книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Поэтому если а (А) — собственное значение, соответствующее минимальному положительному решению и (X; х), то из (6.4) и (6.5)

вытекает, что а (к) ^ 0 , и, следовательно, минимальное положитель­

ное решение не является неустойчивым на интервале 0 << к <1 к*. Пусть теперь f (х, и) выпукла. Тогда, так как для всякого немини­ мального положительного решения и (А,; х) выполняется неравенство и (А; х) ^ и (А; х) в D, мы заключаем, что fu (х, и) ^ fu (х, и) в D.

Вариационная характеристика (6.4) показывает тогда, что а (А) ^

^ а (А), откуда и вытекает, что минимальное положительное решение относительно более устойчиво, чем любое другое положительное решение.

Наконец, следствие 3.3.1 утверждает, что и (А; х) возрастает с ростом А для каждого х £D . Поэтому при выпуклой / производная fu (х, и)

возрастает с ростом А. Вариационный принцип (6.4) показывает тогда, что а (А) убывает, когда fu (х, и) возрастает. Это завершает доказа­

тельство того факта, что если / выпукла, то устойчивость минимального положительного решения убывает с ростом А. Для вогнутых f, очевид­ но, имеет место противоположный вывод, ч. т. д.

Можно дать следующую очевидную интерпретацию изложенных выше теорем в терминах нелинейных задач теплопроводности, о кото­ рых шла речь во введении. В случаях когда стационарное решение неединственно, а именно для выпуклых f, «более холодные» положи­ тельные стационарные состояния более устойчивы. Возможно, несколь­ ко неожиданным оказывается вывод, что для вогнутых /, несмотря на возрастание устойчивости единственного положительного решения

/, предел А* = рА(А*), то нетрудно показать, что а (А*) == 0, так что

предельное минимальное положительное решение обладает нейтраль­ ной устойчивостью. Это доказано для одного частного случая в [6].

ЛИТЕРАТУРА

11] Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравнений, Физматгиз, М., 1962.

[2]Schaefer Н. Н., Some nonlinear eigenvalue problems, Symposium on Nonlinear Problems, edited by R. E. Langer, University of Wisconsin Press, 1963.

[3]Курант P., Уравнения с частными производными, «Мир», M., 1964.

[4]Aronszajn N. and Smith K-, Characterization of positive reproducing kernels. Applications to Green’s functions, Amer. J. Math., 79 (1957), 611—622.

[5]Bellman R., On the non-negativity of Green’s functions, Boll d’ Unione Matem., 12 (1957), 411—413.

[6]Joseph D. D., Non-linear heat generation and stability of the temperature

distribution in conducting solids, Int. J. Heat Mass Transfer, 8 (1965), 281 -— 288.

[7]Веллман P., Калаба P., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, «Мир», М., 1968.

[8]Kalaba R. Е., On nonlinear differential equations, the maximum operation, and monotone convergence, J. Math. Mech., 8 (1959), 519—574.

[9]Wendroff B., Theoretical Numerical Analysis, Academic Press, New York,

1966.

J10] Keller H. B. and Cohen D. S., Some positone problems suggested by non­ linear heat generation, J. Math. Mech. (to appear).

Ill] Cohen D. S., Positive solutions of a class of nonlinear eigenvalue problems,

J. Math. Mech. (to appear).

|12*]Гантмахер Ф. P. и Крейн M. Г., Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем, ГИТТЛ, М.-Л., 1950.

113*]Канторович Л. В. и Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормирован­ ных пространствах, Физматгиз, М., 1959.

IX

БИФУРКАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН

Дж. Дж. Стокер

1. Общая формулировка граничной задачи

Рассмотрим двумерный поток идеальной несжимаемой тяжелой жидко­ сти в канале постоянной глубины h. Будем пользоваться координат­ ной системой, указанной на рис. 1. Свободная поверхность задается уравнением

Движение описывается следующей граничной задачей для потен­ циала скорости Ф (х, у, t) и возвышения свободной поверхности т] (х, t):

р — р (х, т] (х, /), і) — заданное поверхностное давление, U — постоян­ ная величина. Компоненты скорости и и ѵ вдоль осей хи у выражаются

*

ь

Ѵ //////////У /7 /7 //7 /У 7 У //7 / <У="Л

Рис. 1

через Ф с помощью соотношений и = Фж, ѵ = Ф^. Уравнение (1.3) представляет собой кинематическое ограничение: жидкие частицы на свободной поверхности должны оставаться на ней, равенство (1.4) есть закон Бернулли для свободной поверхности, а (1.5) выражает требова­ ние, чтобы вертикальная компонента скорости обращалась в нуль на дне канала. Нужно также поставить соответствующие начальные условия. Вывод соотношений (1.2)—(1.5) можно найти в [1].

Хотя дифференциальное уравнение (1.2) линейно, граничная зада­ ча (1.2)—(1.5) для функций Ф и т] с трудом поддается исследованию,

I X . Б И Ф У Р К А Ц И О Н Н Ы Е Я В Л Е Н И Я В Т Е О Р И И П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х ВОЛ Н 153

так как область, в которой выполняется дифференциальное уравне­ ние (1.2), заранее неизвестна и зависит от т), а граничные условия (1.3) и (1.4) нелинейны. Поэтому мы обратимся к приближенным теориям, основанным на применении малого безразмерного параметра. В остав­ шейся части этой лекции мы рассмотрим следствия двух таких широкоиспользуемых теорий.

2. Линейная теория малой амплитуды Если давление р на свободной поверхности равно нулю, то гранич­

которое соответствует однородному потоку со скоростью U в поло­ жительном направлении оси х. Чтобы рассмотреть малые возмущения этого движения, введем малый параметр е и положим

Подставляя (2.2) и (2.3) в (1.2)—(1.5) и приравнивая коэффициен­ ты при одинаковых степенях е, получаем следующую цепочку линей­

привело к тому, что область, где выполняется дифференциальное уравнение (2.4), стала известной, и условия на свободной границе (2.5) и (2.6) ставятся на фиксированной поверхности у = 0. Таким образом, наша первоначальная задача существенно упростилась.

Сначала рассмотрим тот случай, когда U = 0. Если исключить. ф ‘> из (2 .5) и (2 .6) при k = 1 путем дифференцирования, то мы придем

к следующей граничной задаче для первого возмущения Ф(1):

154 Д Ж . Д Ж . СТ ОКЕ Р

Разыскивая решение, гармонически меняющееся со временем,

Уравнение (2.17) следует из (2.13). Решения Ф(1) = еш ц>представ­ ляют собой стоячие волны с волновым числом т, длиной волны X = = 2я/7га.и частотой а. Вайнштейн [2] доказал, что (2.15) и (2.16) — единственно возможные решения задачи (2.12)—(2.14), ограниченные при X = + 0О. Следовательно, если ф-> 0 при х -ѵ ±оо, то ф = 0.

Взяв линейные комбинации этих стоячих волн, мы можем построить прогрессивные волны вида

где Л и а — произвольные постоянные. Фазовая скорость этих волн есть с = aim, а длина волны X по-прежнему равна 2л/т. Согласно

(2.17), имеем

2 n h

(2.19)

~

Так как с зависит от X, эти волны, по определению, диспергируют. Имеется два интересных предельных случая:

-> У gh, когда X -> оо. Это — критическая скорость волны.

Установив сходимость разложения потенциала Ф по степеням е, Леви-Чивита [3] и Струик [4] (см. приложение в [1]) доказали, что существуют периодические прогрессивные волны для всех значений X и любых с, таких, что

IX. Б И Ф У Р К А Ц И О Н Н Ы Е Я В Л Е Н И Я В Т Е О Р И И П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х ВО Л Н 155

в предположении, что s достаточно мало. Так как прогрессивные вол­ ны (2.18) — это члены наименьшего порядка в разложении по ампли­ туде, бифуркация на самом деле имеет место для всех с, удовлетво­ ряющих условию (2.22) (см. рис. 2, где через А обозначена амплитуда).

( ( ( ( ( ( ( ( ( - гм

т

Рис. 2.

Эти выводы теряют силу в случае с2 = gh. Принимая в расчет члены высшего порядка, можно доказать, что с возрастает вместе с А; это показано на рис. 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда U Ф 0. Мы ищем установившие­ ся решения, т. е. решения, для которых скорость (а значит, и потен­ циал скорости) не зависит явно от времени t. В этом случае, исключая

функцию т) из (2.5) и (2.6) и полагая все производные по t равными нулю, мы получаем условие на свободной поверхности в виде

Можно показать, что все решения граничной задачи (2.4), (2.23), (2.7) (отличные от однородных потоков) имеют следующий вид (см. [5]):

Здесь А и а — произвольные постоянные. Решения трансцендентного уравнения (2.25) можно найти при помощи рис. 3. Мы видим, что уравнение (2.25) всегда имеет корень т = 0 , соответствующий невоз­ мущенному состоянию Фі = const. Кроме того,

(і) если W/gh С 1, то имеется два ненулевых действительн корня;

представляет собой верхнюю границу скоростей распространения синусоидальных волн (2.24) и достигается при Х->- оо. (Заметим, что скорость распространения сигнала в среде бесконечна ввиду несжи­ маемости.)

Итак, при 0 < U2/gh < 1 имеет место бифуркация. О поведении жидкости при критической скорости мы по-прежнему ничего не можем

8(хЖі)

сс

Рис. 4.

сказать. Соответствующий график зависимости амплитуды от величи­ ны U2/gh аналогичен изображенному на рис. 2.

Теперь мы обратимся к задачам, в которых давление на свободной поверхности не равно нулю. Это делает задачу неоднородной. В ста­ ционарной задаче при U2/gh < 1 единственности нет, так как всегда можно добавить решение однородной задачи. Если же U2/gh ^ 1, то решение единственно, поскольку однородная задача имеет только тривиальные решения. Если мы хотим иметь единственное решение в случае U2/gh <Z 1, то нужно наложить условие излучения: возмуще­ ния затухают вверх по потоку. (Необходимость условия излучения — довольно примечательный факт для стационарной задачи.) Ясно, что

Типичная задача для нестационарного течения, в которой импульс давления прилагается к жидкости при х = 0 , у = 0 , t = 0 , решена Стокером [6] при помощи преобразования Фурье (см. рис. 4).

Оказалось, что решение существует и ограничено для всякого конечного времени t. Для t-+- °о были получены следующие выводы:

(i) если U2/gh<g 1, то возмущения замирают вверх по течению и ведут себя вниз по течению подобно синусоидальным волнам в слу­ чае р — 0 на свободной границе; ,

IX . Б И Ф У Р К А Ц И О Н Н Ы Е Я В Л Е Н И Я В Т ЕО РИ И П О В Е Р Х Н О С Т Н Ы Х ВОЛН 157

Последний результат указывает, что течение инфинитезимально неустойчиво при критической скорости. Хорошо известно, что такая неустойчивость не обязательно влечет за собой неустойчивость в боль­ шом. Этот недостаток критерия инфинитезимальной устойчивости великолепно иллюстрируется в данной задаче экспериментально под­ тверждаемым существованием при критической скорости весьма устойчивой уединенной волны — результат, вытекающий из нелиней­ ной теории. Теория единственности для рассматриваемых линейных задач показывает, что метод возмущений не дает уединенной волны, так как решение, затухающее на бесконечности, должно быть одно-

V

,\

Р=0

ин

&А

0

' / / / / / / / / / / / / у у / / / / / / / / / / / /

Рис. 5. (Введены новые координаты.)

родным решением. При критической скорости существуют также кноидальные волны. Эти нелинейные явления обсуждаются в следующем параграфе.

В качестве последнего применения линейной теории рассмотрим стационарные течения в слоистой среде. Такое течение в двуслойной среде показано на рис. 5.

Переменные, соответствующие верхнему слою, будем обозначать заглавными буквами, а переменные, соответствующие нижнему слою,—

Для этого типа задач удобно описывать течение с помощью функции тока вместо потенциала скорости. (Если ф — функция тока, то компо­ ненты скорости определяются соотношениями и = фу, и = —фж.) Можно показать (см. [7]), что движение, удовлетворяющее условиям на свободной поверхности и поверхности раздела, однозначно опре­ деляется функциями тока вида

При этом величина /га обязана удовлетворять некоторому трансцен­ дентному уравнению. Здесь а, А и а — произвольные постоянные.

Ui > U2. Движение, соответствующее скорости Uu имеет макси­ мальную амплитуду на свободной поверхности, а движение, соответ­ ствующее скорости U2 , имеет максимальную амплитуду на поверхно­ сти раздела (это последнее движение называется внутренней волной). Если Я->- оо, то

Ui-^C, где 2C\!gh= 1 + г + Ѵ (1 - г )2 + 4рг,

U i^ C 2, где 2C2/ g / z = l + r —1^(1—г)2 + 4р/\

Таким образом, мы имеем две бифуркационные диаграммы (рис. 6,а), соответствующие двум возможным модам. Величины С( и С2 — крити­ ческие скорости; они играют ту же роль, что и критическая скорость для однослойного случая, рассмотренного выше. В частности, анало­ гично выявляется неадекватность данной теории малых амплитуд, при этих критических скоростях, так как эта теория не в состоянии описать устойчивые уединенные волны.

4

( П ( ( ( П Г % „

с.

Ѵш и %

00

Рис. 6.

Можно также рассмотреть стационарные течения жидкости с непре­ рывно меняющейся плотностью. Для плотности, экспоненциально убывающей по у, оказывается, что существует счетное число мод со скоростями распространения Uk и критическими скоростями Ck, причем Ck ~ CJk (рис. 6,Ь). Таким образом, здесь имеется счетное число бифуркационных диаграмм. Решение, соответствующее ско­ рости Ui, имеет максимальную амплитуду на свободной поверхности, а решения, соответствующие другим модам, имеют внутренние мак­ симумы. Для жидкостей бесконечной высоты (моделирующих атмо­ сферу) вычисления не проходят, и вопрос о том, как получить осмыслен­ ные результаты для таких случаев, все еще остается открытым.

3. Теория мелкой воды: уединенные и кноидальные волны

Если давление в жидкости задается гидростатическим законом

сывается уравнениями теории мелкой воды или теории длинных волн: