книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

VI I. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У Ч А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й ] 2 3

Результат Вельте был почти одновременно обобщен Юдовичем [91 *). Ниже результаты Юдовича обсуждаются с точки зрения теоремы 14.2.

Чтобы применить к рассматриваемому случаю теорему 14.2, дока­ жем следующие факты.

(i)Разность между возможным устойчивым вторичным течением

итечением Куэтта удовлетворяет нелинейной эллиптической задаче того типа, который рассматривался в § 7. Собственным значением

здесь является число Рейнольдса R, определяющееся угловыми ско­ ростями вращающихся цилиндров.

(ii)Соответствующее операторное уравнение имеет вид

и= X (Lu + Qu),

где L — линейный несамосопряженный компактный оператор, отобра­ жающий действительное гильбертово пространство Я в себя, а Q — компактный однородный квадратичный оператор, также отображаю­ щий Я в себя.

(ііі) Линеаризованную задачу и = КЬи можно свести к линейному интегральному уравнению с осцилляционным ядром (о таких уравне­ ниях речь шла в самом конце § 6).

(іѵ) По теореме 6.3 Крейна соответствующие собственные значе­ ния Кп этого интегрального уравнения действительные и простые.

(ѵ) Так как единица — нечетное число, применима теорема 14.2 и можно доказать существование счетного множества различных устойчивых движений, ответвляющихся от течения Куэтта при раз­ личных числах Рейнольдса.

Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости между вра­ щающимися концентрическими цилиндрами. Это течение описывается уравнениями Навье — Стокса и уравнением неразрывности, опреде­ ляющими вектор скорости ѵ' и давление р '. Перейдем к цилиндриче­ ским координатам (г, Ѳ, z), в которых ѵ' имеет компоненты (u', v' , w'). Уравнения рассматриваются в области G между цилиндрами г = /у и г = г2, г4 < гг. Угловые скорости внутреннего и внешнего цилиндров обозначим через чц и оі2Граничные условия заключаются в том, что скорости жидкости вблизи жестких вращающихся границ равны скоростям границ.

Решением этих уравнений, удовлетворяющим граничным усло­

и к — некоторая постоянная.

х) См. также [11], [12].— Прим, перев.

Чтобы изучить бифуркацию решений, соответствующую течению Куэтта, положим

ѵ' = V + Vо, р' = Я~гр + р0.

Здесь V = (и, V, w ) , а R — число Рейнольдса. Мы хотим, чтобы

Z

Рис. 1.

ответвляющиеся решения обладали экспериментально наблюдаемыми свойствами вихрей Тейлора. Поэтому мы предполагаем, что

(i)поток осесимметричный и устойчивый,

(ii)поток имеет период 2 я /а 0 по г,

(iii)перенос массы в направлении z отсутствует,

(іѵ) координаты можно выбрать так, чтобы и и ѵ были четными функциями г, а w — нечетной функцией z (см. рис. 1).

Эти условия математически можно выразить в следующем виде:

и (Г, z) = u(r, —2),

ѵ(г, z) = ü(r, —2),

w (r, z) = — w (r, —z) ■

Получаем следующую краевую задачу относительно ѵ и р:

(15.1)

Дш— pz= R [uwT+ vüwz\,

тельность функций и (г) и g (г) в (15.7), и потому ядра, соответству­ ющие Gj и G2, осцилляционные. Исключение счетного множества

а 0 гарантирует, что ни одно собственное значение вида

не является кратным. Поэтому для доказательства первой части теоремы о бифуркации можно непосредственно применить теорему 14.2. Чтобы доказать вторую часть, заметим, что функция Rt (а) непре­ рывна по а при а 6 (0, оо). Тогда можно показать, что (а)-»- оо при а ->-0 или сю. Например, чтобы показать, что Ri (а)-»- оо при

а -V 0 , отметим, что, согласно изложенному выше, Ri (а) == Км-і (а)/сь и функция рц (а) непрерывна на всей действительной оси, причем.

в статьях М. Бергера, обратим внимание на исследования И. И. Воровича. Им последовательно разработана полная математическая теория краевых задач, для уравнений Кармана и их обобщений на случай оболочек (теория Власова — Маргера) [13], [14]. Теоремы разрешимости установлены на основе топологи­ ческого инварианта степени отображения. Им же впервые исследована связь между ветвлением решений в нелинейной теории оболочек и собственными значениями соответствующих линеаризованных задач [15], [16]. Как частный случай, из результатов И. И. Воровича [15], [16] вытекают утверждения (і) — (ііі) и (ѵ) — (іх) теоремы 11.2 и утверждения теорем 13.1 и 13.2. В [15] — [17): приведены также результаты применения теории Люстерника — Шнирельмана к исследованию послекритического поведения пластин, близкие к имеющимся в статье М. Бергера. Подробное изложение некоторых результатов И. И. Воро­ вича можно найти в [16], [17]. В связи с теорией собственных значений для нели­ нейных операторных уравнений с симметрией следует отметить также осново­ полагающие работы Л. А. Люстерника, М. А. Красносельского и Л. И. Фета

[18] - [22].

ЛИТЕРАТУРА

[1]Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интег­ ральных уравнений, Гостехиздат, М., 1956.

[2]Reiss Е., Bifurcation buckling on spherical caps, Comm. Pure Appl. Math 18 (1965), 65—82.

[3]Berger M., A new bifurcation theory for a class of nonlinear elliptic partial differential equations (готовится к печати).

[4]Berger M., An application of the calculus of variations in the large to the-

equations of nonlinear elasticity, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 520—525. [5] Лере Ж., Шаудер Ю., Топология и функциональные уравнения, УМН,.

1,3 —4.(1946).

[6]Schwartz J. Т., Lectures on nonlinear functional analysis, New York Uni­ versity Lecture Notes.

[7]Cole D., Transition in circular Couette-flow, J. Fluid Mechanics, 21 (1965),. 385—425.

[8]Veite W., Stabilität und Verzweigung stationärer Lösungen der Navier-Sto- kesschen Gleichungen beim Taylorproblem, Arch. Rat. Meeh. Anal., 22

(1966), 1 —14.

V I I I

НЕКОТОРЫЕ ПОЗИТОННЫЕ ЗАДАЧИ, ВЫДВИГАЕМЫЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИЕЙ ГЕНЕРАЦИИ ТЕПЛА

Г. Б. Келлер г)

1.Введение

Внастоящее время большой интерес представляют краевые задачи, содержащие положительные линейные дифференциальные операторы и монотонные функции зависимой переменной (см., например, Красно­ сельский Ш и Шефер [2]). Мы назовем такие задачи «позитонными» (от слов «позитивный», т. е. положительный, и «монотонный») и изучим здесь некоторый частный их класс.

Одна из физических постановок, приводящих к задачам рассматри­ ваемого типа, связана с распределением температуры в теле при про­

пускании через него постоянного электрического тока і = ]/Т (джоулев подогрев). Если тело неоднородно и имеет теплопроводность К (х), если его электрическое сопротивление R (х, Т) есть функция темпе­ ратуры Т (.X, t) и если излучением можно пренебречь, то соответ­ ствующая задача в безразмерной форме приводит к уравнению

В частности, мы интересуемся стационарными состояниями, их «устой­ чивостью» и зависимостью от тока К. Эго приводит к задаче вида

вместе с соответствующими граничными условиями. Во многих слу­ чаях, представляющих физический интерес, R (х, Т) — монотонная функция от Т (т. е. сопротивление возрастает вместе с температурой) и только положительные решения имеют физический смысл. Известно, что в ряде таких случаев существует предельный ток, выше которого положительных стационарных состояний не существует. Величина этого предельного тока представляет большой интерес.

Граничные условия будут всегда предполагаться однородными. Если в физической задаче это не выполняется, например, если Т на границе есть заданная функция, то мы находим решение Т0 (х) стационарной задачи с нулевым током К = 0. Затем мы вычитаем его из интересующего нас состояния Т (х) и приходим к задаче с одно­ родными граничными условиями для разности и з= Т — Т0. В резуль-)*

*) Эта лекция основывается на статье Г. Б. Келлера и Коэна [10]; § 5 осно­ вывается на статье Коэна [11].

Я — 0 1 2 8 5