книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

200 С, АНТМАН

ограничена в полосе £t ^ ^ £2 и симметрична относительно своих точек касания с прямыми £ = £j и £ = £2. Эти свойства иллюстри­ руются на рис. 4.

ft

Л(сі)

Рис. 3.

Поэтому из условий (4.8) выводим, что для каждого значения п,

и два симметричных решения (зеркальные отражения одно другого) при

to = 1/(я + 1).

Если один из нулей £t и £2, скажем £2, по абсолютной величине больше y/ß, то любое решение £ = £ (/), которое касается прямой

К

Рис. 4.

£ = £2, должно быть отброшено, потому что для него нарушается ограничение 1 + б > 0. (Мы уже показали, что оба нуля одновремен­ но не могут превышать y/ß по абсолютной величине.)

Дополнительные вспомогательные условия (4.4) определяют форму и размеры кривой решения на рис. 4 и ограничивают значения пара­ метров, для которых такие решения могут существовать.

Заметим, что такой анализ имеет силу для любой функции энергии деформации W, для которой верен рис. 4. Отметим также, что опре­ деляющие уравнения для материала в этом примере до некоторой сте-

пени искусственны, так как осевое усилие N стремится к конечному пределу —ЕА, когда б -э---- 1.

Хотя мы и получили представление решения задачи § 3, мы не дока­ зали, что эти решения могут удовлетворять граничным условиям, обеспечивающим равновесие, т. е. мы не показали, что трансцендент­ ные уравнения для граничных условий можно решить относительно констант интегрирования. В следующих двух параграфах мы обра­ тимся к этому вопросу существования с более абстрактной точки зре­ ния. Кроме того, мы снимем ограничения, что К = const, q — = const и W не зависит явно от т.

5. Теоремы существования для нерастяжимых стержней

Мы обобщим некоторые результаты лекции IV, чтобы изучить случай нерастяжимых стержней, для которых справедливо опреде­ ляющее соотношение

Мы налагаем следующие, вытекающие из физического смысла

Здесь К и а — постоянные, а у (т) — интегрируемая функция. Смысл неравенства (5.3) обсуждался в конце § 1; (5.4) представляет собой

положим, что концы либо шарнирно закреплены, либо жестко защем­ лены. Для шарнирного конца

Кроме того, предположим, что концы неподвижны. Таким образом,

Второе равенство в (5.8c) есть следствие (2.5) и (5.2). Функционал Ѵ2 с точностью до аддитивной постоянной пропорционален ориенти­ рованной площади, ограниченной замкнутой кривой, образованной стержнем в недеформированном и деформированном состояниях (эта кривая может иметь самопересечения).

Методом лекции IV можно показать, что основные уравнения этой задачи являются уравнениями Эйлера для функционала V при усло­ вии (5.4). Теперь мы докажем несколько теорем существования для задач такого рода, используя некоторые методы функционального анализа, подобные тем, которые описаны в лекции IV.

Нам понадобится пространство Соболева

(где производные берутся в смысле теории распределений), которое

Пусть 5 — пространство Банаха, состоящее из тех элементов про­

удовлетворяют равенствам (5.6). Эти пространства можно построить при помощи пополнения.

Нам понадобятся следующие теоремы.

Т е о р е м а А. Слабо полунепрерывный снизу функционал на огра­ ниченном слабо замкнутом непустом множестве рефлексивного про­ странства Банаха достигает там своего минимума.

Доказательство этих теорем можно найти в [3] и [4]. Сформулируем и докажем некоторые подготовительные леммы.

Это утверждение непосредственно следует из классической изопе­ риметрической задачи.

Определим многообразие

Доказательство этой леммы мы получим, построив элементы каждого из этих множеств. Это возможно, так как А <С /. Мы опускаем эти построения.

Теперь мы можем доказать следующие теоремы существования.

на некотором ограниченном подмножестве множества Е 0. Из лемм 2

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и опускается. Справедлива также следующая теорема о регулярности:

Т е о р е м а 3. Если в дополнение к (5.3) и (5.4) функция W (р, б) удовлетворяет условию

то минимизирующие функции ф0 и ф2 из теорем 1 и 2 дважды непрерыв­ но дифференцируемы на [0, I] и являются классическими решениями уравнений Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из теорем С и D вытекает, что ф0 и ф2 непрерывны. Этот факт вместе с условиями (5.3), (5.4), (5.12) дает нам возможность применить теорию Тонелли из вариационного исчис­ ления, которая и приводит к утверждению теоремы 3.

Теперь обратимся к случаю растяжимого стержня.

6. Теоремы существования для растяжимых стержней

По аналогии с (5.3) и (5.4) потребуем, чтобы матрица

Функционал потенциальной энергии растяжимого стержня, нахо­ дящегося под действием гидростатического давления q, дается выра­ жением

извольного фиксированного q существует элемент (iß0, о0) из £ 0, кото­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из простых геометрических рассмотре­ ний можно вывести, что множество Е 0 П Ег не пусто. Остальное полу­ чается, как при доказательстве теоремы 1.

Т е о р е м а 6. Если в дополнение к (6.1) и (6.2) функция W (р, S, т) удовлетворяет неравенству

то минимизирующие функции (iß0, а 0) и (iß2, а 2) из теорем 4 и 5 дважды непрерывно дифференцируемы на [0, 1\ и являются классическими решениями уравнений Эйлера.

Доказательство следует доказательству теоремы 3, и мы его опускаем.

В теореме 4 мы предположили, что ß больше 2, тогда как в теоре­ ме 5 такое ограничение не было необходимо. Это предположение имеет простой физический смысл, что лучше всего объяснить на примере.

условия, при которых кольцо может быть в равновесии в форме кру­

и условиям периодичности. Если требуется, чтобы (6.17) было реше­

фициента q. График правой части (6.18) как функции R — 1 дает

N = qR при q > q*. С другой стороны, мы видим, что для любого R имеется q, заданное посредством (6.18), для которого равенства (6.17) дают решение. Таким образом, кольцо может находиться в равнове­ сии при произвольно большом внутреннем давлении только в том случае, если материал является достаточно «жестким» при растяжении. Итак, два различных закона связи напряжений с деформациями, которые можно считать в существенном эквивалентными при малых деформациях (например, если осевое усилие N пропорционально мере деформации 6: N = f (р,)8, или N пропорционально напряжению

материала: N = -|-/(р,) Цб + I)2 — 1]), дают совершенно разные

результаты для больших деформаций. К подобным выводам приходят также и для мембран (см. [5]). Можно ожидать, что этот механизм действует при граничных условиях (6.3) и (6.4).

Заметим, между прочим, что этот же графический анализ сохранит силу для кольца при внешнем давлении, если допустить отрица­ тельные значения q. В этом случае если (6.17) должно быть решением для всех отрицательных q, то величина W& (р, 6') должна стремиться к —оо, когда 6 приближается к —1.

7. Заключение Теоремы § 6 и 7 обеспечивают существование «предпочтительных»

можно исследовать методами лекций VI и VII или при помощи метода Пуанкаре, примененного в лекциях II и IV, в сочетании с методами лекции XI. В тех задачах, где можно определить «тривиальное» реше­ ние, для доказательств существования нетривиальных решений можно применить методы лекции IV.

Эта лекция частично основана на работах [1] и 16].

ЛИТЕРАТУРА

11] Antman S., General solutions for plane extensible elasticae having nonlinear stress-strain laws, Quart. Appl. Math., 26 (1968), 35—47.

12] Tadjbakhsh I., The variational theory of the plane motion of the extensible elastica, Int. J. Eng. Sei., 4 (1966), 433—450.

{3] Вайнберг M. M., Вариационные методы исследования нелинейных опера­ торов, Физматгиз, М., 1956.

{4] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в мате­ матической физике, изд-во ЛГУ, 1950.

15] Green А. Ё. and Adkins J. Е., Large elastic deformations, Oxford, 1960.

[6]Antman S., Equilibrium states of nonlinearly elastic rods, J. Math. Anal. Appl. (to appear).

[7*]Соломяк M. 3., О пространствах, сопряженных к пространствам С. Л. Со­ болева, ДАН СССР, 143, № 6 (1962), 1289—1292.

{8*]Соломяк М. 3., О разрешимости некоторых интегральных тождеств, Ученые записки Ленинградского пед. ин-та им. Герцена, 238 (1962), 141 —148.