книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

тогда, когда (2.5) имеет два или более различных решений а (А), стре­ мящихся к а0 при X, стремящемся к А0. Каждое такое решение дает

которых а (А0) — а0. Это число равно единице, если (2.5) имеет един­

стности («о, А0). Тогда можно попытаться найти решение а (к) урав­ нения (2.5) для а, близких к а0, и к, близких к А0, используя теорему о неявной функции. Эта теорема утверждает, что если якобиан отличен от нуля, т. е. если det ba (с0, А„) Ф 0, то существуют положительные

единственное решение а (А) уравнения (2.5), непрерывно зависящее от А, причем а (А0) = а0 (постоянные а и ß определены в теореме 1). Так как и (t, А, а) непрерывна по t, А, а, то, подставляя это реше­ ние в (2.6), получаем единственное близкое к и0 (і) решение задачи В,

Тогда существуют положительные постоянные а' и ß', такие, что

Значение теоремы 2 состоит в том, что она дает для А, близких к А0, условие, гарантирующее однозначное включение частного реше­ ния и0 (t) при А = А0 в семейство решений и (t, А). Теорема дает условия разрешимости задачи В при А, близких к А0, если эта задача имеет решение при А = А0. Иначе говоря, в ней выясняется, когда решение может быть однозначно продолжено по параметру А; если выполнено условие (2.7), то ветвления нет. Поэтому ветвление может

Интерпретация этого критерия в терминах соответствующей линеари­ зованной задачи будет дана в следующем параграфе.

Но сначала заметим, что предыдущий анализ применим не только к обыкновенным дифференциальным уравнениям, но и к любым урав­ нениям, решения которых можно охарактеризовать с помощью неко­ торого конечномерного вектора а. Если для таких уравнений имеет место аналог теоремы 1, то будут справедливы и другие результаты этого параграфа.

3. Линеаризованная задача

Рассматривая семейство решений, зависящих дифференцируемым образом от скалярного параметра, можно сформулировать линеари­ зованную задачу, соответствующую задаче В. Для этого продифферен­

цируем (1.1) и (1.2) по этому параметру, обозначив через и производ­ ную от и:

Здесь f u — матрица производных компонент / по компонентам и,

а через Вии обозначены п линейных функционалов от и. Чтобы (3.2) имело смысл, следует предположить, что функционалы В Іи (/, к), А.] дифференцируемы по и.

Линеаризованная задача линейна и однородна по и (t, А). Введем U (t, к) — фундаментальную матрицу решений уравнения (3.1), опре­ деленную условиями

где / — единичная матрица. Существование, единственность и непре­ рывность U (t, А) по t и А следуют из стандартных теорем теории линейных уравнений и требования непрерывности fu при условии, что и (t, А) непрерывно зависит от t и А. С помощью фундаментальной матрицы U можно решить задачу Коши для уравнения (3.1) с началь­ ным условием

ее решение, которое мы обозначим через и {t, А, а), имеет вид

Чтобы решить линеаризованную задачу (3.1), (3.2), подставим

(3.6) в (3.2). Получаем

Это равенство можно записать в более простом виде, если рассмотреть

решение и {t, А, а + га) уравнения (1.1) с начальным условием

в окрестности которого была построена линеаризованная задача.

В самом деле, дифференцируя (1.1) и (2.3) по а, мы видим, что иа удо­ влетворяет (3.1) и на (ф, Я, а) = /. Следовательно, ца удовлетворяет тому же самому уравнению, что и б/, и потому в силу единственности решения задачи Коши иа = £/. Из определения (2.4) функции b (а, к)

Из (3.11) мы видим, что если £>а (п, Я) — неособая матрица, то а = 0.

В этом случае и = 0 является единственным решением линеаризован­

ной задачи (3.1), (3.2), в чем мы убеждаемся, полагая в (3.6) а = 0.

Обратно, если линеаризованная задача имеет решение и, не являю­

щееся тождественным нулем, то а = и (tt, Я) — не нуль и а — реше­ ние (3.11). Поэтому матрица Ьа (а, Я) должна быть особой, т. е. ее опре­ делитель должен равняться нулю. Таким образом, линеаризованная задача имеет единственное тривиальное решение тогда и только тогда, когда det ba {а, к) Ф 0.

В общем случае предположим, что размерность ядра Ъа {а, Я) есть ѵ. (Размерность ядра равна порядку п матрицы Ьа минус ее ранг.) Тогда

Ьа (а, к) имеет точно ѵ линейно независимых нулей аи . . ., аѵ. Каж­ дому из них соответствует решение линеаризованной задачи, опреде­ ляемое по формуле (3.6). Следовательно, в этом случае линеаризован­ ная задача имеет ѵ линейно независимых решений. Обратно, если линеаризованная задача имеет ровно ѵ линейно независимых реше­ ний, то их начальные значения при t = tt образуют ѵ линейно неза­ висимых решений (3.11), и потому размерность ядра матрицы Ьа (а, Я) равна V. Резюмируя сказанное, получаем следующую теорему:

решение и (f) = 0 является единственным решением линеаризованной задачи тогда и только тогда, когда det ba (а, Я) Ф 0.

Объединяя последний вывод теоремы 3 с теоремой 2, получаем сле­ дующий результат:

Т е о р е м а 4. Предположим, что выполнены условия теоремы 1, b (а, Я) и Ьа (а, Я) определены и непрерывны для (а, Я) из некоторой окрестности (а0, Я0) и определено Ви [«0 (t), Я0]. Пусть линеаризован­ ная задача (3.1), (3.2) при Я = Я0 и и (t, Я), замененном на и0 (t), имеет

только тривиальное решение и (t) = 0. Тогда существует положитель­ ная постоянная ß', такая, что для каждого Я, удовлетворяющего нера­ венству ИЯ — Я0 И^ ß', задача В имеет единственное близкое к ы0 (t) решение и (t, Я), непрерывное по t и Я, причем и (t, Я0) = и0 (і).

Из теоремы 4 следует, что разветвление и0 (t) при Я = Я0 возможно только тогда, когда при и0 (t), Я0 соответствующая линеаризованная задача имеет нетривиальное решение. В этом случае, если линеаризо­ ванная задача имеет ѵ линейно независимых решений, мы будем говорить, что задача В имеет вырождение степени ѵ.

Тем не менее нужно убедиться, действительно ли имеет место вет­

Если ранг этой матрицы равен п, то некоторый минор порядка п неосо­ бый. Следовательно, можно применить теорему о неявной функции и разрешить (2.5) относительно компонент а и Я, соответствующих этому минору, выразив их через оставшиеся компоненты. Это реше­ ние даст в окрестности (а0, Я0) единственное непрерывное многообра­ зие размерности т в (п + т)-мерном (а, Я)-пространстве, проходя­ щее через (а0, Я0). Оно дает те и только те значения а, которые ответ­ вляются от а0 в точке (а0, Я0).

Если ранг матрицы (3.12) меньше п, то уравнение разветвления все же может иметь решения вблизи (й0, Я0). Одним из путей их нахож­ дения является разложение функции b (а, Я) в конечный ряд Тейлора

в точке (и0, Я0). Затем нужно исследовать решения (2.5), когда frзадано конечным рядом Тейлора с некоторым остаточным членом. Соответствующий пример будет дан в лекции XV.

4. Ветвление для уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь граничную задачу для нелинейного уравнения второго порядка частного вида. Будем предполагать, что задача имеет решение и0 (t, X) и вырождается при X = Х0, т. е. соответствую­ щее линеаризованное уравнение имеет нетривиальное решение. Тем не менее мы покажем, что уравнение разветвления можно разрешить вблизи Х0. Этим будет доказано, что ветвление действительно имеет место.

Для скалярной функции и (t) задача имеет вид

<tig (t, X) < и2.

Линеаризованная задача при и0, X имеет вид

Предположим, что эта задача имеет нетривиальное решение при X = Х0г где Хі < Ä-o < Я,2, и обозначим его через

ку cq Ф 0, из (4.5) следует, что ф( (tf) — 0, и тогда по теореме единст­ венности ф (f) = 0.

Мы хотим доказать, что уравнение разветвления можно разрешить, несмотря на то что при и0, 10задача вырождается. С этой целью пред­

где V (t) — новая неизвестная функция и а —• постоянная. Постоян­ ная а должна быть выбрана так, чтобы можно было наложить условие

Мы только что показали, что при а = 0, Я = Я0 граничная задача (4.10) — (4.13) имеет решение ѵ — ф (і). Поэтому (0, Я0) является реше­ нием (4.16). Чтобы показать, что, когда Я близко к Я0, (4.16) разреши­ мо в окрестности нуля относительно а, рассмотрим Ьа (0, Я0)> опреде­ ляемое равенством

Эта задача имеет единственное решение ѵа (t, Я0, 0), с помощью кото­ рого мы можем определить ba (0, Я0), заданное равенством (4.17). Если Ьа (0, Я0) = 0, то, как это видно из (4.17) и (4.20), ѵа удовлетво­

ряет тем же самым граничным условиям (4.5) и (4.6), что и и = ф (t). Кроме того, (4.18) является неоднородным уравнением, которому

соответствует однородное уравнение (4.4), имеющее решение и = ц>. Условием разрешимости неоднородной граничной задачи (4.18) являет­ ся ортогональность правой части (4.18) к ф (/) — решению соответ­ ствующей однородной задачи:

Если выполнено (4.21), то Ьа (О, Я0) = 0. Если же (4.21) не выпол­

При X, близких к Х0, эта функция является решением первоначальной задачи (4.1) — (4.3). Она непрерывна по X и и (t, Х0) = и0 (t, Л,0). Так как V не есть тождественный нуль при X, близких к А,0, то, если а (X) Ф Ф 0 при Х ф Х 0, и (t, X) ф и0 (t, X) при X Ф Х0. Поэтому если (4.21) не выполнено и если а(Х)Ф0 при Х ф Х0, то различные функции и (t, X),

то, вычисляя Ьх (0, Я,0). можно определить, равно а(Х) нулю или нет при X, близких к Х0. Если Ьх (0, Л,0) Ф 0, то а (А,) Ф 0 в окрестности А,0. Чтобы выяснить, равно Ъ%(0, Х0) нулю или нет, положим а = 0 и, предполагая, что fuX и иох существуют, продифференцируем (4.10) — (4.12) по X при X = І 0:

Как и в только что проведенных рассуждениях для иа, из (4.24) — (4.26) мы выводим, что ЬК(0, Х0) Ф 0 в том случае, если правая

часть (4.24) не ортогональна ср (/), т. е.

h

j {fuu[u0{t, Я0), t, k0]u0X(t, k0) + fuX[u0{t, Я0), t, Я0]} ф2 (t) di Ф 0.

(4.27)

Если выполнено (4.27), то bx (0, Я0) Ф 0, и поэтому при К, близких к Я,0 и не равных Я0, а (к) отлично от нуля. Следовательно, при К, близ­ ких к Я0, и (t, Я), определенное по формуле (4.22), отлично от и0 (t, Я) всюду, кроме Я = Я0. Резюмируем результаты этого параграфа в сле­ дующей теореме:

Тогда существует положительная постоянная у, такая, что для каждого Я, удовлетворяющего неравенству | Я — Я0 | <С у, задача (4.1) — (4.3) имеет единственное близкое к и0 (/, Я0) решение и (t, Я), непрерыв­ ное по Я, отличное от и0 it, Я) при Я Ф Я0 и совпадающее с ним при

Я = Яд.

Е с л и (4.28) не выполнено, но (4.27) имеет место, то при (а, Я), близ­ ких к (0, Я0), уравнение разветвления можно единственным образом разрешить относительно Я (а). Предположим, что эти условия выпол­ нены и что Ьаа (0, Я0) существует. Тогда решение уравнения (4.16) можно записать в виде

Если Ьаа (0, Я0) Ф 0, то (4.29) можно разрешить относительно а; получаем два решения:

« - ± [ І д Щ - л - ч Г + о иъ-іт - (4-30)

Очевидно, что а± (Я) действительны только тогда, когда Я0 — Я имеет тот же самый знак, что и Ьх (0, К0)/Ьаа (0, Я0). В этом случае при малых Я0 — Я задача (4.1) — (4.3) имеет два различных (действительных) решения, отличных от uQ(t, Я). Эти два решения непрерывны по Я

знак, противоположный знаку Ь%(О, А0)/Ьаа (О, А0), то решений, отлич­ ных от и0 (t, А,) и стремящихся к и0 (t, А0) при А, стремящемся к А0, не существует. Значение Ьаа (О, А0) можно найти, решая задачу для vaa (t, Ад, 0), получаемую двукратным дифференцированием по а зада­ чи для V.

Сформулируем эти результаты в виде теоремы.

Т е о р е м а 6. Предположим, что выполнены условия теоремы 5 с равенством в (4.28) и что Ьаа (0, А0) существует и отлично от нуля. Тогда существует положительная постоянная у, такая, что для

5. Пример

Применим результаты § 4 к тому случаю, когда / (и, t, А) имеет ■специальный вид

Предположим, что g, gu и guu существуют и непрерывны и, кроме того, что

Линеаризованная задача (5.4), (4.5) и (4.6) самосопряженная и имеет