книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Вэтом примере канонические преобразования образуют группу Ли,

агамильтоновы системы — соответствующую алгебру Ли. В более общем случае каждой группе преобразований

г->■ z' = Ф (г)

евклидова пространства в себя сопоставляется алгебра Ли инфините­ зимальных преобразований. Они могут быть заданы в виде диффе­ ренциальных уравнений

§ = ф (г)

или в виде присоединенного дифференциального оператора в частных производных

Тот факт, что композиция двух преобразований не выводит из группы, приводит к заключению, что коммутатор X Y — Y X двух элементов алгебры Ли также принадлежит ей.

В случае гамильтоновых дифференциальных уравнений наши уравнения разветвления сводятся к п уравнениям, если х, а также и у имеют п компонент. Если в нашем распоряжении имеется я дополни­ тельных параметров (как это обычно случается), то наш результат приводит к доказательству существования условно-периодических решений гамильтоновых систем. За подробностями мы отсылаем к статьям [6] и [7].

Эта лекция частично основывается на работах [6] и [7], где можно найти дальнейшие подробности, примеры и ссылки.

ЛИТЕРАТУРА

Ш Плисс В. А., О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе Вестник ЛГУ, сер. мат., мех. и астрон., № 13 (1960), 15—23.

[2]Колмогоров А. Н., О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона, ДАН СССР, 98 (1954), 527—530.

[3]Колмогоров А. Н., Общая теория динамических систем и классическая механика, Международный математический конгресс в Амстердаме, Физмат-

гиз, М., 1961.

[4] Арнольд В. И., Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения

вклассической и небесной механике, УМН, 18, 6 (114) (1963), 81—92.

[5]Арнольд В. И., Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамиль­

тона, УМН, 18, 5 (113) (1963), 13—40.

[6] Мозер Ю-, О разложении условно-периодических движений в сходящиеся

145—172.

[8*]Логинов Б. В., Треногин В. А., Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных урав­ нений, Машем, сб., 85 (127), № 3, (1971) 440—454.

[9*]Логинов Б. В., Треногин В. А., О применении непрерывных групп в теории ветвления, ДАН СССР, 197, № 1 (1971), 36—39.

X I

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ВЫПУЧИВАНИИ

ВНЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

к. Сенсениг

1 . Введение

•

На основе точной трехмерной теории нелинейной упругости мы рас­ сматриваем две задачи о выпучивании круглого цилиндра.

З а д а ч а 1. Цилиндр зажат в смазанной цилиндрической шайбе. Тем самым криволинейная боковая поверхность недеформированного цилиндра остается цилиндрической и в деформированном положении. Более того, срезающая сила на боковой поверхности равна нулю, и усилия, приложенные к первоначально плоским торцам, также рав­ ны нулю (см. рис. 1).

З а д а ч а 2. Цилиндр подвергается сжатию между двумя смазан­ ными параллельными пластинами, так что его торцы остаются парал­

лельными. Тем самым на торцах обращается в нуль срезающая сила,

ана боковой поверхности — вектор напряжений (см. рис. 2).

Вобеих задачах мы предполагаем, что массовые силы равны нулю. Заметим, что если задавать перемещения, а не соответствующие усилия на частях границы цилиндра, то можно будет указать вид этих частей после деформации. Это существенно упрощает задачу.

Когда нагрузка, соответствующая вынужденному перемещению, достаточно велика, цилиндр выпучивается. В задаче 1, по определе­ нию, выпучивание начинается, когда торцы перестают быть плоскими,

адля задачи 2 — когда боковая поверхность перестает быть цилин­ дрической. Первые формы выпучивания для задачи 1 и задачи 2 пока­ заны на рис. 1 и 2. В задаче 1 мы ищем критический радиус, а в зада­ че 2 — критическую длину, при которых начинается выпучивание.

Наше рассмотрение проводится для произвольного однородного изотропного материала, имеющего функцию плотности энергии дефор­ мации (т. е. для гиперупругого материала) *). Затем результаты кон­ кретизируются путем выбора частного вида плотности энергии дефор­ мации. Во всех случаях мы не делаем никаких предположений о раз­ мерах цилиндра.

2. Формулировка граничной задачи

системе. Ковариантные компоненты метрического тензора имеют вид

Разного рода компоненты тензора связаны с ковариантными ком­

и‘ (г, Ѳ, г). Деформация описывается градиентом вектора перемещения,

х) Подробное изложение нелинейной теории упругости и, в частности, решение ряда задач о бифуркации равновесия содержится в [9]. (См. также обзор [10].) — Прим. ред.

ские компоненты измеряют силу, действующую на единицу недефор-

(Заметим, что (2.5) содержит ровно три независимых уравнения.) Уравнение (2.4) следует из равновесия сил, а уравнение (2.5) —

из равновесия моментов. Заметим, что Q1' не являются компонентами симметричного тензора.

Введем симметрический тензор Н), который измеряет деформацию,

требуя, чтобы тензор Н) + 6/ (где б/ — символ Кронекера) был един­ ственным положительно определенным квадратным корнем из тензора

с компонентами Р,‘ Р \, т. е.

(Я) + б)) ща? > 0 для любых ненулевых векторов щ.

Определим следующие инварианты тензора Н).

Определим также тензор [вращения с компонентами Су соотноше­ ниями

Реакция материала характеризуется функцией плотности энергии деформаций W = W (s1; s2, s3), которая позволяет выразить законы, связывающие напряжения с деформациями, в виде

Уравнение (2.9) выражает наиболее общий закон связи между напряжениями и деформациями в однородной изотропной упругой среде, не подверженной диссипации в ходе деформирования. Оно представляет собой нелинейное обобщение закона Гука.

к системе (2.3), (2.4), (2.9) из 21 уравнения для 21 неизвестных ком­

понент и‘, Qlj, Plj. Можно также рассматривать (2.4) как определяю­ щую систему из трех уравнений для трех неизвестных и1, считая, что сделаны соответствующие подстановки. Заметим, что плотность энер­ гии деформации W считается известной функцией аргументов sb s2, s3. Теперь сформулируем граничные условия для наших задач.

В задаче 1 мы предполагаем, что недеформированный цилиндр занимает область 0 ^ г ^ R, | z | ^ h. Мы ищем осесимметричные решения, т. е. решения, для которых и‘ не зависят от Ѳи, кроме того, и2 = 0, и1 = 0 при г = 0. Эти ограничения приводят к определенным упрощениям в краевых условиях, которые принимают вид

на боковой поверхности, (2.1 lb) означает, что на боковой поверхности отсутствуют сдвиги, а из (2.11с) следует, что растяжения на торцах равны нулю.

В задаче 2 предполагается, что недеформированный цилиндр

Здесь мы не требуем осевой симметрии. Дальнейшие подробности

Подстановка Q11 из (3.5) в (2.4) показывает, что (3.1) удовлетворяет уравнениям равновесия. Из (2.11) видно, что краевые условия задачи 1

4. Возмущенная задача

Теперь предположим, что существует семейство решений каждой задачи, зависящее от параметра со таким образом, что решения не имеют вида (3.1) при со > 0, но при со = 0 имеют такой вид. Мы предполо­ жим также, что и‘ имеют правую производную по со при со = 0. Поло­

жим и1— и1|со = о и и‘ = диЧдсо |m= 0. Аналогичные обозначения исполь­ зуются и для других функций. Тогда те значения параметров а и Ь, определяющих частное решение, которые отвечают со = 0, соответ­ ствуют возможному началу выпучивания.

Вводя определение Wtj = d2W/dSidSj и используя результаты двух последних параграфов, находим

С12 = {Р12- Р 21)/2а,

С13 = (Р13- Р 31)/{а+Ь),

(4.1)

С33 = {Р23 —Р32)/(а + Ь),

Сі} = — Сн,

'Sl= P \ + PS + P33,

XI. Н Е К О Т О Р Ы Е ЗА Д А Ч И О В Ы П У Ч И В А Н И И ТЕО РИ И УПРУГОСТИ 187

As = Wi - 2W2 — 3s (e + 2)W3,

As = 2W2 + 3 (e + 6) # 3,

Л10 = Wx- 2WZ- 3 (8+ 6+ eS) # 3.

Чтобы получить возмущенные уравнения равновесия, достаточно поставить точку над каждой переменной в (2.4) и подставить в эти

уравнения (4.2). (Заметим, что необходимо поднять в Q1/ нижний

индекс.) Для задачи 1 имеем и2 = 0, а и1 и и3 не зависят от Ѳ. Кроме того, Л 2=0, а тогда из (4.3)следует,что Л10= —М 9.Поэтому возмущен­

188 К. СЕНСЕНИГ

Чтобы получить возмущенные граничные условия, достаточно поста­

(4.1)—(4.5). Тем не менее, чтобы не загромождать формул, мы не будем этого делать в оставшейся части работы. Используя те же соотношения, что и при выводе уравнений (4.4) и (4.5), получим возмущенные крае­ вые условия для задачи 1: