книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения
..pdf50 И. ТАДЖБАХШ
условиям (2.7), которые мы запишем в виде
2 Я |
|
j віѲ(«)* = 0. |
(2.21) |
о |
|
Из (2.1), (2.3) и (2.16) имеем |
|
Ѳ(s) = s + Ф (s), |
(2.22) |
где |
|
S |
|
1>(s)= j o f ö d l . |
(2.23) |
о |
|
Так как v — четная периодическая функция с периодом 2пІп и сред нее по ее периоду (согласно (2.20)) равно нулю, то ф нечетна и имеет тот же период. Следовательно, q = также периодична с периодом 2пІп и поэтому имеет представление
|
|
СО |
|
|
q{s)= |
2 |
qmeimns. |
(2.24) |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
2л |
2я |
оо |
qmei(-1+mn'>sds. |
|
j ei0(s)c;s = |
j |
2 |
(2.25) |
|
0 |
0 m = —со |
|
|
|
Так как 1 + tnn Ф 0 при п ^ |
2, |
то условие (2.21) |
выполнено. |
|
Таким образом, наша краевая задача (2.17), (2.6), (2.7) допускает
эквивалентную формулировку (2.17), (2.19), (2.20). |
|
|
3. Бифуркация |
|
|
При доказательстве |
существованиярешений, ответвляющихся |
|
от тривиального решения |
ѵ == 0, мы будем следовать |
методике § 4 |
лекции II. Наша краевая задача имеет вид |
|
|
üss + pü = ß —-і-ц2(ц+ 3), 0 < s < ~ , |
(3.1а) |
|
|
МО) = о, |
(з.іь) |
|
o . ( J ) = 0 , |
(3.1с) |
|
я/п |
|
|
j v(s)ds~ 0. |
(3. Id) |
|
о |
|
Положим а = V (0) и с помощью формулы |
|
|
|
V = aw |
(3.2) |
I V. Ф О Р М Ы И З Г И Б А У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
51 |
введем новую зависимую переменную w. Отбрасывая условия (3.1с) и (3.Id), рассмотрим возникающую в результате задачу Коши отно сительно w.
Wss+ {ш = у — |
aw2— у a2w3, s > 0, |
(3.3а) |
||
Ws (0) |
= |
0, |
(З.ЗЬ) |
|
ш» (0) |
= |
1, |
(3.3с) |
|
где у = ß/ö. При а = 0 эта задача имеет следующее решение: |
|
|||
о»=ф(5, 11, ѵ) = |
( і — J)cos|/jxs + ^-. |
(3.4) |
||
По теореме 1 лекции II при достаточно малом а задача (3.3) имеет един ственное решение w (х, р, у, а). Среди всех таких решений мы разы скиваем те, которые удовлетворяют условиям
Ws ( £ , р, у, а) = |
у, а) = |
0, |
(3.5) |
я/п |
|
|
|
[ w (s, р, у, а) ds = |
b2(р, у, а) = |
0. |
(3.6) |
о; |
|
|
|
Для доказательства существования ответвляющихся решений нужно показать, что при а Ф 0 параметры р и у могут быть выбраны так, чтобы были выполнены равенства (3.5) и (3.6).
При а = 0 решение (3.4) удовлетворяет условиям (3.5) и (3.6), когда
р = п \ |
у = 0. |
(3.7) |
Если при а = 0 якобиан J — |
^ отличен от |
нуля, то по теореме |
о неявной функции система (3.5), (3.6) в окрестности а = 0 имеет реше ние р = р (а), у = у (а). Проверим это условие:
я/п |
|
|
|
Е» у) j Фѵ(5, |
(1 , у) ds — |
|
|
о |
|
|
|
|
я/п |
|
|
■фвѵ ( т ' Ѵ ' У ) |
J фц(«. ^ т ) ^ ] | ѵ=о = § £ # о . |
(3.8) |
|
Поэтому точки |
О |
ц=«2 |
|
|
|
|
|
р = п2 — 1, п = |
2, 3, . . |
(3.9) |
|
4*
52 |
И. Т А Д Ж Б А Х Ш |
являются точками бифуркации. Согласно теории аналитических воз мущений, находим, что
V — а cos ns + а2 (cos 2ns — cos ns) + о (а2), |
(ЗЛО) |
|
р = (л2- 1) + |
( 1 - - L ) + о (а2). |
(ЗЛ1) |
Следовательно, при малых а характеристическая кривая р как функ ция от а имеет вид, изображенный на рис. 2.
4. Предварительные сведения из функционального анализа
В предыдущем параграфе для р, близких к критическим значениям я2 — 1, я = 2, 3, . . ., было доказано существование решений с малой нормой. Для доказательства существования нетривиальных решений при р > 3 и существования решений с произвольной нормой мы используем методы функционального анализа. В этом параграфе рассматриваются понятия, необходимые для дальнейшей работы. Доказательства сформулированных теорем можно найти в [3] и [4].
Введем пространство Соболева |
(а, Ь), являющееся гильберто |
|
вым пространством со скалярным произведением |
|
|
ь |
|
|
(X, у) = j |
(.ху + xsys) ds |
(4.1) |
а |
|
|
и нормой |
|
|
Ь |
|
|
Il*ll = [ j ( ^ - M f ) < f r ] 1/2, |
’(4.2) |
|
а |
|
|
где производные понимаются в смысле теории распределений. Прост ранство (а, Ь) является пополнением по норме (4.2) множества дифференцируемых функций, производные которых принадлежат
IV. Ф О Р М Ы И З Г И Б А |
У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
53 |
|
|
|
ь |
|
L2 (а, Ь). Норма || х |[ |
эквивалентна норме [ R * ] 1/2 т. |
е. сущест- |
|
вуют положительные постоянные т, М , такие, что |
|
||
|
ь |
|
|
т ||* ||2< j х\ d s ^ M IIX II2. |
(4.3) |
||
|
а |
|
{хп} эле |
О п р е д е л е н и е . |
Говорят, |
что последовательность |
|
ментов гильбертова пространства Н слабо сходится к пределу х ( Я,
если (хп, у) |
(х, у) для всех у £ П. Обозначение слабой сходимости: |
W |
|
О п р е д е л е н и е . Множество Е в гильбертовом пространстве Н слабо замкнуто, если оно содержит все свои слабо предельные точки,
W
т. е. если из хп £ Е и хп х следует, что х £ Е.
О п р е д е л е н и е . Функционал U, определенный на гильберто вом пространстве Н, называется слабо полунепрерывным снизу в точке X £ Н, если для любой последовательности {х п }, слабо сходящейся к х ,
U [х]<1іпГ£7 [хп\. |
,4>4) |
|
П -> о о |
' |
' |
Те о р е м а А. Если на ограниченном слабо замкнутом множестве
Егильбертова пространства функционал U слабо полунепрерывен
снизу, то он достигает на Е своего минимума.
Т е о р е м а В. Функционал |
ь |
х\ ds в пространстве |
(а%Ь) |
j |
|||
слабо полунепрерывен снизу. |
а |
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е . Пусть |
X |
и Y — два банаховых |
простран |
ства. Говорят, что X вложено в Y, если 1) каждый элемент х 6 X являет ся также элементом Y, 2) каждая сильно сходящаяся в X последова тельность сильно сходится' в Y. Вложение X в У компактно, если
компактен оператор вложения i: X |
Y, определенный равенством |
і {х) = X. |
|
Т е о р е м а С (частный случай теоремы вложения С. Л. Соболева).
Еильбертово пространство W[X) (а, Ь) может быть компактно вложе но в банахово пространство С [а, Ь] непрерывных функций (имеющих норму максимум модуля). При этом для всех х £ W[l) (а, Ь)
max\х |^ co n st-1| х ||. |
(4.5) |
[а, 6] |
|
Т е о р е м а D. Если гильбертово пространство Н |
компактно |
W |
|
вложено в некоторое банахово пространство В и хп -> х в Н, то хп-> -V X в В.
54 |
И. Т А Д Ж Б А Х Ш |
5. Существование состояний изгиба для р > 3
В этом параграфе мы показываем, что для р > 3 (наименьшей изги бающей нагрузки) существует нетривиальная гладкая функция Ѳ (s), на которой функционал потенциальной энергии V [Ѳ] достигает абсо лютного минимума.
Введем новую зависимую переменную
тогда V принимает вид |
ф (s) |
= Ѳ (s) — s; |
|
(5.1) |
Ѵ = Ѵ і + Ѵ2, |
|
(5.2) |
||
где |
|
|||
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
2я s |
о ^ 2sds’ |
|
(5‘3) |
|
|
|
|
||
ѴгШ = \ р [ |
j sin[гф(s) — 4>(g) + |
s — l\d ld s . |
(5.4) |
|
b |
о |
|
|
|
Функция ф удовлетворяет граничным условиям |
|
|||
и связям |
ф (0) = |
ф (2я) = 0 |
|
(5.5) |
|
2я |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
j cos [ф (s) + s] ds = |
j sin [ф (s) + |
s] ds = 0. |
(5.6) |
|
о |
|
0 |
|
|
Докажем теперь существование функции, минимизирующей функ ционал потенциальной энергии V. Для этого с помощью ряда лемм проверим выполнение условий теоремы А.
Пусть 5 — гильбертово пространство, состоящее из элементов пространства ^(^(О, 2я), удовлетворяющих граничным условиям (5.5).
Л е м м а 1. V [ф] оо при || ф || -»- оо.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Это утверждение является непосредст венным следствием (5.3) и (4.4).
Поэтому достаточно рассматривать функционал V, определенный на ограниченных подмножествах пространства S.
Пусть Е — множество элементов 5, удовлетворяющих условиям (5.6). (Легко показать, что Е содержит достаточно много элементов.
Ср. (2.21).)
Л е м м а 2. Множество Е слабо замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть последовательность Ѳ„ == ф„ + s
W
удовлетворяет (5.6) и Ѳ„ ->• Ѳ. Мы должны показать, что предельный
IV. |
Ф О Р М Ы |
И З Г И Б А У П Р У Г И Х |
К О Л Е Ц |
55 |
элемент Ѳ удовлетворяет условиям (5.6). В силу теоремы D |
|
|||
2я |
2я |
|
|
|
j j [cos Ѳ— cos ѲДds |
= 2 I j |
sin —(Ѳ + Ѳ„) sin у (Ѳ — Ѳ„) ds < |
|
|
|
2я |
|
2я |
|
< 2 J |sin-g-(0-0„) |
j \ B - Q n \ d s ^ 0 . |
(5.7) |
||
Следовательно, |
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j cos0ds = O. |
|
(5.8) |
Аналогично доказывается, что Ѳудовлетворяет второму условию (5.6).
Л е м м а 3. Функционал V слабо полунепрерывен снизу на S.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме В, Vj слабо полунепре-
W
рывен снизу. Докажем слабую полунепрерывность Ѵ2. Пусть г[з„ я|п Тогда по теореме D
2я s |
|
|
|
dlds^. |
|
|^ 2(^n) — УаСЧОКІРІ j |
J I №>»(*) — Ф (s) + |
(S) — |
|||
0 |
u |
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
PI j { 1 (s)—T(s)I + |
j |
№»(£) — '!> (£)!<£ } ds = |
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
= (2я + |
1) |
I p I j |
|і|зп (s) — ф (s) I ds -*■0, (5.9) |
|
что и требовалось доказать.
Леммы 1—3 гарантируют выполнение условий теоремы А. Тем самым доказана
Т е о р е м а 1. Пусть Е — подмножество элементов йДО (0, 2я), удовлетворяющих условиям (5.5) и (5.6). Тогда существует элемент г[>* 6 Е, на котором функционал V достигает на Е абсолютного мини мума.
Установив существование г|)*, обратимся к вопросам регулярности. Непосредственным следствием теорем С и D является следующий результат:
Т е о р е м а 2. Минимизирующая функцияі[з* из теоремы 1 непре рывна на [0, 2я].
Гладкость г|э* вытекает из следующей теоремы о регулярности:
Т е о р е м а 3. |
г)з* 6 С2 (0, 2я) и является классическим решением |
уравнения Эйлера |
(2.13) с дополнительными условиями (2.6) и (2.7). |
56 |
И. Т А Д Ж Б А Х Ш |
Доказательство этой теоремы существенно зависит от теоремы 2 и того факта, что вторая производная по фв подинтегральной функции V Іф] положительна (т. е. V удовлетворяет усиленному условию Лежандра). Подробности доказательства мы опускаем; см. [5, стр. 139].
Из (2.13) следует тогда, чтоф* £ С [0, 2я] и является классическим решением задачи (2.15), (2.6) и (2.7).
Т е о р е м а 4. Для р > 3 (наименьшая изгибающая нагрузка) «предпочтительное» решение ф* нетривиально.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что для р > 3 решение ф =э О не доставляет функционалу V даже локального минимума и, следова тельно, не может быть равно ф*. Для этого исследуем вторую вариа цию V. Из (2.12) получаем
2л
V |ц,=о = j [ — Ѳ(s) èss (s) — pè2 (s) (1 — cos s) -f 0
|
|
|
S |
|
|
|
|
+ pé (s) j sin (S-1)Q (t) cViJds. |
(5.10) |
||
|
|
|
0 |
|
|
Вариация é(s) должна удовлетворять условиям (2.11) и |
|
|
|||
2л |
|
2я |
|
|
|
j |
è2 (s) sin sds — j |
è2 (s)cossds—0. |
|
(5-11) |
|
о |
|
|
0 |
|
|
Запишем (5.10) в виде |
|
|
|
|
|
где |
V‘k s 0 = (Ѳ, [ Â ~ p + pG]b), |
|
(5.12) |
||
|
|
|
|
|
|
AZ |
• |
S |
• |
• |
|
|
(5.13) |
||||
Л = |
G0= J *m($-l)Q{l)d£ = {I - A) - 'Q . |
||||
о
Если выбрать в качестве Ѳ вторую собственную функцию оператора Л,
то условия (2.11) и (5.11) выполняются, и поэтому é является допу стимой вариацией. Тогда при всех р > 3
К Ы о = (ѳ, [ 4 - p - f ] è ) < 0 |
(5.14) |
и теорема доказана.
Другой метод доказательства этой теоремы позволил бы обнару жить функцию ф, удовлетворяющую (5.5) и (5.6), при которой И ста новится отрицательным.
Полностью используя этот метод слабой сходимости, можно пока зать, что существуют решения с произвольными значениями нормы. Такой результат будет сформулирован и получен в следующем пара графе.
IV. Ф О Р М Ы И З Г И Б А У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
57 |
6. Существование решений с произвольной нормой
Легко видеть, что краевая задача (2.17), (2.19), (2.20) является уравнением Эйлера для функционала
U[v] = Ui[v] + U2\v], |
(6.1a) |
||
где |
|
л/п |
|
|
|
|
|
|
= ~ |
j vlds, |
(6.1b) |
|
л/п |
0 |
|
|
|
|
|
я 2[ и ] = —у |
j |
[ö3 + Jp>4]ds, |
(бЛс) |
подчиненного связям |
0 |
|
|
|
|
|
|
л/п |
|
|
|
j |
vds=0, |
(6.2) |
|
0 |
|
|
|
л/п |
|
|
|
j v2 ds = R (const), |
(6.3) |
||
о |
|
|
|
ÖS (0) = vs (n/n). |
(6.4) |
||
Пусть Я — гильбертово пространство, состоящее из тех элементов
V 6 W7!,1’ (0, itIn), которые удовлетворяют (6.2) и (6.4) .f
Докажем существование решения краевой задачи (2Л7), (2.19), (2.20). Для этого покажем, что существует гладкая функция ѵ*, мини мизирующая функционал U и удовлетворяющая условиям (6.2)—(6.4). С этой целью снова используем теорему А. Теорема существования будет получена с помощью ряда лемм.
Пусть E r — множество элементов из Я, удовлетворяющих (6.3).
Л е м м а 5. U [ц] оо при || ѵ |] ->-'оо.
Д'о к а з а т е л ь с т в о . Оценим сначала Uz. Имеем
л/п л/п
vi ds^. max у2 j |
v2ds = R- max и1. |
о |
о |
Так как ѵ ортогональна постоянной, существует точка § £ (0, ліп), такая, что ѵ (Е) — 0. Поэтому, применяя неравенство Коши — Швар ца, имеем
$ |
л/п |
V2 (s) = 2
Следовательно,
л/п |
л/п |
|
|
vi d s ^ 2 R 3/2 ( j VsdsJ1/2. |
(6. 6> |
о |
о |
58 И. Т А Д Ж Б А Х Ш
Аналогично,
я/п л In л/п л,’п
j |
v3d s= j |
vv2ds^.[ j o2d s j1/2-^ |
j y4d s j1/2^ |
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
л/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< / 2 t f 5/4( j |
Olds)1/2. |
(6.7) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Тогда (для V 6 ER) || v || -> oo только в том случае, |
если Ui [о] ->- оо. |
||||||
В силу (6.6) и (6.7) при достаточно больших |
|| ѵ || |
в равенстве |
(6.1а) |
||||
функционал |
Ui [о] доминирует, над |
U2 [ѵ] и, |
следовательно, |
лемма |
|||
доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, достаточно рассматривать U на ограниченных |
||||||
подмножествах ER. |
|
|
|
|
|
||
|
Л е м м а |
6. Ограниченное подмножество Ев слабо замкнуто. |
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
W |
ѵп £ ER. Покажем, что |
|||
|
vn —>ѵу |
||||||
V удовлетворяет условию (6.3). Имеем |
|
|
|
||||
|
|
л/п |
|
л/п |
|
|
|
|
' |
{ѵ2— Vn) ds |
ш а х |
IV+ vn |• \ |
| ѵ — ѵпI ds, |
(6.8) |
|
a |
5 |
to.«/»] |
{ |
|
|
|
|
это по теореме С меньше, |
чем |
|
|
|
|
||
|
|
|
л/п |
|
|
|
|
|
|
const-II о + н„ II |
j \ ü— vn \ds. |
|
(6.9) |
||
Так как ѵ + |
|
|
о |
|
|
|
|
ѵп ограничено, из теоремы D следует, что выражение (6.9) |
|||||||
стремится к нулю. Аналогично доказывается, что слабый предел ѵ удо
влетворяет |
также и условию (6.2), |
что |
завершает |
доказательство. |
||||
Л е м м а |
7. Функционал |
U слабо |
полунепрерывен |
снизу |
на |
огра |
||
ниченных подмножествах ER. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме |
В |
функционал |
Ui |
слабо |
|||
полунепрерывен снизу. Покажем теперь, |
что |
U2 слабо непрерывен. |
||||||
W
Пусть ѵп —» V. Тогда, используя те же соображения, что и в лемме 6, получаем
|
я/п |
я/п |
||
\ Ѵ2(ѵ) — £/а ( О п ) К у |
j \v3 — v l \ ds + ^- |
j \vi — vin \ d s < |
||
|
|
о |
|
0 |
|
|
|
|
Я/п |
< 4 - |
max |üa + ün + Un|- |
[ \v — vn \ds + |
||
Z |
[0,я/п] |
|
J |
|
|
|
|
л/п |
|
+ -S- |
max \v2+ ül'r |
\ |
\v2 — v l\d s -* 0 при п-э-оо, |
|
|
ö |
[0, я/п] |
J |
|
и лемма доказана.
IV. Ф ОР МЫ И З Г И Б А У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
59 |
Леммы 5—7 и теорема А приводят к следующей теореме существо вания:
Т е о р е м а 5. Пусть Еп — подмножество элементов 1К'1’ (0, я/я), удовлетворяющих условиям (6.2)—(6.4). Тогда существует элемент V* £ Er, на котором функционал U достигает абсолютного минимума.
Так как функционал U записан в стандартном виде, принятом в вариационном исчислении, то регулярность ѵ* устанавливается несколько проще, чем в § 5. В прямой аналогии с теоремой 3 спра ведлива
Т е о р е м а 6. Элемент ѵ* принадлежит С2 (0, я/я) и является классическим решением задачи (2.17), (2.19), (2.20).
Так как R — произвольное положительное число, теорему, соот ветствующую теореме 4, применять не нужно.
7. Численные результаты
При отыскании форм деформируемого кольца метод Ньютона — Канторовича в функциональном пространстве (ср. [6]), применяемый непосредственно к краевой задаче, оказался более быстрым, чем
обычный метод Ньютона— Рафсона (метод стрельбы), применяемый
к системе |
(3.5), (3.6). Результаты наших вычислений |
приведены |
на рис. 3. |
Для рассматриваемой области значений р (р |
70) вычис |
ления показали, что тип колебания я = 2 при фиксированном значе нии р доставляет потенциальной энергии минимальное значение.