

92

нительно

предположитъ,

что

линейно,

то оно непрерыв­

0

в

%.

если

92%срѵ

V

0

в ІД при

но в том и только

в том случае,

и

фѵ

Мультииормироваиные пространства

называются

изоморфными,

если

существует

такое

взаимно однознач­

%

V ,

ное непрерывное линейное

отображение

92

пространства

на

что обратное отображение 92_1 непрерывно и ли­

нейно

отображает

V

на

%.

В

этом

случае

92

называется

изоморфизмом % на СД\

если в дополнение к сказанному

выше

% — V*,

то

92 называется

автоморфизмом

на %.

Коль скоро речь идет о линейных операциях и топо­

логиях, мы можем заменятьW

мультинормированное% V

про­

странство

%

изоморфным пространством

W .

Например,

если 92 — изоморфизмѣ на

и если

полно, то

также

должно быть полным.

Аналогично,

непрерывный

линей­

Пусть,

далее,

% =

СО

%т —

счетное

объединение

[j

т=і

пространств,

порожденное

последовательностью

{%т)т=\

^ —

счетно-мультинормированных% V ,

пространствнепрерывным; пусть,

мультинормированпое пространство. Оператор 31, ото­

бражающий

в

называется

%т.

если

он

непрерывен

на

каждом

пространстве

Из

леммы

1.10.2

мы получаем, что 31

непрерывен тогда

и

только

тогда,

когда

31фѵ — 31ф в

V ',

если последовательность

{фѵ}Г=!

сходится в

%

к ф.

Кроме того,

если 31

линеен,

то

он непрерывен в том и только в том случае, когда 31фѵ —>-

0

в

Ѵ',

если последовательность

{фѵ}^=і сходится

в

%

к

нулю.

%

%

^

Пусть,

наконец,

V 7, и

— счетные объединения про­

странств; оператор 31 из

в

называется непрерывным,

если 31фѵ -э- Зіф в

когда последовательность {фѵ}

сходится0 в і к ф . Здесь мы снова видим,

что если оператор

31 линеен, то он непрерывен

тогда и только тогда, когда

31фѵ

для

любой

последовательности

{фѵ},

сходя­

щейся

в % к

нулю.

Все

эти определения непрерывности

нормированным,

в другие такие

же пространстваѴ "

. , С дру­

гой

стороны, если

%

и

2

объединения

нрост-

^ — счетные

странств, то оператор 32, отображающий

в

назы­

вается

2

,

если

31/ѵ — 32/

в

,

когда

/ѵ — /

??".

непрерывным

в

Здесь снова легко видеть, что линейный оператор 32,

отображающий ?" в %',

непрерывен тогда п только тогда,

когда 32/ѵ - + 0 в Щ '

при /ѵ

0

в Г .

Изоморфизм

опре­

деляется

так же, как н раньше.

%

W

Обратимся теперь к понятию сопряженного оператора.

Предположим, что оба пространства,

н

, — счетно-

мультннормированные

или

оба — счетные

объединения

пространств,

и 31 — непрерывное

линейное

отображение

% ъ Ѵ'.

Определим

сопряженный

оператор

32'

на

сопря­

женном

2

формулой

пространстве

?"

(1)

<32'/,

Ф> =

</, % > ,

где / е У '

и ср пробегает все

%.

Здесь

32ср принадлежит

2^,

так что правая часть имеет смысл. Равенство (

1

) опре­

деляет 32'/ как функционал

на

%;

именно,

32'/ есть тот

функционал

на

%,

который

каждому

элементу

ср ЕЕ

%

ставит в соответствие то же самое

число,

какое.

функцио­

нал / ЕЕ

V '

относит элементу 32ср ЕЕ

V .

Действитель­

Функционал 32'/ является элементом

но,

для

любых

ср, ф е=

%

и а , р Е

<32'/, «ф +

Р Ф ) =

< /,

32 (аср +

Рф)> =

< /,

а32ср +

р32ф> =

=

а < /,

32ср> +

ß < /,

32ф> =

а <32'/,

Ф> +

Р <92'/, Ф>,

Далее,

пусть

{срД^ сходится в

%

к пулю.

Тогда

при

V —V оо

32срѵ —»-

0

в

2

^ и

=

</,

32срѵ)

- > 0 .

Следовательно,

<32'/, Фѵ>

функцио­

32'/ — непрерывный

линейный

нал Vна"

%.

%'.

оператор 32' осуществляетс&х.

отображе­

Таким

образом,

ние

в

Мы докажем теперь, что 32'

линеен и непре­

рывен.

Пусть

ср £

%, /,

g е

ß 2*"'

п а ,

Р Е

Тогда

<32' (а /

+

P g ),

ср> =

< а /

+

g,

32ср>

=

а

</,

32ср> +

ß < g , 32

=

а <917 . Ф> +

Р <92'g ,

Ф>

=

<а32'/

+

ß32'g,

и, следовательно, оператор 32' липеен% 2.

допу­

Чтобы

показать,

что оператор 32' непрерывен,

стим сначала, что оба пространства

и ^ — счетно-муль-

тинормированные.,

Для

фиксированного ср GE

%

абсолют­

ная величина левой части (

1

) есть значение некоторойV ■

полунормы на

в то время как абсолютная величина

правой

части

(1) — это

значение полунормы

на

По­

этому непрерывность

91'

следует

прямо из леммы 1.10.1.

Предположим теперь, что

%

V*

— счетные объединения- * - 0 .

уи

пространств

и

пусть

/., ->■

-0

ов,

W .

Тогда

для

любого

cp е

%

<2ß'/v,

ф> =

</ѵ,

91ср>

так что 91'/ѵ

в

Следовательно, оператор 91' непрерывен.

Таким образом,

доказана

оба пространства % и V

Т е о р е м а

1.10.1.

Если

объединениями пространств

и

если оператор

осуще­

ствляет непрерывное линейное отображение % в V %то со­

пряженный

оператор

непрерывное

линей­

91'

определяет,

91

ное отображение

V "

в .

Результатом, тесно связанным с предыдущим, является

Т е о р е м а

1.10.2.

Если

оба

пространства % и W

счетно-мулыпипормированные

либо

оба

представляют

собой счетные объединения пространств и если

изо­

морфизм % на W , то

91'

определяет изоморфизм V "

на .

При этом

(9Г

)“1

91 —

= (91-1)'.

По определению изоморфиз­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ма 91 задает взаимно

однозначное

непрерывное линейное

отображение

%

на

Ѵ ',

причем

обратный

оператор 91_1

непрерывно и линейно отображает 2^на

%.

Теорема 1.10.1

бражение

в

%'

и что (9Г1)' осуществляет непрерывное

линейное

отображение

%'

V " .

вV .

Для любого /eE^0''

имеем

Пусть теперь ф = 9lcp GE

(91_1)'91'/ =

/,

поскольку

=

д э г 1)' 9і'/, ф >.

</, Ф> =

</, зіагч >

g,

Аналогично,

для

любого

g

e T

имеем 91' (9l-1)'g =

так как для

ср е

%

<g,

Ф> =

<g,

91_191ф> =

<9l'(9l- )'g, ср>.

н ео тр и ц ате л ьн о го

ц ел о го ч и сл а к (Е 9 1 п

мы

и м еем

ь

- sup

=

Тр (ф),

(еяп

( ~ ~ К ' *> = < (*• " й ^ > - / ей )'’ ф е г ) -

w

< -

~

k 6

(г -

т)’ ф (<)> =

< б -

т)’

ф (‘)>

=

-ж ;

| , _

П р и м е р

1.10.2.

Пусть

х — фиксированное

действительное

число. Оператор

сдвига

5Т: ф (г) е->- ф (t — х) определяет, очевидно,

непрерывное

линейное

отображение 3) в 3). Обратное отображение

имеет вид 5 _ т и те же самые свойства.

Кроме того, 5Х осуществляет

взаимно

однозначное отображение Sb на 3). Такпм образом, 5Т —

автоморфизм

на 3).

По определению оператор 5.1, сопряженный к оператору 5

задается

формулой

ф > = </, <утф >,

/ е й ) ',

ф е й ) .

(3)

сдвига

5 _т:

я п

/ {t + х).

яп

/ (t) >->■

как обобщенный

оператор

Таким

образом,

5т

интерпретируется

Согласно

теореме 1.10.2

оп задает

автоморфизм

на

й)'.