книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

130 Г. Б. К Е Л Л Е Р

тате слагаемое, связанное с сопротивлением, изменится и примет вид

ные решения и > 0 (т. е. температура в результате пропускания тока возрастает) и что сопротивление не должно обращаться в нуль,

когда и = 0, т. е. / (х, 0) = R (х , Т0) > 0.

Не составляет дополнительной трудности включить в наше иссле­

где X = (хІУ х2, . . ., хт), а L — равномерно эллиптический самосо­ пряженный дифференциальный оператор второго порядка

т

рывными на dD\ на самом деле мы требуем, чтобы а (х) == 1, ß (х) = О на dDlt где dDt + dD2 = dD и мера множества dD{ положительна. Граница предполагается настолько гладкой, чтобы выполнялся силь­ ный принцип максимума для L на D (см. [3]).

В§ 2 мы устанавливаем необходимые и достаточные условия существования положительных решений некоторых линейных задач, включающих L и В. Это приводит к лемме о положительности, которая является основой для всех последующих результатов.

В§ 3 мы исследуем нелинейную краевую задачу (1.3), (1.6) при

довольно слабых условиях монотонности на / (х, и). Множество А,)*

*) Ниже фактически использовано предположение, что ß (х) ф 0 на dDs.—

Прим. ред.

состоящее из тех значений Я, для которых положительные решения существуют, полностью характеризуется посредством итерационного процесса, который приводит к наименьшему или минимальному поло­ жительному решению, когда он сходится. При помощи теоремы срав­ нения мы показываем, что Л есть интервал и что минимальное решение есть возрастающая функция от Я. Мы получаем оценки сверху и снизу для точной верхней границы Я* множества Л.

вогнутых нелинейностей показано, что Л открыто, и определен его верхний предел Я*. Кроме того, для некоторого класса нелинейностей, который включает вогнутые нелинейности, показано, что положи­ тельное решение единственно. Эти результаты резко отличаются от тех, которые имеют место в специальных случаях выпуклых f (х, и), для которых, как известно, может иметь место неединственность,

амножество Л замкнуто сверху.

В§ 5 мы строим другую итерационную схему для вогнутых нели­ нейностей, которая монотонно сходится к единственному решению сверху в отличие от вышеупомянутого итерационного процесса, кото­

рый сходится к решению снизу.

Наконец, в § 6 мы изучаем устойчивость положительных реше­ ний, когда они рассматриваются как стационарные состояния соот­ ветствующих нестационарных (параболических) задач.

Мы показываем, что для 0 < X < Я* минимальные решения всегда устойчивы и что для выпуклой f они более устойчивы, чем любые другие положительные решения. Кроме того, когда X возрастает, относительная устойчивость этих минимальных решений возрастает, если / вогнутая, и убывает, если / выпуклая.

2. Лемма о положительных операторах

Легко показать, что оператор L, определенный соотношениями (1.4)—(1.5) при однородных граничных условиях Дирихле, положи­ телен. Это означает, что если функция ср (х) дважды непрерывно диф­ ференцируема и удовлетворяет неравенству Lq>(x) ^ О, ф 0 в D и ср(х) = 0 на ÖD, то ф (х) > 0 в D. Этот результат является след­ ствием принципа максимума для эллиптических операторов [3]. (Заметим, что в (1.4) стоит знак минус.) Однако нам потребуется сле­ дующий несколько более точный и общий результат:

9*

Чтобы доказать положительность минимизирующей функции ф (х), допустим, что она, напротив, отрицательна где-то в D. Тогда определим допустимую функцию ф (х), полагая

Ф (*) = I ф (х) |.

Замена ф на ф не влияет на квадратичные члены в / [ф], но, оче­ видно, уменьшает вклад от слагаемого, содержащего р (х). Это проти­

решение задачи (2.3), и пусть ф4 (х) — собственная функция задачи (2.2), соответствующая собственному значению р*. Хорошо известно, что ф4 (х) Ф 0 в D. Теперь образуем выражение фДф — фТфь проин­ тегрируем его по области D и получим при помощи интегрирования по частям с использованием соотношений (2.2) и (2.3), которым удов­ летворяют ф4 (х) и ф (х), следующее равенство:

(pt — Я) ^ р (х) ф (х) фі (х) dx= j р (х) ф! (х) dx.

Нам потребуется также несколько иная форма леммы о положи­ тельности:

С л а б а я ф о р м а л е м м ы о п о л о ж и т е л ь н о с т и .

Пусть р (х) — положительная и непрерывная функция в D, а ф (х) дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет соотношениям

Іф — Хр (х)ф > 0, х 6 £>,

Доказательство этой леммы легко получить из доказательства леммы о положительности, поэтому мы опустим его.

*) Действительно, д \! д х \ > 0 ввиду положительной определенности матри­

цы (д2(рІдХідхф. Поворотом осей матрицу (ац) можно привести к виду (Хф^), Xt > 0. Теперь очевидно, что левая часть неравенства неположительна.— Прим,

ред.

в Л, то эта последовательность сходится равномерно и ее предел lim ип (X; х) — и (X; х)

П -+ с о

есть минимальное положительное решение задачи (3.1); это означает, что и х) > 0 и и (X; х) ^ и (/.; х) в D для любого положительного

решения и (X; х).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала покажем при помощи индукции, что последовательность, определенная соотношениями (3.2), моно­

Ьщ (х) — Xf0 (х) > 0 в D,

Ви± = 0 на dD.

Отсюда, по лемме о положительности, следует, что иЛ(х) > 0 в D. Предположим, что монотонность установлена для всех п ^ ѵ. Тогда по условию Н2 и предположению индукции имеем

и их предел, скажем и (X, х), есть положительная в D функция, кото­ рая также равномерно ограничена, т. е. и {Х\ х) ^ М в D для неко­ торого положительного числа М. Воспользуемся теперь функцией Грина G0 (х, £) для оператора L в D с краевым условием BG0 = 0 для X 6 dD и запишем итерационную схему (3.2) в эквивалентной форме

Теперь, применяя теорему Лебега об ограниченной сходимости для интегралов Римана, заключаем, что в (3.3) можно перейти к пре­ делу под знаком интеграла. В результате получаем

u(X;x) = X ^ G o ( x , l ) f ( l u ( X ; l ) ) d l .

D

*

Теперь уже нетрудно доказать, что Л есть интервал и что мини­ мальное положительное решение возрастает вместе с X. Сформулируем эти результаты как

С л е д с т в и е 3.3.1. Пусть f (х, <р) удовлетворяет условиям НО—Н2 и Г > 0 содержится в А. Тогда интервал 0 < л V содер­ жится в А и и (X; х) есть возрастающая функция от К на А для каж­

дого X 6 D.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любого фиксированного X из откры­ того интервала 0 < X < X' положим

Тогда для этого значения X условия теоремы 3.3 выполняются, если положить V (X; х) == и (X'; х). Значит, X содержится в Л. Из этой

теоремы следует также, что

и (X; х )^ .и (X'; х).

Но тогда, используя Н2, выводим

L \и (X'; X) — и (X; х)] = X'/ (х , и (X'; х) — X/ (х, и (X; х)) >

> (X' — X) / (л:, и (X; х)) > 0 в D.

Разумеется, при этом В [и (X'; х) — и (X; х)] = 0 на dD, и поэтому, согласно лемме о положительности, и (X'; х) > и (X; а:) в D. Ясно, что это имеет место для любых двух значений X' > X из Л.

Из доказанной выше теоремы следуют также некоторые выводы

оразмерах множества Л.

Сл е д с т в и е 3.3.2. Пусть / (х, ф) удовлетворяет условиям НО—Н2 и, кроме того, для некоторой положительной функции F (х)

вD

f (х, ф ) < F (х) при ф > 0.

Тогда любое X > 0 содержится в А и, таким образом, X* = оо.

До к а з а т е л ь с т в о . Если взять функцию F (х) вместо F (х, ѵ)

взадаче (3.4), то можно утверждать, что для всех X > 0 существует

положительное решение, а именно

D

Тогда положительного решения задачи (3.1) не существует ни для ■какого X из интервала 0 < X <z (л4 {р}, где {р} — главное собствен­ ное значение задачи (2 .2).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, напротив, что сущест­ вует положительное решение и задачи (3.1) при некотором X из интер­ вала 0 < X < р! {р}. Для этого решения В и = 0 на dD и

Lu — Хр (х) и = X [/ (х, и) — р {х) и] < 0 в D.

4. Вогнутые и выпуклые нелинейности В этом параграфе мы требуем, чтобы / (х, и) удовлетворяла сле­

теорема об ограниченной сходимости позволяет, после перехода к пре­ делу, утверждать, что и (X-, х) — тоже положительное решение зада­

чи (3.1). Но, очевидно, и (Я; х )< ц (X-, х), и, так как и (Х\ х) есть минимальное положительное решение, мы заключаем, что и (Яѵ; х) -> -*■ и (X; х).

1) На ошибку в первоначальной формулировке этой теоремы, в которой неправильно утверждалось, что X < щ (Я), указал д-р Т. Лэтч, которому при­ надлежит настоящее доказательство.