книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

нулевых граничных условий она является линейчатой поверхностью, которая должна совпадать с и (х, у) == 0 .

Утверждения (ѵі) и (ѵіі) следуют из теоремы о бифуркации. Дока­ жем (ѵііі). С точностью до постоянного множителя потенциальная энер­ гия V (и), отвечающая прогибу и (х, у), задается формулой

Ѵ(и) = (и, «) + -|-(Cw, u) — X(Lu, и).

Поэтому недеформированному состоянию и0 пластинки соответствует потенциальная энергия V (и0) = 0. Для любого деформированного состояния (и, и) + (Си, и) = X (Lu, и). Таким образом, мы получаем

V (и) = — ^- (Си, и) < 0 при II и IIФ 0.

Утверждение (іх) следует из (ііі) и результата Г. Келлера, Дж. Кел­ лера и Э. Рейсса [32] о том, что вблизи простых собственных значений с радиально симметричными собственными функциями существуют радиально симметричные решения с малыми нормами.

П р и м е р 2. Периодические решения автономных систем обыкно­ венных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

где А — самосопряженная положительно определенная действитель­ ная матрица с постоянными коэффициентами, х = (хь . . ., хп) — действительный п-мерный вектор, / (х) — функция, голоморфная в ок­ рестности начала координат, представимая в виде степенного ряда по х{, . . ., хп, начиная с членов второго порядка. Предположим также, что f (—х) — — f (х) и что / (х) является градиентом некото­ рой скалярной функции F (х). Это предположение означает только, что (11.7) можно представить в виде гамильтоновой системы (см.

пример 2 из § 3).

П

Пусть (х, у) = 2 хіУі- Мы ищем нетривиальные периодические

г=1

решения этой системы в окрестности периодических решений линеари­ зованной системы

В этом случае не делается никаких предположений о собственных значениях матрицы А ,и поэтому условия невырожденности примера 2 из § 3 не выполнены. Мы докажем, что от каждого периодического решения системы (1 1 .8) с минимальным периодом 2пХ, отличного от тождественного нуля, ответвляются периодические решения системы (11.7) с периодом, близким к 2пХ.

так как эти уравнения можно получить из (11.7) и (11.8) с помощью перепараметризации t = %т, где X подлежит определению, а t изме­ няется в промежутке [0 , 2 я].

Чтобы связать с уравнениями (11.9), (11.10) подходящее функцио­ нальное пространство, введем действительнозначные тригонометриче­ ские полиномы вида

П

и(х)= 2 akeihx,

где (комплексные) коэффициенты ah подчинены условию a_fe = а&. Определим скалярное произведение полиномов и и у:

полиномов по естественной норме || и ф = Y («, и)Ь2, получаем сепарабельное гильбертово пространство, которое обозначим через # 1?2. Оно является пространством 2я-периодических функций, имеющих обобщенные производные первого порядка, принадлежащие L2.

Чтобы найти операторную формулировку уравнений (11.9), (11.10), рассмотрим п-кратное прямое произведение гильбертовых пространств

Используя периодичность функций вместо нулевых граничных условий, по методу § 5 можно определить следующие операторные

В силу предположений о функции / (х) это операторное уравнение является вариационным операторным уравнением в гильбертовом пространстве Н (с инволюцией в качестве симметрии) и относится к случаю (а). Поэтому применима абстрактная теория § 10. Отметим, кроме того, что регулярность решений уравнений (11.9) и (11.10) доказывается без применения сложной теоремы о регулярности. В самом деле, обращаясь к теореме 10.8, получаем следующий резуль­ тат:

Т е о р е м а 11.3. Уравнение (11.7) имеет по крайней мере п дей­ ствительных однопараметрических семейств ненулевых периодических решений. Если обозначить минимальный период j-го семейства через

г]■(R), ^mo lim т;- (R) = 2яХ]1, где Kj — некоторое собственное значение

R-*ОО

матрицы А (т. е. 'К]1Ахі = х}).

ЛИТЕРАТУРА

[1]Berger М., (а) An eigenvalue problem for nonlinear elliptic partial differen­ tial equations, Trans. Amer. Math. Soc., 120 (1965), 145—184.

(b) A Sturm-Liouville theorem for nonlinear elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm. Super, di Pisa, XX (1966), 543—582.

(c)On von Kârmân’s equations and the buckling of a thin elastic plate,

Comm. Pure Appl. Math., 20 (1967), 687—719.

(d)An application of the calculus of variations in the large to the equations of nonlinear elasticity, Bull. Amer. Math. Soc., 73 (1967), 520—525.

12] Schmidt E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, III, Math. Ann., 65 (1910), 370—399.

[3]Poincaré H., Sur l’equilibre d’une mass fluid..., Acta Math., VII (1885).

[4]Hammerstein A., Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen, Acta Math., 54 (1930), 117—176.

[5]Bartle R., Singular points of functional equations, Trans. Amer. Math., Soc., 75 (1953), 366—384.

[6]Cronin J., Branch points of solutions in Banach space, I, II, Trans. Amer. Math. Soc., 69 (1950), 208—231; 76 (1954), 207—222.

[7]Вайнберг M. M. и Треногин В. А., Методы Ляпунова и Шмидта в теории

нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие, УМН, 17: 2 (1962).

[8]Пуанкаре А., Новые методы небесной механики, Избр. труды в 3 томах, «Наука», М-, 1971.

[10]Friedrichs K- O., Stoker J., The nonlinear boundary value problem of the buckled plate, Amer. J. Math. (1941), 839—888.

[11]Вайнберг M. M., Вариационные методы исследования нелинейных опера­ торов, Гостехиздат, М., 1956.

VI I. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У ЧА Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ц 5

В соответствии с обозначениями лекции VI отнесем уравнения типа (12.2) к случаю (а), а уравнения типа (12.3) — к случаю (Ь). Если оператор Ь2 положительный компактный и самосопряженный, то наи­ меньшее собственное значение Aj линеаризованного уравнения

положительно. Прямые методы вариационного исчисления позволяют показать, что первое собственное значение всегда является точкой бифуркации независимо от его кратности и каких-либо свойств нели­ нейности, если эта нелинейность определяет вариационный оператор. Более того, при небольших ограничениях на нелинейность эту ветвь решений можно продолжить до больших значений нормы.

по крайней мере одна ветвь решений нелинейного уравнения Аи = кВи.

Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а . Рассмотрим случай (Ь) (случай (а) рассматривается аналогично). Для малых положитель­ ных R положим

Сі (R) = inf Фі (и),

Ф2 (и) = R,

где

1

Фі (и) — -у (LiU, и) + I (и, Ni (SU)) ds,

о

В гильбертовом пространстве Н экстремальные задачи, определяю­

щие Сі (R) и Сі (R), имеют решения их (R) и щ (R) с соответствующими собственными значениями кі (R) и Аь которые совпадают с решениями соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа:

Решения щ (R) и щ (R) лежат на поверхности Ф2 (и) = R, так как эта поверхность слабо замкнута в Н. Действительно, Ь2 — компакт-

8*

116 М. С. Б Е Р Г Е Р

ный линейный оператор, поэтому если ип-> и слабо в Я, то Ь2ип^> Ь2и сильно. Применяя к

логические методы здесь не нужны. В самом деле, разрешимость задачи о минимуме для щ (R) и с{ (R) следует из слабой полунепре­ рывности снизу функционалов ПН (и), у (Ьщ, и) и из обобщенной

теоремы Вейерштрасса, которая утверждает, что если такой функцио­ нал ограничен снизу на слабо компактном множестве, то он достигает на нем своего инфимума. Тот факт, что решение этой экстремальной задачи действительно является решением операторного уравнения, доказывается так же, как в [4, часть III].

С л е д с т в и е 12.2. Пусть в случае (Ь) для всех и £ Н имеет место неравенство Фі(н) ^ 0. Тогда семейство решений щ(Й), ответв­ ляющееся от Ä.J, существует при всех значениях R.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Этот факт непосредственно следует из до­ казательства предыдущей теоремы, так как тогда функционал Ф* (и) при всех и в Н ограничен снизу нулем и поэтому при всех значениях R достигает на поверхности Ф2 (и) = R своего инфимума.

Покажем теперь, что теория существования бифуркации для опи­ санного в теореме 12 .1 класса вариационных операторов справедлива для всех собственных значений Хп соответствующей линеаризованной задачи. Для ясности мы различаем два возможных случая.

С л у ч а й І ( с р . с теорией возмущений § 9). Уравнения разветв­ ления вблизи р-кратного собственного значения 1 1уп

невырожденно, т. е. при некоторых значениях (е1; . . . , е р)

р

(.Р2 ( 2 8jUj)! Ui) fa10 , 1=1

и Р 2 — вариационный оператор.

VI I. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В СЛУЧАЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ц 7

в случае I справедлив результат, аналогичный теореме 12.1.

Т е о р е м а 12.2. Пусть в нелинейном уравнении Аи = кВи опе­ ратор А = Li + Ni принадлежит классу I, а В = Ьг А~ N 2 — классу II. Если для собственного значения кп выполнены предположения случая I, то в случаях (а) и (Ь) этому собственному значению отвечает некоторая ветвь решений полного нелинейного уравнения Аи = кВи.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В соответствии с выводами теоремы 9.1 достаточно исследовать структуру решений (е1( . . ., ер) уравнений разветвления

где 1/р„ — собственное значение кратности р с соответствующими ортонормированными собственными векторами щ, . . ., ир. Отметим, что в силу предположений случая I функционал

не является тождественным нулем и имеет в качестве градиента левую часть (12.7). Поэтому уравнения (12.7) всегда разрешимы при доста­

малое фиксированное число. Непрерывная функция, отличная от тож­ дественного нуля, имеет на этой сфере максимум и минимум, и оба они не могут быть нулями. Это та ненулевая критическая точка, которая определяет однопараметрическое семейство решений уравне­ ния (12.7) при 0 < К < Ко и достаточно малом Ко-

Возникает вопрос, справедлива ли теорема 12.2 в случае II. Мы закончим этот параграф утвердительным ответом на этот вопрос. Доказательство, однако, не элементарно; его можно найти в статье автора [3].

Т е о р е м а 12.3. Пусть в операторном уравнении Аи = 'КВи оператор А — Lj + N t принадлежит классу I, а В — L z + N 2 — классу II. Тогда в случаях (а) и (Ь) каждое собственное значение %п линеаризованной задачи является точкой бифуркации.

)

VI I. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С ЛУЧ АЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ц 9

(Отметим, что эти уравнения отличаются от уравнений Кармана для пластины лишь наличием линейного члена в конце каждого урав­ нения.)

Как и раньше, исключим из этих уравнений /; при известном w элемент / определяется однозначно. Таким образом, мы получаем уравнение

Так как оператор w + K2L2w + -^C w + КС (w, Lw) + y- LC (w, w)

является оператором класса I, L самосопряжен и положителен, а урав­ нение (13.6) относится к типу (Ь), то к этим уравнениям можно приме­ нить теперь теорему 12.3.

В этом случае для изучения спектра вблизи 71( наименьшего соб­ ственного значения системы (13.3)—(13.4), можно также применить теорему 12.1 о бифуркации. Получаем следующий результат:

Т е о р е м а 13.2. От наименьшего собственного значения 7t системы (13.3)—(13.4) ответвляется однопараметрическое семейство нетривиальных решений u^R) системы (13.1)—(13.2) с соответствую­ щим собственным значением 7, (R). Эта ветвь существует для всех значений параметра R, и 7t (R) -> )н при R -> 0. Кроме того, при малых R Ф 0 имеет место неравенство 74 (R) <

14. Операторы, представимые в виде компактных возмущений тождественного оператора

Определим теперь нелинейный инвариант, полезный при изучении теории бифуркаций операторных уравнений не обязательно вариацион­ ного типа. Этот инвариант известен под названием степени отобра­ жения и ставит в соответствие каждому отображению, для которого он определен, некоторое определенное число, которое может быть положительным, отрицательным или нулем. Конечномерный случай был впервые исследован Брауэром в самом начале этого столетия. Обобщение на бесконечномерный случай принадлежит Шаудеру и Лере [5].

а) О п р е д е л е н и е с т е п е н и о т о б р а ж е н и я . Конечно­ мерный случай. Пусть D — некоторое ограниченное открытое множе­ ство в Rn с границей dD. Для произвольного р £ Rn рассмотрим в D решения уравнения / (х) = р, где / — непрерывная функция, отобра­ жающая D в R n. Количество решений этого уравнения мы «измеряем» с помощью целого числа d (р, /, D), которое определяется следующим образом. (Всюду ниже предполагается, что / (х) Ф р для х б: dD.)