книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

решения существуют только при т = 1 и п Ф 0. Условие существова­ ния ненулевого решения имеет вид

* в - гХ = — г„.

Здесь / 0 и / і — модифицированные функции Бесселя первого рода.

Снова над величинами а, Ь, е, 6, фигурирующими в (6.5), (6.6), нужно

о

было бы написать кружочек. Обозначим через 8П величину б, опреде-

XI. Н Е К О Т О Р Ы Е З А Д А ЧИ О В Ы П У Ч И В А Н И И Т Е О Р И И УПР УГ ОСТИ I9 3

ляемую уравнением (6.4), которое можно решить относительно —6П

численно. На рис. 4 дан график —ö„ в зависимости от (— Для

ряда значений а. Прямолинейный график служит графиком —6„,

построенным в соответствии с обычной теорией тонких колонн. Вели­ чина —6П из теории тонких колонн не зависит от о. Соответствую­ щая прямая касается в начале координат кривой, получаемой на основе точной теории, при каждом значении а.

7. Заключение

Приведенные здесь результаты частично основываются на статье [7]. Другие статьи, посвященные точной теории подобных задач, перечис­ лены в литературе.

ЛИТЕРАТУРА

[1]Biot М. A., Exact theory of buckling of a thick slab, Appl. Sei. Res., 12, Section A (1963), 183—198.

[2]John F., Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic

type, Comm. Pure Appl. Math., 13 (1960), 230—296.

[3]Lubkin S., Determination of buckling criteria by minimization of total ener­ gy, N.Y.U., CIMS, Res. Rep. IMM-NYU, 1957, pp. 241.

[4]Lur’e A. I., Bifurcation of equilibrium of a perfectly elastic body, Jour. Appl. Math. Mech., 30 (1966), 855—869.

[5]Read H. E., On the stability of equilibrium of thick and thick-walled isotro­ pic elastic solids, Ph. D. Thesis, University of Delaware, 1964.

[6]Sensenig С. B., The buckling of a thick circular plate using a non-linear theory, N.Y.U., CIMS, Res. Rep. IMM-NYU., 1959, pp. 262.

[7]Sensenig С. B., Instability of thick elastic solids, Comm. Pure Appl. Math.,

ІЮ*]Савин Г. Н., Койфман Ю- И., Общая нелинейная теория упругости, При­ кладная механика, 6, № 12 (1970).

[ 11*]Лурье А. И., Теория упругости для полулинейного материала, ПММ, 32, № 6 (1968).

13 0 1 2 8 5

Поэтому мы поставим следующие вопросы:

(i)Существует ли простая форма определяющих уравнений, кото­ рая приводит к задачам, интегрируемым в квадратурах?

(ii)Существуют ли определяющие уравнения, которые можно было бы рассматривать как естественный аналог уравнений трехмер­ ной нелинейной теории упругости?

Как показано в [1] и [2], ответ на эти вопросы утвердительный. В самом деле, одни и те же уравнения дают ответ на оба вопроса (і), (іі). Если т — длина дуги недеформированного стержня, s (т) — длина дуги деформированного стержня, Ф (т) — угол наклона каса­ тельной к недеформированному стержню и <р (т) — угол наклона касательной к деформированному стержню, то эти определяющие уравнения имеют вид

Здесь штрих означает дифференцирование по т.

Величина б называется растяжением, ар, — изгибом. Мы видим, что при равномерном растяжении дуги окружности в дугу окружно­ сти другого радиуса величина k — К изменяется, но р остается рав­ ной нулю. Следовательно, мера деформации р характеризует эффект изгиба.

Чтобы обеспечить физически приемлемое поведение, предположим, что момент М — монотонно возрастающая функция от р при фикси­ рованном б, что N — монотонно возрастающая функция от б при фиксированном р, а соотношения (1.3) обратимы, так что можно опре­ делить р и б как функции от М и N. Эти свойства заведомо имеют место, если гессиан

для энергии деформации W положительно определен.

Можно показать [1], что (1.1) и (1.2) обеспечивают хорошую аппрок­ симацию уравнений вида (1.3), когда растяжение мало.2

2. Формулировка основных уравнений

Уравнения равновесия можно получить из рис. 2, где изображено равновесие сил, действующих на выделенный элемент стержня. Здесь через Q обозначена результирующая срезающая сила, а через q — нормальная нагрузка.

Мы предполагаем, что к телу не приложено ни касательной нагруз­ ки, ни распределенного момента. Если исключить Q из получающихся трех уравнений равновесия и написать оставшиеся два уравнения

13*

Знаменатель правой части (3.11) не обращается в нуль ввиду поло­ жительной определенности гессиана W. Если из уравнения (3.6) выразить б как функцию от р, что возможно, если выполняется (3.8),

который дает неявное уравнение для р как функции от т. Если эта функция известна, то можно найти б из (3.6), а затем получить ф (т), X (т), у (т) дальнейшими интегрированиями.

В случае когда условие (3.8) нарушается, можно предположить, что числитель в (3.9) не обращается в нуль. Тогда мы можем проделать аналогичные операции, которые приводят к следующему уравнению для б в фазовой плоскости:

Правая часть этого уравнения теперь рассматривается как функ­ ция от б.

В следующем параграфе будет показано, каким образом наличие уравнений вида (3.11) или (3.13) дает нам возможность получить важные качественные выводы для типичной граничной задачи.

4. Пример

Положим W = Е Іу 2/2 + ЕАЬ2!2, где Е І и ЕА — заданные постоян­ ные. Тогда определяющие уравнения линейны относительно дефор­

образует (4.2) в уравнение, которое можно проинтегрировать при помощи эллиптических интегралов Вейерштрасса, но этот факт не помо­ гает, по-видимому, ни вычислениям, ни физической интерпретации. Поэтому дальше мы займемся изучением одной частной краевой задачи с применением методики, допускающей непосредственное обобщение. Разберем задачу, соответствующую рис. 1. Пусть 2а — угол, на кото­ рый опирается недеформированная дуга, причем —а/К ^ т ^ а/К- Концы стержня шарнирно закреплены, так что в них отсутствует момент; следовательно, имеем граничные условия

М (±а/К ) = 0.

Кроме того, мы имеем геометрическое условие неподвижности концов. Это дает условия

X ( а ! К) — X (—a l l С) = 2sin а ! К,

(4.4)

у ( а ! К) - у ( - а ! К) = 0.

С применением (2.5) условия (4.4) можно записать в виде некоторых интегральных выражений от <р.

Вводя новые безразмерные переменные

I = (р + К)а/К, t = Кх!а, ß2 = КЧ /а2А

(4.5)

р = a3q!K)3EI,

Здесь у2 и а0 — произвольные постоянные. Из (4.6) и (4.8) мы видим, что растяжение при t = ±1 одинаково; обозначая его через 80, из (4.6)

Первоначальная система дифференциальных уравнений, соответ­ ствующая (2.1)—(2.5), допускает постоянные решения. Однако при помощи этих уравнений можно легко показать, что постоянное реше­ ние £ = а, удовлетворяющее (4.8), тривиально, так как оно может удовлетворять остальным граничным условиям (4.4) только при

^5 = 0 и р = 0.

(Для некоторых других типов граничных условий тем не менее существуют нетривиальные постоянные решения.)

Теперь изучим функцию h (£), определенную в (4.7), чтобы выяс­ нить ограничения, налагаемые граничными условиями (4.8) на при­

Тогда из уравнения (4.7) следует, что для нетривиальных решений h (а) > 0. Кроме того, формула (4.7) показывает, что h (£) имеет нули при £ = rfcy/ß. Далее, так как £ должна иметь одно и то же значение а на обоих концах стержня, из теоремы Ролля вытекает, что сущест­ вует значение t = Т в открытом интервале (—1, 1), для которого d£/dt = 0, но ö ? X J d t 0. (Если бы здесь d%!dt2 = 0, то из теоремы единственности для уравнения второго порядка, соответствующего (2.1), следовало бы, что решение тривиально.) Если условие 1 + 8 > 0 не нарушается, то эти условия означают, что h (£) имеет простой нуль в £ (Т), причем | £ (Т) | < y/ß. Если £t — наибольший нуль функции h (£), меньший а, в котором h (£) меняет знак, а £2 — наименьший нуль h (£), больший а, в котором h (£) меняет знак, то по крайней мере один из нулей £ь £2 находится в открытом интервале (—y/ß, y/ß) оси £ и h (£) ведет себя, как показано на рис. 3.

Когда h (£) имеет такой вид, качественная природа решения £ (^)

хорошо известна (например, из анализа в фазовой плоскости). В част­ ію

ности, функция £ (t) периодическая с полупериодом ы = \ /i(£)_1/2d£,

V

U