книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Теперь сформулируем остальные условия на свободной поверхно­ сти, дне и границе раздела.

Удобно ввести функцию тока ф (х, у), которая удовлетворяет

с (h + Я) = ch (1 + г) на свободной поверхности.

Теперь предположим, что все линии тока взаимно однозначно проектируются на ось х. Тогда уравнение (3.10) можно обратить, что приводит к равенствам

Для верхнего слоя воспользуемся аналогичными обозначениями. Таким образом,

Теперь опустим звездочки. Наши определяющие уравнения прини­ мают такой вид:

Первые два условия (3.30) означают, что жидкие частицы не отде­ ляются от дна и не проникают внутрь смежной среды через поверх­ ность раздела; третье уравнение представляет собой условие непре­ рывности давления при переходе через поверхность раздела, а четвер­ тое уравнение есть условие равенства нулю давления на свободной поверхности.

Теперь предположим, что все переменные, входящие в граничную задачу (3.28), (3.29), (3.30), допускают разложения по целым степеням е:

в[10]. Так как при некоторых высших производных, фигурирующих

вуравнениях (3.28) и (3.29), имеется коэффициент е, эти уравнения

представляют собой сингулярное возмущение уравнений при е = 0 , и мы не можем предложить ничего лучшего, чем асимптотические выводы.

Если подставить разложения (3.31) в (3.28), (3.29) в (3.30), а затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях е, то мы получим

Это решение соответствует параллельному течению со скоростью с в обоих слоях.

Граничная задача, отвечающая первому приближению, представ­

Если обе производные а[ и А[ не обращаются в нуль тождественно (что приводит к однородному потоку), то определитель, составленный из коэффициентов системы (3.35), должен равняться нулю, откуда следует, что

линейной теории малой амплитуды. Таким образом, бифуркация имеет место при критических скоростях (см. рис. 8).

Чтобы найти амплитуды й4 и А і , м ы должны обратиться к прибли­ жению второго порядка:

и $ у = а[ (0 )т] — aj(0 )a;( 0 ) — I f ö ' — p S ' , 0 < т ] < 1 ,

Uо1' = А[ (о) (ц — 1) + а[ (о) — AI (о) А[ (о) — IFT — Р а \ 1< т ]< 1 + г .

И*

Решение этой системы включает новые функции а2 (а) и А 2 (а), кото­ рые должны удовлетворять двум следующим обыкновенным диффе-

U

СС

4

с

Рис. 8.

ренциальным уравнениям, которые выводятся из граничного условия для давления:

+ а\ (о) + гА[ (о) — 3А[ (о) Аі (о).

Так как определитель, составленный из коэффициентов системы (3.38), обращается в нуль, величины I я J должны быть связаны соотноше­ нием

Используя (3.35) для упрощения (3.39), получаем

Общее решение уравнения (3.40) можно выразить через эллиптиче­ ские функции Якоби. Эти решения приводят к кноидальным волнам. Уединенную волну можно рассматривать как предельный случай кноидальных волн или ее можно найти непосредственно путем инте­ грирования уравнений (3.40) при условиях затухания. В результате

[14*]К.расовский Ю. П., О существовании апериодических течений со свобод­ ной границей, ДАН СССР, 133, № 4 (1960), 768—770.

[15*]Красовский Ю. П., К теории установившихся волн конечной амплитуды,

Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1, № 5 (1961), 836—855.

[ 16*]Тег-Кгікогоѵ А. М., Theorie exacte dés ondes longues stationnaires dans un liquide heterogene, J. de Mecanique, 2—3 (1963), 351—376.

[17*]Тер-Крикоров А. M. и Треногин В. А., Существование и асимптотика реше­ ний типа уединенной волны для одного класса нелинейных эллиптических уравнений, Матем. сб., 62 (104), № 3 (1963), 264—274.

[18*]Тер-Крикоров А. М. и Треногин В. А., Решения типа длинных волн для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной полосе. Диф­ ференциальные ур-ния, 3, № 3 (1967), 496—508.

[19*]Тер-Крикоров А. М. и Треногин В. А., Решения типа длинных и уединен­ ных волн для квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченной полосе, Тезисы докладов Всесоюзной межвузовской конференции по при­ менению методов функционального анализа к решению нелинейных задач, Баку, 1965.

X

ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ю. Мозер

1. Введение

Теория нелинейных колебаний ограничивается преимущественно изучением периодических решений дифференциальных уравнений. В этой лекции мы рассматриваем развитие ее результатов для теории почти периодических решений и исследуем некоторые тонкости, свя­ занные с этим обобщением.

О п р е д е л е н и е . Функция / (t) называется условно-периодиче­ ской, если она может быть представлена в виде

= 1 , . . ., п, базисными частотами.

Из (1.2) видно, что класс условно-периодических функций замкнут относительно сложения и умножения. Эти функции — почти периоди­ ческие с конечным частотным базисом. Периодическая функция является условно-периодической с единственной базисной частотой. Заметим, что множество чисел вида (/, ш) (спектр [) плотно на дей­ ствительной прямой, если п > 1 2)*. Ради простоты мы предполагаем, что все функции, встречающиеся в этой лекции, действительные аналитические.

То есть заменить базисом, состоящим из меньшего числа частот.— Прим.

2. Периодические решения *)

Прежде чем обсуждать вопрос об условно-периодических решениях обыкновенных дифференциальных уравнений, напомним о некоторых характерных трудностях, связанных с периодическими решениями. В качестве типичного примера рассмотрим уравнение Дуффинга

Здесь г — малый параметр и / (t) имеет период 2я по t. Уравнение (2.1)

являющийся для положительных е уравнением семейства замкнутых кривых Се в фазовой плоскости; Е — параметр семейства (рис. 1).

Рис. 1.

Для каждого Е параметры а и ß можно выбрать так, что любое решение (2.2) с начальными данными на Се имеет период 2я. Но мето­ дом Пуанкаре можно показать, что существуют только две начальные точки на Се , о т которых ответвляется 2 я-периодическое решение

(Уравнение (2.4) представляет собой возмущение линейной системы.) Поэтому требование сохранения периодических решений при возму­ щении может повлечь за собой наложение некоторых дополнительных условий на параметры задачи.

*) Обсуждаемые в этом параграфе понятия рассматриваются в стандартных учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям и нелинейным' колебаниям.

X. Т Е О Р И Я ВОЗМ УЩ ЕН И Й У С ЛО В Н О -П ЕРИ О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й J6<>

где/имеет период — по t, а F — период 2я по сat, эквивалентна авто­ номной системе

периодические решения неавтономных систем, изучая расширенную автономную систему (2.6). Напомним стандартную теорию возмущений для таких систем.

Пусть (2.7) при е = 0 имеет 2я-периодическое решение z0 (t). Тогда для достаточно малых е > 0 возмущенная система (2.7) имеет реше­ ние г (t, е) с периодом Т (г) по t, такое, что г (t, 0) = z0 (t) и Т (0) =

= 2 я, при условии что множество 2 я-периодических решений z (t) уравнения в вариациях

одномерно, т. е. г (t) — az0 (t). Поэтому существование периодиче­ ского решения возмущенной системы зависит от условия невырожден­ ности в терминах уравнения в вариациях. Мы увидим, что подобные результаты имеют место и для условно-периодической задачи.

где х и у — соответственно п- и m-мерный вектор. Функция F (х, у) имеет период 2 я по переменным xt, и соь . . ., со„ рационально неза­ висимы. Поставим вопрос: продолжают ли существовать условно­ периодические решения системы (3.1) при ее возмущениях? Ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицательный, потому что малые возмущения могут так изменить значения сог, что их рациональная независимость нарушится.

Рассмотрим случай п — 2. Эту задачу удобно изучать в плоскости

соответствуют семейству прямых в плоскости xlt х2 с иррациональным углом наклона ©2/©і (ср. рис. 2). Отождествляя линии хг = 0 с х± = = 2 я и х 2 = 0 с х 2 = 2 я, можно рассматривать xt и х 2как координаты