Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 262 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

10 Э. Л. РЕЙСС

Постоянную X в (2.1) и (2.2) можно определить. Она пропорцио нальна осевому напряжению в стержне. Положительная постоянная € в (2.4) пропорциональна заданному перемещению конца. Будем называть с параметром концевого сокращения. Физическая постоян ная ß > 0 задана.

Задача (2.1)— (2.4) нелинейная, потому что в (2.2) присутствует (wx)2. Рассмотрим сначала линейную задачу, полученную отбрасыванием

этого члена. Тем самым		(2.2) заменяется выражением
	их (х) = — $Х,			0 ^ х < 1 .	(2.2')
Решение	уравнения	(2.2') есть		и (х) = const — ß?cx.	Постоянная
определяется	при помощи (2.4)		и	равна
следовательно,		с =	ßX/2,		(2.5)
		и (х) =	с (1 — 2х).		(2.6)

Решением задачи (2.1), (2.3) будет w = 0, если только X не совпа дает с собственным значением Хп, заданным соотношением

X — Хп = (шт)2, я = 1 , 2 , . . . .

(2.7)

В последнем случае w кратно собственной функции wn, опреде ляемой формулой

w (х) = Anwn (х) === Ап sin пях, п = 1, 2, . . . .

(2.8)

Здесь Ап — постоянная, которая пока не определена. Из (2.5) и (2.7) заключаем, что при с = сп = ßA.„/2 стержень выпучивается и прини мает форму, которая задается формулами (2.6) и (2.8) с неопреде ленной амплитудой Ап. Величины сп, п = 1 , 2 , . . . , называются критическими концевыми сокращениями. Для сФ сп стержень остается прямолинейным, так как решение задачи (2.1), (2.3) есть

			w (х) = 0.				(2.9)
Теперь	рассмотрим		нелинейную	задачу	(2.1) — (2.4).	Решение
задачи (2.1),		(2.3) для’.ш(х) по-прежнему дается равенством					(2.8)
при X = Хп и		равенством (2.9) при		X Ф Хп. Чтобы получить			и (х)
при X = Хп, подставим (2.8) в (2.2) и проинтегрируем с использова
нием (2.4)	для X = 0.		В результате	получаем
и(х) = ип (х) е=			с — ßÂ,n (1 + -^-) X -		- f r .sin 2nnx.	(2.10)
Применяя (2.4) при х = 1, находим
			с= 4 1+ тг)-			(2Л1)

Уравнение (2.11) выражает связь между концевым сокращением и амплитудой и дает «реакцию» стержня. На рис. 1 приведено графи ческое изображение уравнения (2.11).

I. ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ к о л о н н ы

Для каждого п действительные решения (2.11) при данном Ап могут существовать тогда и только тогда, когда с ^ с п. Решения ответвляются от невыпученной формы Ап = 0 в точках сп. Таким образом, решение линейной задачи определяет точки бифуркации решений нелинейной задачи. Для любого сиз интервала с „ < с<ісп+і существует 2л + 1 решений. При с < ^ потеря устойчивости невоз можна. Из (2.11) мы видим, что dcldAn = cnA j2 $ . Таким образом,

для фиксированной амплитуды А парабола на рис. 1, ответвляющаяся

из сп,		имеет более крутой наклон, чем парабола,		ответвляющаяся
из ст,	если т <		п. Поэтому параболы не пересекаются.
Для		любого	фиксированного значения с ветви	решений можно

классифицировать при помощи соответствующих им значений потен циальной энергии. Так как перемещения задаются на концах стержня посредством (2.4), потенциальная энергия равна внутренней энергии. Она пропорциональна функционалу V, определенному выражением

V = j j [ (wxx)2 + j ( u x + ± w *')2]dx.

(2.12)

Для невыпученной формы'имеют место (2.5), (2.6) и (2.9) и соот ветствующая потенциальная энергия равна

‘'~=4 ( т Г -		<2-,3)
Энергия Ѵп выпученной формы да == Anwn (х) получается		подста
новкой выражений (2.7), (2.8), (2.10) в (2.12) и равна
Ѵп = Хп {2с - с п).		(2.14)
Таким образом,
Ѵп - Ѵ х ^ — \|( с - с „ ) 2< 0 , с > с „,		(2.15)
(Vn- V m) = j ( c n- c m) [ ( c - c n) + ( c - c m)]> 0,	с ^ с п > с т.	(2.16)
Из (2.15) и (2.16) выводим, что для фиксированного с >		прямо
линейное состояние имеет наибольшую энергию,	а ветвь, исходящая

12 Э. Л. РЕЙСС

из Сі, имеет наименьшую энергию. При фиксированном с из интервала сп < с < сп+1 энергии ветвей располагаются в таком порядке:

Ѵ<Я> Ѵ П> Ѵ П_1> . . . > Ѵ 1.

(2.17)

Если мы предположим, что стержень избирает состояние с наимень шей энергией, то для всех с > сх соответствующая форма равновесия имеет вид

w = A±Wi= + 2ß1/2 — l) sin я*.

(2.18)

3. Эластика при заданном на конце давлении х)

Теперь будем изучать краевую задачу для защемленного стержня, сжимаемого заданным осевым давлением. Опытным путем это условие можно реализовать, помещая нагрузку на верхний конец вертикаль ного стержня. Форма стержня определяется функцией ф (л;) (угол между центральной линией деформированного стержня и осью х) и функциями и (х) и w (х) — перемещениями вдоль осей х и г. Она является решением краевой задачи для нерастяжимой эластики:

фж +

^ sin ф =

0 ^ л : ^ 1 ;

(3.1а)

Фх (0)

Фх (1) — 0;

(З.ІЬ)

мж=

соз ф— 1,

wx =

sin ф,

(3.2а)

и (0) — w (0) =

w (1) =

(3.2Ь)

Постоянная X в (3.1а) пропорциональна приложенной нагрузке.

Условия (З.ІЬ) означают, что концы стержня свободно поворачи

ваются. Условие (3.2Ь) означает, что конец л: =

0 неподвижен, а конец

X =

1 обязан лежать на оси

х.

Если решение задачи (3.1) известно, то и и w определяются путем

решения задачи

(3.2).

на

Линеаризация (3.1) и (3.2) около решения ф = 0 приводит к задаче

собственные

значения

Фхх +

^Ф =

0 < л : < 1 ,

Фх (0) =

Фх (1) = 0,

(3.3а)

их =

wx = ф,

и (0) =

w (0)

w (1) =

Эта задача имеет

решения

ф = Ап cos плх,

и = 0,

я =

1.........

(З.ЗЬ)

w = A0 —0, п = 0,

п = 1 , 2,

w = -2- sin пял;,

когда

пи

X = Хп == (ял)2,

я = 0,

1, . . . .

(3.3с)

Значению Х0 = 0 отвечает единственное

решение

ф =

А 0 = 0,

так

что 7о не является

собственным значением.

г) См. также § 6 лекции II.— Прим. ред.

I. П О Т Е Р Я	УС ТОЙЧИВОСТИ	к о л о н н ы	13
Для нелинейной задачи	очевидно, что	всякий раз,	когда я\|) (х),

и (х), w (х) — решение при некоторых значениях X, решениями явля ются также + ф (х) + 2шт, и (х), ± w (х) при любом делом п и том же самом значении X. Кроме того, ± яр (х) + 2 (п + 1) я, —и (х) — 2х, w (х) является решением для —к. Таким образом, без ограничения

общности можно предположить,		что	X ^	0	и что
яр (0) =	а,	0	^ а	^	я.	(3.4)
Первый интеграл уравнения	(3.1а) можно получить, умножая (3.1а)
на ярж, интегрируя результат и	используя (З.ІЬ) и (3.4). Это дает
яр?. = 2Х (cos я); — cos а).						(3.5)

Так как яр непрерывна и удовлетворяет условию (3.4), а правая часть (3.5) должна быть неотрицательной, из (3.5) выводим, что яр

удовлетворяет	неравенству
	[ Ф I ^cc .	(3.6)
Очевидно,	что яр (х) = 0 и ф (х) == я — решения (3.1) и (3.2) для
всех X.
Т е о р е м а . Если 0 <С X < Х1г то ф (х) =		0 и ф (х) == я — един

ственные решения задачи (3.1), которые удовлетворяют условию (3.4).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть яр — другое решение задачи (3.1)

при	Тогда,	применяя	интегрирование по частям с		учетом
граничных	условий	(З.ІЬ), имеем
	і		1
0	= — j	(фж -f Xsin яр) яр dx =		J (яр^ — Яф sin Я])) dx.	(3.7)
	о		о
Так как яр sin яр^ [ яр \| \| зіпяр\|< яр2, то из				(3.7) выводим
		0 > J1	[яр\|-Яяр2] ^ .		(3.8)

Это невозможно, так как из вариационной характеристики наимень

шего собственного значения \			следует, что интеграл в (3.8)					положите
лен для всех 0 < X <	^	и для всех допустимых функций яр (х), не
равных тождественно	постоянной			(X = 0	не	является	собственным
значением (3.3а)).				(3.1)	при	X ^ Хіу	введем новую
Чтобы изучить решение задачи
независимую переменную ф (х), определяемую соотношениями
k sin ф=			sin	, k =	s i n y .			(3.9)
Дифференцируя (3.9),		выразим		фж как функцию фж.				Используя

тригонометрическую формулу для половинного угла, из (3.5) получаем

ф*= р К і — А2зіп2ф, |д,= YX.

(3.10а)

14	Э. Л. РЕЙСС

Мы опустили + перед правой частью (3.10а), потому что соответ ствующие решения отличаются только знаком. Перепишем (3.10а) в виде

(ЗЛ0Ь)

Чтобы проинтегрировать это уравнение, нужно знать область

изменения ф. Из (3.9)	получаем, что sin ф (0)				=	1; отсюда
Ф (0) = Фр =	(	) Jt,	р = 0,	+	1,	dr 2, . . . .	(3.11)
Уравнения (3.5), (З.ІЬ) и (3.9) показывают, что sin2							ф (1) = 1.
Поэтому
Ф ( 1 ) =	Ф , =	^ І ± 1 я і	q = 0, ± 1 , . . . .				(3.12)
Интегрирование (3.10b) при условии (3.11) дает
ф(ж)
цх — f (1—A2sin2ф)“ 1/2йф,				р —0,		dr 1, ••• •	(3.13)

фр

Для каждого р это эллиптический интеграл Якоби первого рода. Подинтегральное выражение есть периодическая функция с перио

дом я. Она достигает максимума, равного (1— &2)-1/2, при ф = ф?

и минимума 1	при ф = пл, п = 0, drl,	. . . . Полагая х = 1 в		(3.13),
получаем	Фд
	Фд	р,
р =	I (1 — &2sin2ф)-1/2<іф,	р,	<7=0, d r l , ... .	(3.14)
.	Фр
Введем полный эллиптический интеграл			первого рода
	Я / 2
	K (k )= j (1 — &2 sin2 ф)- ^/2 <іф.			(3.15)
	о

Интегралы (3.14), взятые по одному периоду, равны 2К- Так как интегралы (3.14) берутся от любого фр до любого фд, то все они выра жаются в виде

р = рт = 2тК (k), т = 1 , 2 , . . . .

(3.16)

Таким образом, для каждого т мы получаем характеристику стерж ня, т. е. соотношение между параметром нагрузки р и мерой дефор

мации k = sin у (см. рис. 2). Так как К (0) = у , то каждая кривая

ответвляется из k = 0, р = pm (0) = тл, которые представляют собой квадратные корни собственных значений линейной задачи (3.3). Итак, линейная задача на собственные значения определяет точки бифуркации для нелинейной задачи.

I. П О Т Е Р Я У С ТОЙЧИВ ОСТ И колонны

Из (3.16) мы находим, что ^ г > 0 для k > 0, и, значит, кривые

на рис. 2 монотонно возрастают. Они не пересекаются. При р,то->- оо имеем /С-^оо, & 1 и а ->(4т + 1) л, т = 0, 1, . . . . Поэтому

кривые цт (k) асимптотически приближаются к k =					1 при р,т ->- оо.
Чтобы	разъяснить вывод о том, что а			(4т +	1) я при k		^ \ ,
определим	осевую компоненту	перемещения		и (х).	Подставляя		(3.9)
в (3.2), получим		ЗС
		ЗС
	и ( х ) = —2k2 j sin2cp (£) dl,						(3.17)
		о
где уже использовано условие и (0) = 0.			Подстановка (3.10b)			в (3.17)
дает	Фд
	Фд
и (1) = — — ( (1—k2sin2 ф)_1/г sin2 ф£?ф,			p ,q = 0, ± 1 , ...			.	(3.18)
И-	J
	фр
Так как подинтегральное выражение в				(3.18)	имеет период я,
то все интегралы в (3.18) выражаются в виде
	и (1) —ит(1) = ^ ^ - 2 m J (k),		т = 1, 2,		... ,	(3.19а)
где
	Я/2
	J (k) = I (1—j%2 sin2 ф)~1/2 sin2 ф <іф.					(3.19b)
	о
Интеграл J (k) можно выразить через полные эллиптические
интегралы. Подстановка (3.16)		в (3.19а)	приводит к равенству
	ит (1) =	- 2 k 2J (,k)IK {Щ.			-		(3.20)
Если	оо, то k —у 1. Из уравнения (3.20) выводим
	lim «m(l) = lim«m(l) =			—2.			(3.21)

16	Э. Л. РЕЙСС

Итак, в пределе правый конец стержня сдвигается влево на рас стояние, равное двум длинам стержня. При k 1 стержень прямо линеен, за исключением «петель», число которых зависит от ветви.

Число внутренних узлов выпученной формы определяется нулями функции w (X). Из (3.2) и (3.9) имеем

w' = sin ф = 2 sin cos -|5 = + 2k sin <p Y \ — k* sin2 cp. (3.22)

Так как dw/dy = w' (dx/dq), из (3.22), (3.10b) и (3.2b) следует, что

w = zb cos ф.

(3.23)

Таким образом, внутренние узлы находятся в тех точках лу на (0, 1), для которых cos ф (Xj) — 0. Из (3.12) — (3.15) для ветви, соответствую щей значению цт , имеем

j2K (k)	/	/ = 0, 1, . . . , т.	(3.24)
1 2тК{к)	т ’	/ = 0, 1, . . . , т.	(3.24)
Следовательно, имеется	т — 1	внутренних узлов.	Описание воз

можных равновесных конфигураций для нерастяжимой эластики можно найти в книге: А. Ляв, Математическая теория упругости, М.— Л., 1935, § 263.

Чтобы решить, будет ли выпучиваться стержень при нагрузке Хт, и выяснить, какая ветвь предпочтительна при любом X > рас смотрим потенциальную энергию. Энергия невыпученной формы ф = 0

равна нулю. Энергия выпученной формы пропорциональна		величине
1	1
V2= j	[ф* + 2Хыж]dx = j [ф! + 2Я(cosф — 1 )\dx.	(3.25)
о	о

Используя (3.5), (3.9) и (3.13), после некоторых вычислений найдем, что

V = W {k) = % [V - 2 + 2 - Щ ] =

= - ± ^ .[2 (E (k )- K (k )) + k * K m .		(3.26а)
Здесь Е (k) — эллиптический	интеграл второго рода, определяемый
соотношением
	Я / 2
E (k)=	j ]/1 — ^2зіп2фгіф.	(3.26b)
	о

При выводе (3.26а) мы применили соотношение k2J (k) = /С (k) — Е (k).

I. П О Т Е Р Я УСТОЙЧИВОСТИ к о л о н н ы

Функции К (k) и Е (k) можно представить в виде степенных рядов, сходящихся при £*2 < 1:

K { k ) = ~ ^ a }k2K	E { k ) = ^ 2 T ^ 2 f k^
i=o	i=o	(3.27)
	2

a0 = \, aj —

> 0 , j = \ , 2 , . . .

Подставляя (3.27) и (3.16) в (3.26) и обозначая энергию выпучен ной формы, которая ответвляется при нагрузке Хт, через Ѵт, найдем

Ѵт= — 2nm2k2K (k) 2 j	- ajk2j^ . 0,
i=l	(3.28)

0г^&2< 1, m = 1 , 2 , . . . .

Здесь равенство имеет место только при k = 0. Таким образом, каждое выпученное решение имеет меньшую энергию, чем невыпученное решение.

Рассмотрим фиксированное значение X из интервала Хп < X <С Хп+1. Мы покажем а), что энергии Ѵт располагаются в таком порядке:

Уп >

Уп-і >

• ■• >

Ѵі.

(3.29)

Пусть km (X),

т = 1, 2, . . .,

я,

представляет

собой значение k ,

соответствующее форме, которая ответвляется при нагрузке Хт =

\Ет(0)

(см. рис. 2),

т. е. km — единственный корень уравнения

(3.16) при

Pm = ^1/2-

Так

как

К. (k) — монотонно

возрастающая

функция,

из (3.16) заключаем,

что km < lki при т >

/. Из (3.26а) для

любых

двух ветвей

при

m >

из

интервала 1 ^

т, I ^

п получаем

vm^Vi_= F{km)_ F{kiy

(3.30)

Продифференцировав

выражение

(3.26а)

для F (k), найдем

Г =

- ^ | [ £ - ( 1 - £ 2)/С]2< 0 .

(3.31)

Здесь использованы формулы

дифференцирования 2)

Е' = (Е — K)/k,

К' =

(Е — (1 — k2) K)!k (1 — k2).

(3.32)

*) Доказательство принадлежит А. Дж. Каллегари.

integrals

for engi

2) См. B y r d

and

F r i e d m a n , Handbook of elliptic

neers and physicists, Springer,

1954. [См. также А х и е з е р

H. И.,

Элементы

теории эллиптических функций, «Наука», М.,

1970. — Прим,

ред.]

2—01285

— ------— ----------------------- .

ш т

ГОС. ПУБЛИЧНАЯ

НАУЧНО-ТіІЛНИЧЕСКАЯ j

БИБЛИОТЕКА С С С Р

18	Э. Л . РЕЙСС

Равенство в (3.31) имеет место только при k = О, так как Е — (1 —k2) К. при k > 0 — монотонно возрастающая функция, что легко показать, применяя (3.32). Поэтому F (k) — строго монотонно возрастающая функция при k > 0. Из (3.30) выводим

> v h т > I,

(3.33)

и соотношение (3.29) доказано. Если мы предположим, что стержень выбирает состояние с наименьшей энергией, то придем к выводу, что при переходе нагрузки X через значение стержень перейдет в одну из выпученных форм, ответвляющихся при нагрузке Хи и будет пре бывать в этом состоянии при всех

ТЕОРИЯ ВЕТВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Джозеф Б. Келлер

1. Введение

Теория ветвления рассматривает решение задач, зависящих от ска лярного или векторного параметра X. Говорят, что при значении параметра X — Х0 решения ответвляются от решения и0, если имеются два или более различных решений, стремящихся к и0 при X, стре мящемся к Х0. Первая задача теории ветвления состоит в определении решений «о и значений параметра А,„, при которых происходит ветвле ние. Вторая задача заключается в нахождении числа решений, ответ вляющихся от м0. Третья задача — определение поведения этих решений при X, близких к Х0. Важно также знать поведение решений для значений X вне малой окрестности А,0, но в теории ветвления этот вопрос не рассматривается. Предыдущая лекция содержит две конкретные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся в явном виде. Поэтому для них разрешимы все пере численные выше задачи. Теперь мы рассмотрим общую теорию ветвле ния решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть и (t) есть я-мерная вектор-функция от t, а / (и, i, X) есть я-мерная вектор-функция от и, і и яг-мерного параметра X, На проме жутке /і ^ t ^ t2 рассмотрим следующую систему я обыкновенных дифференциальных уравнений:

Щ = f («, t, X), ti < t < t2.

(1.1)

Для получения частного решения системы (1.1) следует наложить п дополнительных условий, таких, как начальные, граничные условия или условия периодичности. Чтобы охватить все возможные случаи, введем п функционалов от и (/), которые могут зависеть от значений функции и (t) в произвольной точке или во всех точках промежутка

< *2 и от параметра X. Из этих функционалов образуем я-мер- ный вектор и обозначим его через В [и (t), А,]. Тогда эти я дополни тельных условий можно записать в виде

B [u (t),X ] = 0 .

(1,2)

Задача, которую мы рассматриваем, состоит в нахождении решений u(t,X ) системы (1.1) с условиями (1.2). Для краткости назовем ее

задачей В,

<<< < Предыдущая 12 / 262 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ