книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Из теорем 2 и 3 непосредственно следует

Т е о р е м а 4. Существует по крайней мере одно нетривиальное вариационное решение задачи (1.7) — (1.15) для всех к > 70.

Методы исследования регулярности краевых задач, подобных дан­ ной, будут обсуждаться в следующих лекциях.

Эта лекция основывается на работе [8].

ЛИТЕРАТУРА

11] Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 20 (1950), 1064. [2] Абрикосов А. А., ЖЭТФ, 32 (1957), 1442.

[6]Данфорд H. и Шварц Дж. T., Линейные операторы, т. 2, «Мир», М., 1966.

[7]Моггеу С. В., Pacific J. Math., 2 (1952), 25.

18] Odeh F., Existence and bifurcation theorems for the Ginnzburg-Landau equations, to appear in J. Math. Phys.

[9*] Люстерник Л. А. и Соболев В. И., Элементы функционального анализа, Физматгиз, М., 1965.

ваемся с трудными вопросами существования, регулярности, вырож­ денное™ и неинтегрируемости. Позднее мы определим эти понятия

ипокажем, как можно преодолеть эти трудности.

Внаших исследованиях мы используем аппарат функционального

анализа. Функциональный анализ дает основу современного подхода к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производ­ ными, так как он выявляет структуру данной задачи и позволяет выделить общие свойства, присущие широкому классу задач. С другой стороны, каждый пример имеет свои конкретные особенности, требую­

щие специального рассмотрения.

Наша работа строится следующим образом. В § 1—3 дается крат­ кий обзор некоторых работ по теории ветвления, приводятся контрпримеры к хорошо известным предположениям и указываются связи рассматриваемой теории с другими разделами математики и математической физики. В § 4—9 обсуждаются формулировка эллип­ тических краевых задач в терминах операторных уравнений в гиль­ бертовом пространстве, общая формулировка задач ветвления и создан­ ный по образцу метода Шмидта [2] метод возмущений, применяемый к бифуркационным задачам, возникающим в наших исследованиях. Результаты спектральной теории получаются тогда с помощью метода

возмущений.

В § 10—15 рассматриваются специальные классы нелинейных операторных уравнений, для каждого из которых можно указать специальные нелинейные инварианты. Первый класс операторных уравнений возникает из задач вариационного исчисления, обладаю­ щих свойством «симметрии». Подходящий инвариант, соответствую­ щий этим задачам, выражается в терминах теории категорий Люстерника — Шнирельмана топологических пространств и принципа минимакса Куранта для собственных значений линейных операторов. Этот класс вместе с приложениями к уравнениям Кармана изгиба пластин и к периодическим решениям автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается в § 10 и 11. Далее, в § 12 и 13 эта процедура модифицируется с целью изучения теории бифуркаций для задач вариационного исчисления, не обладающих свойствами симметрии, и рассматриваются приложения к задачам изгиба тонких нелинейных упругих структур. Наконец, в § 14 и 15 мы сосредоточиваем внимание на операторах, для которых нелиней­ ным инвариантом является степень отображения, введенная Лере и Шаудером в 1934 г. Затем обсуждается применение этого инварианта к задачам гидродинамической неустойчивости.

2. Исторические замечания

В 1908 г. была опубликована третья часть диссертации Шмидта [2]. На основе более ранней работы Шмидта по линейным интегральным уравнениям в ней было дано общее изложение теории ветвления для нелинейных интегральных уравнений (некоторые конкретные задачи

Линеаризованная задача имеет счетное множество двукратных собст­ венных значений Хп. С другой стороны, для любого действительного решения (и, у) задачи (3.1) мы должны иметь

а

X j (и? -\-ѵ2)2 dx = 0.

о

Это тождество получается в результате умножения (3.1а) на у , (3.1b) на и, интегрирования полученных равенств по частям по промежутку [О, а1 с использованием (3.1с) и вычитания второго интеграла из пер­ вого. Однако это тождество дает и = ѵ == 0, и поэтому бифуркация вообще отсутствует. Отметим также, что система (3.1) не вариационная, т. е. вектор {и + ѵ (и2 + у 2), ѵ — и (и2 + у2)} не является градиентом какой-либо функции F (и, ѵ). Позже в этой лекции мы покажем, что если бы эта система была вариационной, ветвление при каждом соб­ ственном значении Хп имело бы место, несмотря на вырожденность, вызванную тем, что собственные значения двукратны.

если рассматривать периодические решения системы (3.1а, Ь). Тогда, вообще говоря, каждое собственное значение линеаризованной задачи будет точкой бифуркации. Этот результат можно доказать методами лекции VII, где будет рассмотрена теория, соответствующая этому случаю.

П р и м е р 2. (Теорема Ляпунова и некоторые контрпримеры Зигеля.) Гамильтонова система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

при Ху = 0, • • ., Уп — 0 функция Н обращается в нуль вместе со все­ ми своими первыми производными. Предположим, что Я голоморфна в некоторой окрестности начала координат.

Т е о р е м а (Ляпунов). Предположим, что гамильтонова система

VI. т е о р и я б и ф у р к а ц и й в СЛУЧАЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й 7 7

тогда уравнения Гамильтона имеют вид

х і — Уі + х іх 2— У\Уіі

УI = — Хі — У іЪ — х іУг,

и Зигель [18] показал, что периодических решений с минимальным периодом 2л не существует. Важно отметить, что в этом примере поверхность уровня Н = const не гомеоморфна сфере.

В качестве следствия наших результатов мы покажем, как при дополнительных предположениях о матрице А и функции / (х) можно получить оба рассмотренных выше обобщения теоремы Ляпунова. Один такой результат общего характера был получен Мозером [19].

Мы рассматриваем (3.5а) как уравнение, однозначно определяющее f (X, у) по известной функции и (.х, у). Поэтому (3.5Ь) символически можно записать в виде следующего уравнения относительно и:

Здесь А и L — линейные операторы, а С — однородный «кубический» оператор, т. е. С (ои) = о®С (и) для произвольного скаляра а. Опера­ тор С получается путем выражения [/, и] в терминах и. Позже мы пока­ жем, как для этого уравнения сформулировать эквивалентную вариа­ ционную задачу. Пока отметим только следующие факты: 1) решения уравнений Кармана обладают свойством симметрии в том смысле, что если (/, и) — некоторое решение, то (/, —и) — тоже решение (т. е. пла­ стина может изгибаться вверх или вниз); 2) численные исследования этих уравнений, проведенные Бауэром и Рейссом [20], показывают,

что собственные значения соответствующей линеаризованной задачи всегда являются точками бифуркации. Этот пример будет исследован позднее.

Ь) В качестве примера изгиба нелинейной упругой структуры рассмотрим уравнения Кармана, описывающие изгибание аксиально сжимаемой цилиндрической панели с постоянной начальной кривиз­ ной, измеряемой константой К-

Здесь й — прямоугольная область в R2.

Если К = 0, то эти уравнения сводятся к частному случаю урав­ нений (3.5). Как и в примере а), разрешим первое уравнение относи­ тельно / как функции от « и результат подставим во второе уравнение. Подучаем уравнение вида

А'и - f - Qu -j- С и = XL'и,

где А' и V — линейные операторы, С — однородный кубический оператор и Q — однородный квадратичный оператор, т. е. Q (аи) = = or2Q (и) для любого скаляра сг. Такое уравнение уже не обладает свойством симметрии 1) примера а), и численные исследования показы­ вают, что совокупность решений имеет гораздо более сложную струк­ туру.

Тем не менее это уравнение также допускает формулировку в тер­ минах вариационного исчисления. Мы вернемся к этому примеру

влекции VII.

Пр и м е р 4. (Краевая задача с несколькими решениями, но без ветвления.) Этот пример показывает, что теория ветвления является только первым приближением к теории нелинейных уравнений. Более точно, решения нелинейного уравнения могут образовывать изолированные ветви, не порождаемые собственными значениями линеаризованной задачи.

Рассмотрим уравнение

Все решения должны быть либо неотрицательными, либо неположи­

тельными, так как и заведомо неотрицательна или неположительна. На рис. 1 показаны решения и отражено явление их изолированности (ср. с уравнениями Ланге — Эмдена из астрофизики).

П р и м е р 5. (Уравнения Навье — Стокса для установившихся движений несжимаемой вязкой жидкости.) Рассмотрим систему урав­

нольдса (заданная физическая постоянная), f (х) — заданная внешняя сила и Q — ограниченная область ь Rz z границей дО,. Компоненты

гладкого решения этой системы при всех R и его единственность для малых значений R. Мы рассмотрим вопросы гидродинамической неустойчивости, т. е. существование вторичных течений для достаточно больших R. Важно отметить, что для уравнений Навье—Стокса, по-видимому, не известно вообще никакого вариационного принципа

всилу свойственного этой системе рассеяния энергии.

Пр и м е р 6. (Модели турбулентности Бюргерса и Хопфа.) Для следующей системы:

щ— —V•V — w w — и • 1 + рихх,

Wt = W-U — v-b + W'd + pwxx

Хопф [22] исследовал множество действительных решений как функций параметра р. Здесь вектор (и, ѵ, w) является аналогом поля скоростей жидкости, р — аналог вязкости, а {х) и b (х) — заданные гладкие четные функции с периодом 2я, а свертка f-g определяется формулой

2я

f(x+y)ë(y)dy.

о

Хопф установил, что действительные решения системы (3.10) должны быть четными функциями х с периодом 2я, и доказал следую­ щие результаты. Существует счетное множество различных чисел