книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

{рп}, (і ! > р2> • • . > рл 0, которые определяются из соответ­ ствующей линейной задачи на собственные значения, каждое из кото­ рых является точкой бифуркации. Для р ^ рі каждое решение систе­ мы ( 3 .1 0 ) при t - * - оо стремится k u = u = w = 0 . Для Р і > р > р 2 «почти все» решения системы (3.10) стремятся к явно заданной одно­ мерной замкнутой кривой, а в общем случае при р„ > р > р п-и почти все решения этой системы стремятся к «-мерному многообразию, подобному тору. Хопф дал также анализ поведения решений при

Эта модель привлекает интерес своим близким сходством с неста­ ционарными уравнениями Навье — Стокса для несжимаемой жидко­ сти. Этот пример бифуркации, появляющийся в нелинейных парабо­ лических дифференциальных уравнениях, мы обсуждать не будем.

П р и м е р 7. (Ограниченная задача трех тел.) Исследования А. Пуанкаре, связанные с проблемой нахождения периодических решений системы, описывающей движение частицы нулевой массы под действием притяжения двух других тел положительной массы, были завершены Биркгофом в 1914 г. С помощью теоремы о неподвиж­ ной точке, основанной на свойстве некоторого отображения сохранять площадь, Биркгоф доказал, что эта задача имеет бесконечное множе­ ство различных периодических решений. Последнее свойство в свою очередь связано с тем фактом, что возникающая здесь система дифференциальных уравнений является вариационной системой.

Следующие ниже рассуждения основываются на неопубликован­ ных записях Мозера. Без ограничения общности массы двух упомяну­ тых тел можно принять равными р и 1 — р. Для предельного случая р = 0 получаем систему вида

(3.11)

|ш|а + |г|*= 8.

Здесь w и г — комплекснозначные функции действительного аргу­ мента г, а С0 — положительная постоянная. Два частных решения этой задачи — это окружности w = 0, | z |2 = 8 и [ w |а = 8, г = 0.

Рассмотрим периодические решения рассматриваемой системы в окрестности каждой такой окружности. Если ввести в уравнение неизвестный период предполагаемых решений, изменяя масштаб Т с по­ мощью замены Т=Ы, и заметить, что вариационная задача, связан­ ная с этой системой, инвариантна относительно преобразования сим­ метрии (w, г) — (е,ѳда, егѲ) при любом Ѳ, то мы получим систему, кото­ рая попадает в класс, рассматриваемый в § 10.

9 М. С. Б Е Р Г Е Р

и таких, что J I и (х) )р dx < оо; Lv (G) является банаховым простран-

G

ством относительно нормы

IMIo.p = [ j I u\pdxy ,P.

G

Пространство L z (G) представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением

(и, ѵ)0, 2 = j U'Vdx.

а

Далее, Wm, p (G) (пространство Соболева) есть совокупность функций

(В лекциях IV, V, XII пространство Wm,p (G) обозначается через W7pm)(G).) Пространство Wm, 2 (G) является гильбертовым относительно скалярного произведения

(и, ѵ)т<2= 2 (Dau, Охи)о, 2.

| а | $ т

Связь между этими пространствами устанавливается теоремой вложения Соболева. Мы говорим, что банахово пространство X вло­ жено в банахово пространство Y (X с; У), если каждый элемент из X является элементом Y и оператор вложения і: X —у Y, определенный равенством і (х) — х, х £ X, является непрерывным взаимно однознач­ ным отображением X в Y. Если і — компактный оператор (т. е. і отображает слабо сходящиеся в X последовательности в последователь­ ности, сильно сходящиеся в У), то мы говорим, что вложение і ком­ пактно.

и 6 Wm, 2(G).)

Наши рассуждения в разд. (d) показывают, что равенство (4.3) эквивалентно операторному тождеству (Аи, ѵ) — 0 для любого ѵ£

6 Wm, 2 (G), т. е. Аи = 0.

Этим определяется операторное уравнение в некотором гильберто­ вом пространстве Н, соответствующее краевой задаче (4.1), (4.2).

Следующий результат дает частичный ответ на вопрос о связи классического решения задачи (4.1), (4.2) с решением операторного уравнения А и = 0. Мы уделяем особое внимание эллиптическим крае­ вым задачам с линейными главными членами, которые можно записать в дивергентной форме. Это как раз тот класс задач, который появляется

Такое дифференциальное уравнение называется равномерно эллип­ тическим, если существует постоянная с0 > 0, такая, что для любого

X € G и I € Rn

а (х, V) > с0(£j + • • • + %п)т •

и что операторы, А а (х, и, . . ., Dm,u) отображают Wrn, г (G) в Ь2(G). Тогда всякое решение операторного уравнения Аи = 0 является класси­ ческим решением задачи (4.1), (4.2) б области G ина всех гладких частях границы dG. Обратно, любое классическое решение задачи (4.1), (4.2) можно рассматривать как решение операторного уравнения Аи = 0

Доказательство этого результата основано на теории Агмона [26] и Агмона, Дуглиса и Ниренберга [27] Lp-регулярности для линейных эллиптических краевых задач. Мы сошлемся на статью [Іа], в которой подробно обсуждается метод доказательства.

Следующий, хотя и элементарный пример иллюстрирует описывае­ мый здесь подход. Более сложные примеры рассматриваются в § 11, 13 и 15.

где G — ограниченная область в R n, а А — оператор Лапласа.

Ясно, что это уравнение относится к классу задач, рассматриваемых в этом параграфе. Обобщенное решение этой системы удовлетворяет равенству

С помощью описанных здесь методов для этой системы можно рас­ смотреть (см. [1]) теорию положительных решений при отсутствии единственности; совсем другой подход будет дан в лекции VIII.

5. Формулировка бифуркационных задач

Рассмотрим теперь теорию бифуркаций в терминах операторных уравнений в действительном гильбертовом пространстве. Сделаем следующие обычные предположения:

(i) При всех значениях параметра %бифуркационная задача имеет решение и0 (которое без ограничения общности можно принять рав­

(В большинстве случаев либо Nit либо N 2 тождественно равен нулю.) Кроме поставленных во введении вопросов, мы рассмотрим еще

следующие проблемы:

1) Законность линеаризации. Какие факты относительно полной нелинейной задачи можно получить на основе полных данных о линеа­ ризованной задаче?

Одновременно в этой работе применяется другой метод, использующий конкретные свойства заданной системы. Этот подход позволяет дока­ зать новые результаты. Наши исследования основываются на работе М. А. Красносельского [12].

уравнения L±u — %L2u. Выберем р линейно независимых собственных

Li — самосопряженный положительно определенный оператор в гиль­ бертовом пространстве Я. Обозначим через \иІУ . . ., ир] подпростран­

Кроме того, любое действительное решение и системы (7.3) можно записать в виде

V

определению.

Подставляя это выражение в (7.3), получаем следующие уравнения относительно у и ер

Чтобы продолжить рассуждения, нужно предположить, что реше­

с р неизвестными в конечномерном пространстве. Для этого нужно показать, что первое уравнение системы (7.4) однозначно разрешимо при известных ег. С этой целью предположим, что при малых || ш*||, II и Инелинейные операторы N ±и Я 2 обладают следующими свойствами:

N iü = P iU + R jU (i = 1, 2),