книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

и состоит только из изолированных точек, соответствует простое наименьшее собственное значение задачи (3.2).

и будем искать решение, также имеющее вид (2.4). Чтобы оно суще­ ствовало, вектор (f, ф) должен быть ортогонален к решениям сопря­ женных однородных уравнений. Последние можно записать в виде

v - u = о,

где П, Ѳ, Р тоже имеют вид (2.4) и удовлетворяют краевым усло­ виям (2.2). Проверка показывает, что можно положить П = ис, Ѳ = RCQC, Р = рс. Таким образом, необходимое условие, которому должны удовлетворять f, ф, принимает вид

т

Как показывает следующая теорема, это условие также и доста­ точно. Чтобы сформулировать ее, введем некоторые обозначения. Пусть Нт — замыкание множества бесконечно дифференцируемых по X, у, z функций, которые (2я/а)-периодичны по х и (2л/6)-периодич- ны по у в метрике, порождаемой скалярным произведением

X I I I . Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 221

эквивалентна (для функций вида (2.4)) норме | |m, определяемой равенством

Здесь pffi означает pjh и pjk есть коэффициент Фурье функции р.

Детали мы опускаем.

Т е о р е м а 3. Если функции f, ф 6 Нт имеют вид (2.4) и удов­ летворяют условию ортогональности (3.23), то неоднородная систе­ ма (3.21) имеет единственное решение и, Ѳ, р вида (2.4), удовлетворяю­ щее краевым условиям (2.2). Пара и, Ѳортогональна (в смысле ( , )0) паре Uc Ѳс. Кроме того, и, Ѳ £ Нт+г, р € Нт+І и

где а — постоянная. (Как и раньше, норма | и \т вектора и по опреде­ лению равна сумме норм его компонент.)

Эту теорему можно вывести из более общей теоремы Дуглиса и Ниренберга [22] или же непосредственно путем подстановки (3.14) в (3.21), сведения задачи к бесконечной системе обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений, последующего доказательства существования и оце­ нок для этой системы и возвращения к исходной системе. Подроб­ ности см. в [24].

4.Итерационная схема

Вэтом параграфе мы укажем способ построения решения систе­ мы (3.21). Сходимость данной схемы будет установлена в § 5.

Мы знаем, что уравнения (2.1) обладают только тривиальным реше­ нием при R ^ Rc. Это побуждает нас разыскивать решение около

Здесь би, 6Ѳ, Ьр должны иметь вид (2.4), и пара би, 6Ѳ должна быть ортогональна к ис, Ѳс относительно скалярного произведения ( , )0. Параметр е можно считать амплитудой решения. Для сходимости рассматриваемой схемы нам необходимо предположение о малости | е |.

При этом би, 6Ѳ удовлетворяют краевым условиям (2.2).

Введем следующую итерационную схему решения этих уравнений:

Так как уравнения (4.5) имеют вид (3.21), их нельзя решить, если правая часть не удовлетворяет условию ортогональности (3.23). В то же время мы располагаем свободным параметром бRn. Поэтому опре­ делим бRn, потребовав, чтобы правая часть системы (4.5) удовлетво­ ряла условию (3.23). Мы сумеем определить бRn таким способом, если окажется, что при образовании интеграла (3.23) коэффициент при

бRn не равен нулю Но этот коэффициент равен —е \ (Ѳс + ебѲп) wc dx.

Далее, имеем

1 2 я / а 2 п /Ь

-1 0 0

так как D, С > 0 при z 6 (—1, 1)- Оставшееся слагаемое имеет поря­ док е. В ходе итерации выполняется точечная оценка для 6Ѳ„. Поэтому коэффициент при бRn не равен нулю, если величина | е | достаточно мала. Таким образом, можно предполагать, что правая часть систе­ мы (4.5) удовлетворяет условию (3.23). Легко видеть, что если би„, 6ѲП, брп имеют вид (2.4), то это верно и для правой части системы (4.5). Поэтому, согласно теореме 3, можно провести итерацию, и бип+1, 6Ѳ„+1, 8рп+1 также будут иметь вид (2.4). Поскольку ис, Ѳс бесконечно дифференцируемы, это же верно и для бип, 6ѲП, брп согласно теоре­ ме 3 и неравенству Соболева.

В § 5 мы покажем, что данная итерационная схема сходится для достаточно малых е. В этом предположении доказана

Т е о р е м а 4. Существует нетривиальное решение задачи (2.1), (2.2) вида (4.1) для 0 <; е < е0. Это решение бесконечно дифференци­ руемо.

X I I I . Н Е Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т Ь П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Х Р Е Ш Е Н И Й З А Д А Ч И Б Е Н А Р А 2 2 3

С л е д с т в и е . 8R (г) > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По теореме единственности Джозефа система (2.1), (2.2) имеет только тривиальное решение при R ^ . Rc x)

Прежде чем перейти к § 5, проведем более детальный анализ нашей итерационной схемы. Напомним введенное выше условие нормировки

J (VucI |*2+ .ReIѴѲ |2) dx = l.

Чё

Так как — ис, —Ѳс удовлетворяют этому условию нормировки вме­ сте с ис, Ѳс, можно найти второе нетривиальное решение задачи (2.1), (2.2) , используя в качестве исходных данных —ис, —Ѳс вместе ис, Ѳс. Таким образом, мы приходим к следующей теореме:

Т е о р е м а 5. Задача (2.1), (2.2) имеет по крайней мере два нетривиальных решения вида (2.4) для 0 < е С е02).

Будем различать эти два решения, обозначая первое из них через

Д о к а з а т е л ь с т в о получается непосредственным подсчетом. Согласно лемме 9, каждое из уже найденных решений задачи (2.1), (2.2) приводит после преобразования 5 к новому решению. Однако на самом деле эти решения не являются новыми, так как они функ­

ционально зависят от уже известных. Л е м м а 10.

Su-(e) = u+(s), Se-(e) - Ѳ+(е), Sp-(e) = р+(е),

R-(s) = R+(e).

Доказательство опускается.

З а м е ч а н и е . Так как R (е) — четная функция от е, даже без использования теоремы единственности для системы (2.1) приходим к выводу, что решения системы (2.1) могут ответвляться от нулевого решения только по одну сторону от Rc.

См. примечание на стр. 212. — Прим. ред.

2)В [37] доказано, что их ровно два. Недавно Г. К. Тер-Григорьянц показал (работа печатается в ПММ), что если отказаться от условий четности, то возни­ кает ровно три новых решения с точностью до сдвигов в горизонтальной пло­ скости. Это прямоугольная конвекция и два решения типа плоской конвекции.—

Прим. ред.

5.Доказательство сходимости

Вэтом параграфе мы завершим доказательство существования, показав, что итерационная схема (4.5) сходится для малых | е |. При этом в сочетании с оценками (3.25) линейной теории существенно используются рассуждения, связанные со сжимающими отображе­ ниями. Мы будем работать с решением и+, но знак + опустим. Дока­ зательство для решения и- то же самое. По соображениям техниче­ ского порядка наряду с квадратичными оценками нам будут необхо­ димы также и точечные оценки. Поэтому положим

где Kn — постоянная и m ^ 3. Покажем, что если взять | s | доста­ точно малым, то можно выбрать постоянную К п = К, не зависящую от п, так, чтобы последовательности {бип, 6ѲП} и {брп) были огра­ ничены в Нт+г, Нт+І соответственно. Далее, имеем

226 П. Г. РА Б И Н О В И Ч

Так как, согласно (5.7), мы имеем оценки для высших производных от 61І„, 6ѲП, 8Рп, то, используя интерполяционное неравенство [22]

процедура последовательного улучшения гладкости приводит к выво­ ду, что би, 6Ѳ, бр бесконечно дифференцируемы. Точнее, из известных свойств дифференцируемости би, 6Ѳ и лемм 5, 11 следует, что правая часть в (4.2) принадлежит Нт+1, а тогда (би, 6Ѳ) 6 Нт+з> бр € # m+a по теореме 3 и т. д.

Таким образом, доказательство теоремы 4 завершено.

Эта лекция основана на работе [23], где можно найти дальнейшие подробности. По поводу более поздних результатов см. также [24].

ЛИТЕРАТУРА

[1]Krishnamurti R., Finite amplitude thermal convection with changing mean temperature: The stability of hexagonal flows and the possibility of finite amplitude instability, dissertation, UCLA, 1967.

[2]Kosmieder E. L., On convection on a uniformly heated plane, Beiträge zur Physik der Atmosphäre, 39 (1966), 1-—11.

[3]Pearson J. R. A., On convection cells induced by surface tension, J. Fluid Mech., 4 (1958), 489—500.

[4]Chandrasekhar S., Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford

University Press, 1961.

[5] Malkus W. V. R. and Veronis G., Finite amplitude cellular convection,

J.Fluid Mech., 4 (1958), 225—260.

[6]Busse F., Das Stabilitätsverhalten der Zellularkonvection bei endlicher Amplitude, dissertation, University of Munich 1962. (Translation from Ger­ man by S. H. Davis, Rand Corp., Santa Monica, Calif. 1966.)

[7]Segel L. A., The structure of nonlinear cellular solutions of the Boussinesq equations, J. Fluid Mech., 21 (1965), 345—358.

[8]Chorin A. J., Numerical study of thermal convection in a fluid layer heated from below, New York University, Courant Institute of Mathematical Scien­ ces technical reports, 1966.

[9]Joseph D. D., On the stability of the Boussinesq equations, Arch. Rational Mech. Anal., 20 (1965), 59—71.

[10]Veite W., Stabilitätsverhalten und Verzweigung Stationärer Lösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen, Arch. Rational Mech. Anal., 16 (1964),

97—125.

[11]Veite W., Stabilität und Verzweigung stationärer Lösungen der Navier-Sto­ kesschen Gleichungen beim Taylorproblem, Arch. Ratiohai Mech. Anal., 22

[12]Юдович В. И., Пример рождения вторичного стационарного или периоди­ ческого течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой жидкости, ПММ, 29, вып. 3 (1965), 453—467.

[13]Ладыженская О. А., Математическая теория вязкой несжимаемой жидко­ сти, Физматгиз, М., 1961.

[14]Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. 1, Гостех-

издат, М., 1951.

Здесь ur, uq, tiz — физические компоненты скорости, а р — давле­ ние. Эти уравнения допускают точное решение

Граничные условия для вязкого течения состоят в том, что ско­ рость жидкости на твердых стенках должна равняться скорости стенок. В нашей задаче эти граничные условия на цилиндрах г — ц и г = 1 выполняются, если положить

Течение, заданное равенствами (1.3) и (1.4), называется течением Куэтта. Мы хотим изучить условия, при которых это течение устой­

Будем разыскивать решения и, v, w, л, обладающие осевой симмет­ рией, т. е. не зависящие от Ѳ.

Подставим (2.1) в (1.1) и (1.2). Приравнивая нулю коэффициенты при е, получим уравнения, которым подчиняются осесимметричные