книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

ные части. Для достаточно малых Т, как известно, эти собственные значения имеют отрицательные действительные части. Поэтому неустой­ чивость возникает, когда число Т ровно настолько велико, чтобы s было чисто мнимым. Однако экспериментально установлено, что воз­ никновению неустойчивости соответствует s = 0. Это побуждает нас сформулировать следующий

П р и н ц и п и з м е н е н и я у с т о й ч и в о с т и д л я т е ч е н и я К у этт а. Если действительный положительный луч содержится в резольвентном множестве оператора, соответствующего однородной

Собственные ‘ значения

Рис. 2. Плоскость s.

1

системе (2.10), (2.11), то и правая полуплоскость также содержится в резольвентном множестве (см. рис. 2).

Остальная часть этой лекции посвящена развитию методов мате­ матического обоснования этого принципа.

3. Неотрицательные операторы

Пусть А — матрица, все элементы которой неотрицательны. Назо­ вем такую матрицу неотрицательной. Резольвентный оператор мат­ рицы А допускает формальное разложение

{А — s l y 1= — s - ^ / —Als)~1 = —s-1(I+A/s + Äl/s‘i + • • •)• (3.1)

Последнее выражение в (3.1) есть ряд по степеням 1/s, имеющий неотрицательные коэффициенты. Привлечем теперь следующую тео­ рему Принсгейма: если степенной ряд с неотрицательными коэффи­ циентами имеет радиус сходимости R, то R есть особая точка функции, представленной этим рядом. Отсюда следует, что имеется действитель­ ное положительное собственное значение st матрицы А, такое, что множество

(3.2)

содержится в резольвентном множестве матрицы А, т. е. спектр А обя­ зан лежать в круге | s | ^ si плоскости s (см. рис. 3). Этот результат представляет собой часть теоремы Перрона — Фробениуса о неот­ рицательных матрицах (см. [2]).

Аналогично, если матрица В такова, что —Л-1 неотрицательна, то

(В — si)-1 = в -1 II - (— s) ( - В - 1)] = В -1 II + (— s) (—В -1) +

+ (- s)2 ( - Л - 1)2 + . . . ] . (3.3)

Так как степенной ряд в (3.3) имеет неотрицательные коэффициен­ ты, существует действительное собственное значение st < 0, такое, что круг

содержится в резольвентном множестве матрицы В (см. рис. 4). Пусть теперь а — некоторое заданное действительное число, а С—

сдвигать s0 вправо, оставляя собственное значение Si фиксированным. При So — оо отсюда следует, что полуплоскость

содержится в резольвентном множестве матрицы С.

Естественным обобщением матричного оператора с неотрицатель­ ными элементами является интегральный оператор с неотрицатель­ ным ядром. Ентч [3] и Карлин [4] применяли теорему Принсгейма описанным выше способом для доказательства того факта, что теорема Перрона — Фробениуса остается в силе для таких интегральных опера­

то правая часть равенства (4.5) разлагается в ряд по степеням (s0 — s) с неотрицательными коэффициентами, и, применяя методы § 3, мы при­ ходим к выводу о существований действительного собственного значе­ ния Sj, такого, что спектр оператора К (s) содержится в множестве {s: Re s ^ Sj}. Этот результат эквивалентен принципу изменения устойчивости.

Справедливость условия (і) для нашего оператора устанавливается

■собой] преобразование Лапласа функции Грина Г* (г, р, t) следующей

.краевой задачи:

и (г), /) = и (1, f) —и {г, 0) = 0.

Легко видеть, что для этой задачи выполняется принцип максимума, так что / ^ 0 влечет за собой и 0. Следовательно, Г* (г, р, t) ^ 0. Так как

о о

Теперь мы должны рассмотреть оператор G (s). Его можно пред­ ставить в виде интегрального оператора, ядро которого G (k , р; s)

будет установлено, что функция Грина G* задачи (4.8) положительна. Если это уже проделано, то при помощи правила дифференцирования произведения легко убедиться в том, что оператор К (s) = К2TG (s) X

X ^ (-^------К) Г (s)] обладает свойством (іі).

Функцию Грина G (г, р; s) можно выписать явно с помощью бессе­ левых функций. Это выражение, однако, слишком сложно, чтобы можно было проверить условие (іі) непосредственно. Тем не менее, используя асимптотические разложения при s-> + °о , мы можем доказать существование такого t±> 0, что неравенство G* > 0 выпол­ няется для t <H\ .

Функцию G* (г, р, t) можно разложить в ряд по собственным

нечности, и нужны дополнительные вычисления для доказательства того факта, что условие G* > 0 выполняется равномерно по X для достаточно больших ту)

Можно доказать, что G* при т] -э- 0 стремится к функции Грина краевой задачи

( L - X 2)

и(1, 0 = -§г(1. t) = u(r, 0 ) = 0

для всего цилиндра 0 ^ 1. Можно доказать, что для этой задачи G* > 0 . Так как критическое'волновое число остается здесь конечным, можно утверждать, что принцип изменения устойчивости выполняется, когда радиус внутреннего цилиндра достаточно мал а).

і) При малых l - і і и 1 — р. принцип изменения устойчивости^ следует

из теории возмущений, так как в предельном случае 1 — И = 1 — И' = 0 полу­ чается (самосопряженная) задача о конвекции в слое жидкости 19]. Оценке допустимых значений 1 — т) и 1 — (А посвящена работа Дэвиса [11]. Прим.

^ 2) Устойчивость в этом предельном случае исследована в работе Овчинни­ ковой [10].— Прим. ред.

Однако проверка этих условий в задаче о течении Куэтта представ­ ляется не более легкой, чем проверка наших первоначальных условий.

Проблема обоснования принципа изменения устойчивости в общем случае остается открытой. Неясно, нужны ли здесь улучшенные оцен­ ки или иная техника.

ЛИТЕРАТУРА

[1]Synge J. L., On the stability of a viscous liquid between rotating coaxial cylinders, Proc. Roy. Soc. (London) A, 167 (1938), 250—256.

[2]Гантмахер Ф. P., Теория матриц, «Наука», M., 1967.

[3]Jentsch R., Ober Integralgleichungen mit positivem Kern, Crelle’s J., 141 (1912), 235_244.

[4]Karlin S., Positive operators, J. Math. Mech., 8 (1959), 907—937.

[5]Красносельский M. А., Положительные решения операторных уравнений,

Физматгиз, М., 1962.

[6*]Крейн М. Г. и Рутман М. А., Линейные операторы, оставляющие инва­ риантным конус в пространстве Банаха, УМН, 3, вып. 1 (1948), 3—95.

[7*]Шефер X., Топологические векторные пространства, «Мир», М., 1971. [8*]Красносельский М. А ., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я- Б.,

Стеценко В. Я-, Приближенные методы решения операторных уравнений,

«Наука», М., 1969.

[9*]Линь Цзя-цзяо, Теория гидродинамической устойчивости, ИЛ, М., 1958. [Ю*]Овчинникова С. Н., Устойчивость течения Куэтта в случае широкого зазора

между вращающимися цилиндрами, ПММ, 34, (1970), 302—307. [11*]Дэвис С. Г., О принципе изменения устойчивости, сб. Механика, 4 (122),

(1970), 56—73.

XV

ВОЗМУЩЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

М. Мильман

1.Введение

Вэтой лекции рассматриваются три нелинейные задачи на собственные

значения для уравнений с частными производными, возникающие в физике. Для анализа качественного поведения решений в окрестно­ сти заданного решения используется формальная схема теории воз­ мущений. Будут получены явные выражения для нескольких первых членов рядов теории возмущений и рассмотрены конкретные примеры.

2. Установившийся температурный режим в теле, содержащем нелинейный источник тепла

Пусть Т (х) — установившееся распределение температуры в трех­ мерной области D, содержащей источник тепла величины S (Т). Если область D ограничена непроводящей поверхностью В, то Т является решением следующей задачи:

Здесь S (Т) пропорционально локальной скорости теплообразования, а X — параметр, характеризующий интенсивность источника. Нужно решить задачу (2.1), (2.2) относительно Т (х), когда 5 (Т) — нели­ нейная функция.

Предположим, что функция S (Т) имеет один и тот же знак при всех Т. Тогда, поскольку граница В теплонепроницаема, в нестацио­ нарном случае следует ожидать, что Т будет монотонной функцией времени. Поэтому, чтобы существовал установившийся режим, мы предполагаем, что S (Т) должна менять знак. Следовательно, мы считаем, что существует по крайней мере одно значение темпера­