книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

8. Заключение

Некоторые доказательства, приведенные в работе [7], на которой основана эта лекция, здесь изменены.

9. Приложение: случай п = 1 х)

С. Антман

В этом приложении с помощью элементарных результатов гло­ бальной дифференциальной геометрии показано, что не существует деформированного кольца, удовлетворяющего граничному усло­ вию (2.4) и имеющего только одну ось симметрии, т. е. что кривизна k, периодическая с периодом 2л/п, не может иметь 2л наименьшим периодом.

Исследуя дифференциальное уравнение (2.17) для произвольных значений р и ß, можно показать (методами фазовой плоскости, напри­ мер), что периодические решения (2.17) имеют вид, показанный на

о

Рис. 4.

рис. 4, т. е. функция ѵ ограничена в полосе ^ ѵ ^ ѵ2, симметрична относительно своих точек касания с прямыми ѵ = ѵх и ѵ = ѵ2 и vs обращается в нуль только на этих прямых.

Таким образом, мы видим, что наименьший период функции ѵ равен

2я (-^-) , где N — число экстремумов ѵ на интервале длины 2я. Для

любой замкнутой кривой N должно быть равно самое меньшее двум. Применим теперь теорему Джексона [8]:

Т е о р е м а Е (теорема о двух вершинах). Гладкая замкнутая кривая, кривизна которой имеет ровно два экстремума, состоит точно из двух простых петель, каждая из которых содержит экстре­ мум кривизны. (Поэтому такая кривая не может быть простой.)1

1) См. также Antman St., Existence of solutions of the equilibrium equations for nonlinearly elastic rings and arcs, Indiana Univ. Math. J., 20, № 3 (1970), 281—302; The shape of buckled nonlinearly elastic rings, ZAMP, 21, № 3 (1971), 422—438.^— Прим, nepee.

Примеры кривых, кривизна которых имеет ровно два экстремума, даны на рис. 5.

Изменение угла наклона касательной в петле рис. 6,я равно я + ос, а для петли на рис. 6,6 оно равно Зя — а. Исследование двойной точки (рис. 7) показывает, что исходящие из нее простые петли должны иметь характер петель рис. 6. Поэтому полное изменение угла для

оо

Этот результат легче доказать, если рассматривать только простые гладкие замкнутые кривые, поскольку тогда можно применить теоре­ му о четырех вершинах [8]: каждая такая кривая имеет по крайней

мере четыре точки, в которых кривизна достигает экстремума. Для задачи об изгибе кольца это физически обоснованное ограничение.

Ясно, что если ограничение (2.4) ослабить следующим образом:

то многообразие решений нашей граничной задачи значительно рас­ ширится. В частности, рис. 5,я соответствует т = 0, а рис. 5,6 т = 2. Физическую реализацию рис. 5,а можно получить, поворачивая один из концов тонкой полоски бумаги на угол 2я и приклеивая его к дру­ гому концу. (Это не лист Мёбиуса.) Получающаяся форма кольца показана на рис. 8,я.

Интересно отметить, что'полоску рис. 8,я можно превратить в поло­ ску рис. 8,6 которую можно рассматривать как физический аналог рис. 5,6.

Другие возможные решения краевой задачи (2.15), (9.1), (2.7) суть

Это тривиальные решения, соответствующие ненагруженной форме, состоящей из т петель (как на рис. 8,Ь, где имеется две петли). Если допустить такие решения, то характеристический график р как функ­ ции от некоторой нормы k будет состоять не только из ветвей, образую­ щихся от k = 1, но и из ветвей, порожденных k = Мт. При этом

Рис. 8.

решения (9.2) могут превращаться в другие формы, так же как форма рис. 8,а превращается в форму рис. 8,Ь. Было бы полезно рассчитать характеристический график и для такого явления. Эти соображения указывают на многообразие решений, которое может возникнуть при решении нелинейного уравнения.

На этом приложении основана работа [9].

[3]Вайнберг M. M., Вариационные методы исследования нелинейных опера­ торов, ГИТТЛ, М., 1956.

[4]Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в мате­ матической физике, Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

[5]Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, Гостехиздат, 1955.

[7]Tadjbakhsh I., Odeh F., Equilibrium states of elastic rings, J. Math. [Anal. Appl., 18, № 1 (1967), 59—74.

[8]Jackson S. B., Vertices of plane curves, Bull. Amer. Math. Soc., 50 (1944), 564—578.

[9]Antman S., A note on a paper of Tadjbakhsh and Odeh, J. Math. Anal. Appl.r 21 (1968), 132—135.

V

ЗАДАЧА О БИФУРКАЦИИ В ТЕОРИИ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

Ф. Одех

1. Введение и формулировка краевой задачи

Теория сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау (см. [1], [2]) описывает поведение сверхпроводящего вещества во внешнем магнитном поле посредством комплексной функции ср (х, у, г), называемой парамет­ ром упорядочения, и векторного потенциала а (х, у, г) вектора маг­ нитной индукции В = V X а. Значение | ср |2 измеряет величину сверхпроводимости. В соответствующих единицах уравнения Гинзбур­ га — Ландау имеют вид

Здесь k — заданная физическая постоянная, а звездочка означает комплексное сопряжение.

Мы предполагаем, что проводящая среда занимает все простран­ ство, и разыскиваем решения уравнений (1.1) и (1.2), такие, что

однозначности ф изменение фазы ДѲ при обходе контура дй кратно 2я:

3. Существование нетривиальных решений для к > к0

В этом параграфе мы применяем прямые методы вариационного исчисления для доказательства существования по крайней мере одного нетривиального решения уравнений Гинзбурга — Ландау (1.7) — (1.15) абрикосовского смешанного состояния для всех к > Ä,0 = 2я. (Таким образом, абрикосовское смешанное состояние возможно для всех значений средней магнитной индукции ниже ее критического значения.)

Уравнения (1.7) и (1.8) представляют собой уравнения Эйлера для функционала свободной энергии

Е{ер, а ]= [ [ | ( і'Ѵ -fa) ф»( — гѴ + а) ф* +

+ -§-|ф|4 — Я |ф |2+ 2 £ 2| V X а |2| dxdy. (3.1)

Пусть и обозначает пару (ср, А), где А — вектор, определенный посредством (1.9). Тогда допустимые функции — это элементы гиль­ бертова пространства Я, состоящего из таких элементов и 6 (Й), которые удовлетворяют (1.11) — (1.15). Обозначим норму таких функ­ ций через II • ||. Мы покажем, что существует нетривиальный элемент и0 из Я, который придает функционалу Е минимум при к > А,0. Наша методика аналогична той, которая была применена в лекции IV.

образом, достаточно рассмотреть функционал Е, определенный на огра­ ниченных множествах пространства Н.

не содержащих производных, можно доказать методами, которые использовались в лекции IV. Остальные члены в (3.1) при фиксирован­ ных ф и А выпуклы по первым производным от и = (ф, А). Привлекая теорему Морри [7], приходим к выводу, что интегралы от этих членов обязаны быть слабо полунепрерывными снизу.

Т е о р е м а 2. Существует вектор и0, который реализует мини­ мум функционала Е на Н.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как любой шар ВТ слабо замкнут в гильбертовом пространстве, из лемм 2 и 3 следует, что Е слабо полу­