книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

о неединственности. Мы должны показать, что при переходе через критический градиент температуры от решения, соответствующего чистой теплопроводности, ответвляются новые решения уравнений движения, соответствующие конвекции.

Наш главный результат — существование таких новых конвекцион­ ных решений, физически соответствующих прямоугольным ячейкам. Причина, по которой мы рассматриваем прямоугольные ячеистые решения, состоит в том, что математическая постановка этой задачи является самой простой. Она сформулирована в § 2. В§3 изучаются линеаризованные уравнения. Там показано, что наименьшее собст­ венное значение линеаризованных уравнений простое. Для нашего метода это оказывается решающим.

В§ 4 излагается итерационная схема решения нелинейной задачи,

ав § 5 устанавливается ее сходимость. Дальнейшие разъяснения сейчас показались бы непонятными, и поэтому мы отложим обсужде­ ние нашего метода до § 4, где и будут сделаны необходимые предвари­ тельные замечания.

Проблеме Бенара посвящено много работ. Во многих рассматри­ вается линеаризованная теория. Упомянем, в частности, книгу Чандра­ секхара [4], где имеется обширная библиография. Ряд авторов иссле­ дуют полную нелинейную задачу при помощи численных или фор­ мальных методов. В этой связи упомянем статьи Малкуса и Верониса [5], Бусса [6], Кришнамурти [1], которые использовали методы фор­ мальных разложений *). Наш метод частично базируется на этих работах.

Несколько иной формальный метод применен в работе Сиджела [7]. По поводу численного исследования упомянем диссертацию Чорина [8]. Джозеф [9] для полных нелинейных уравнений доказал един­ ственность решения, соответствующего случаю чистой теплопровод­ ности, при докритических градиентах температуры 2)* . Однако, насколько нам известно, строгое доказательство существования для нелинейной задачи неизвестно.

Эта работа связана отчасти с поразительными результатами Вельте [10], [11] который рассматривал вязкое течение через подогревае­ мую снизу трубу (задача, аналогичная задаче Бенара), и задачу Тэйло­ ра о вязком течении междуівращающимися цилиндрами3). Вельте

х) См. также работу В. С. Сорокина [25] и Л. П. Горькова [26].— Прим.

ред.

2)Этот результат получен ранее В. С. Сорокиным [27].— Прим. ред.

3)Законность линеаризации в задаче о возникновении свободной конвек­

ции с использованием степени отображения (теорема М. А. Красносельского о бифуркации) доказана ранее и в более общем случае (для трехмерной задачи) в работе [28]; см. также [29], где рассмотрена прямоугольная и гексагональная конвекция в слое. Применение того же метода к задаче о вихрях Тэйлора дано в [30], [31], [32] для вращательных течений общего вида, а для частного случая течения Куэтта также в [33]. Отметим еще, что указанный метод гораздо раньше был развит И. И. Воровичем [34], [35] в нелинейной теории упругих пластин и оболочек.— Прим. ред.

212 П. Г. Р А Б И Н О В И Ч

искать в виде

5, fc=0

с краевыми условиями (2.2) и (2.3). Постоянные а и b остаются пока произвольными.

3. Линеаризованные уравнения

У нас уже есть одно решение задачи (2.1), (2.2), а именно

значение уравнений, линеаризованных около тривиального реше­ ния (3.1). Далее мы будем называть их просто линеаризованными уравнениями. Поэтому при R < Rc задача (2.1), (2.2) имеет единствен­

ходимо более тщательно изучить линеаризованные уравнения. Они имеют вид

где и, Ѳ, р должны иметь вид (2.4) и удовлетворять краевым усло­ виям (2.2).

Число Рэлея R фигурирует в (3.2) как параметр задачи на собст­ венные значения. Мы ищем те значения R, для которых существует

XIII. Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 213

разрешить, заметив, что уравнения (3.2) являются уравнениями Эйлера некоторой вариационной задачи. Действительно, обозначим ячейку через

при дополнительных условиях V -и = О, ДѲ + w = 0 и граничных усло­ виях (2.2), причем и имеет вид (2.4).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Приравнивая нулю первую вариацию, получаем

j (Vu-V8u — # сѴѲ-ѴбѲ) dx = О,

è

где u, Ѳ — минимизирующие функции, Rc = I [и], а 6Ѳ, 8u — произ­ вольные допустимые вариации, т. е. би имеет вид (2.4), причем V-би = = 0, убѲ + 8w = 0. Интегрируя по частям с учетом краевых условий, находим:

Таким образом, вектор Au -f RcQt ортогонален пространству соленоидальных векторов х). Отсюда, как в [13], следует, что Au + /?сѲе— градиент некоторого скаляра, т. е.

что и доказывает наше утверждение.

Следует ожидать, что в силу «эллиптического» характера рас­ смотренной вариационной задачи существует возрастающая после­ довательность собственных значений Rn, которым соответствуют гладкие собственные функции. Кроме того, каждое собственное зна­ чение должно иметь конечную кратность 2). Однако метод, применяе­

в [28], где изложен также и вариационный принцип (3.4). Другой вариационный принцип рассматривается в [27].— Прим. ред.

мый нами для решения задачи (2.1), (2.2), требует, чтобы наименьшее собственное значение R c было простым. Для доказательства этого факта нам придется провести детальный анализ системы (3.2), более существенно используя специальный вид (2.4) наших решений.

Подставляя ряды Фурье для и, Ѳ, р в (3.2) и исключая зависимость от X и у, приходим к бесконечной системе обыкновенных дифферен­ циальных уравнений

Исключая Ejk из третьего уравнения (3.9) при помощи первого, вто­ рого и пятого уравнений, мы приходим окончательно к системе

Заметим, что при всех значениях / и k получается система одного и того же вида. Полагая co2fe = /2а2 Д- kW и опуская для краткости индексы, получаем

из вариационной задачи

1

II LC I2 dz

------------------------ = min,

ö)2 I ((D')2 + wzD2) dz

-1

где LD — —С, а функции С, В удовлетворяют краевым условиям (3.14). Поэтому стандартные теоремы вариационного исчисления [14] пока­ зывают, что собственные значения задачи (3.13), (3.14) неотрицательны (в действительности они положительны — см. лемму 5), имеют конеч­ ную кратность и образуют возрастающую последовательность, стре­ мящуюся к бесконечности.

X I I I . Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 215

Далее мы сведем систему (3.13) к интегральному уравнению с поло­ жительным ядром. По аналогии с теорией Фробениуса положительных матриц наименьшее собственное значение задачи (3.13) простое (для

кие, например, четырежды непрерывно дифференцируемые функ­

Так как L удовлетворяет условиям леммы 2, L имеет отрицатель­ ную функцию Грина G (г, £, со), а L2 имеет положительную функцию

1) В этой теореме нужно дополнительно предполагать (см. [17]), что замы­ кание линейной оболочки конуса к есть все пространство В.— Прим. ред.

XI II . Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 2 1 7

функция уравнений (3.16), обращающаяся в нуль в точке zt. Мы полу­ чили противоречие, и потому R (со) есть простое собственное значение.

Итак, согласно предыдущим леммам, существует простое наи­ меньшее собственное значение R (со) уравнения (3.16), которое поло­

жительно, и соответствующая ему собственная функция С (z, со) положительна в интервале (—1, 1). Из (3.15) следует, что соответст­ вующая функция D (г, со) также положительна на (—1, 1). Функции С (г, со), D (г, со) бесконечно дифференцируемы.

функции от г. Возвращаясь к системе (3.9), легко видеть, что соответ­

функции С (г, со), D (г, со) положительны, четны по z на интервале (—1, 1) и бесконечно дифференцируемы.

Заметим, что из каждого решения системы (3.13), (3.14) можно получить соответствующее решение системы (3.9), (3.10) и (3.2), (2.2). Таким путем получается вся совокупность решений задачи (3.2), (2.2).

Хотя для любых j и k наименьшее собственное значение уравне­ ния (3.16) простое, отсюда еще не следует, что наименьшее собственное значение системы (3.2) также будет простым. Для некоторых со1( со2 может случиться, что R (сщ) = R (со2). Поэтому мы сейчас докажем,

что а и b можно выбрать так, чтобы наименьшее собственное значение системы (3.2) было простым.

Численный расчет показывает [18], что R (со) — выпуклая функция параметра со, минимум которой, равный 106,8, достигается при со ==

и Ь, которые дают простое наименьшее собственное значение обеих систем (3.2) и (3.9). Простота в случае системы (3.2) следует из выпукло­ сти R (со). Указанное выше множество чисел а и b дает те прямоуголь­

ные формы, которые могут появиться при возникновении конвекции.

З а м е ч а н и е . Предельные случаи а = 0 или 6 = 0 соответ­ ствуют двумерным решениям, которые называются валами. В после­ дующем изложении мы исключаем эти решения, т. е. предполагаем,

с технической точки зрения ввиду трехмерности задачи. Случай а = 0 или Ъ — 0 рассматривается аналогично, но его изучение проще, так как задача тогда двумерна. С физической точки зрения валы — более интересный случай, так как они наблюдаются на опыте [1]. Что же касается прямоугольников, то до сих пор неясно, можно ли их полу­ чить.

Поскольку мы не в состоянии доказать теоретически, что R (со) —

выпуклая функция от со, нам придется воспользоваться более громозд­ кими рассуждениями.

Пусть R (со) означает любое собственное значение системы (3.13), <3.14).

Л е м м а 5. R (со) ^ у (со4 + ссо-2), где с — постоянная, не зави­ сящая от со.

Для доказательства достаточно умножить первое уравнение (3.13) на С, второе — на D, а затем применить неравенства Шварца и Пуан­ каре. Подробного доказательства мы проводить не будем.

R c == min R (со) достигается лишь в конечном числе точек интервала

СО

ter, т]. Для этого нам потребуется следующее обобщение одного резуль­ тата Реллиха, принадлежащее Данфорду и Шварцу [19]:

Л е м м а 6. Пусть Т (р) — непрерывный линейный оператор в банаховом пространстве, причем Т (р) аналитически зависит от пара­

результат, но в случае простого собственного значения он сводится к лемме 6.

Л е м м а 7. Rc = min R (со) достигается лишь в конечном числе

Ш£[0, Т]

точек на [ст, т].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Функции Грина G (z, £, со), Н {г, £, со) операторов L и Ь%с краевыми условиями (3.14) имеют следующий

XI I I . Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 219

вид (см. [16]):

sh w (£— 1) sh w (z 4- 1)

Непосредственная проверка показывает, что G и Я — действительные аналитические функции от со по [о, т], а значит, они аналитичны в неко­ торой комплексной окрестности отрезка [о, т]. Поэтому то же верно и относительно линейного интегрального оператора в (3.16), связан­ ного с G и Н. Возьмем его в качестве Т (со) в лемме 6. По этой лемме R (со) — аналитическая функция от со в некоторой комплексной окрест­

ности отрезка [ц, т]. В частности, при со 6 [о, т] функция R (со) —

действительная аналитическая, откуда и следует, что ее минимум может достигаться лишь в конечном числе точек на отрезке Іа, т].

Теперь у нас есть все необходимое для определения таких а и Ь, чтобы система (3.2) имела простое наименьшее собственное значение. Допустим, что Rc достигается в точках со = соь . . ., со„, причем соп — самое большое среди чисел со*. Мы покажем, что для «большин­

Мы исключаем эти п — 1 значений пар (а, Ь).

Теперь рассмотрим случай } = 0. Множество возможных значений

величины b лежит в интервале (0, соп/]К2]. Можно записать, что _ оо

(О, ( ä n / Y 2] = и s m , m=l

где St = {è|co„/]K2>6>con/2}, . .. , 5m =

Если ö£<Sm, то b2, . . (mö)2^co®. Кроме того, эти m функций