Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2626

250			М. М И ЛЬМ А Н
Наш	результат,	как	и раньше, имеет	вид и = щ + ещ + О (е2)
и со2 = <йд + 8со2 + О (е2). Чтобы привести пример, положим F (и) =
= и3.	Тогда при	ö30,	близком к единице,	простыми алгебраическими

выкладками равенство (4.34) можно упростить. Получаем приближен ный результат:

9і42е	®0- 1 1 < 1.	(4.35)
16(1-с о 2)2

Качественное поведение со как функции со0 показано на рис. 7. Чтобы получить Е как функцию от со, исключим теперь со0 из (4.30) и равенства

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

со2 = coj + ecöj + О (е2) или из графиков 6 и 7. Получающаяся нели нейная характеристическая зависимость изображена на рис. 8. Снова находим, что ее поведение аналогично поведению «жесткой» пружины.

XV. ВОЗМУЩЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

251

ЛИТЕРАТУРА

Эта лекция частично основана на диссертации автора «Perturbation theory of nonlinear boundary value problems in mathematical physics», New York Uni versity, February, 1968. Дополнительный материал по этой диссертации можно найти в статьях Millman М. Н., Keller J. В., «Perturbation theory of nonlinear boundary value problems», / . of Math. Phys., 10, № 2 (1969), 342—361, и Keller J. B., Millman M. H., «Perturbation theory of nonlinear electromagnetic wave propa gation», Phys. Rev., 181 (ser. 2), № 5 (1969), 1730—-1747. Близкие результаты в тео

рии возмущений содержатся в статье Keller'J. В., Ting			L., «Periodic vibrations
of systems governed by	nonlinear	partial differential	equations», Comm. Pure
Appl. Math., 19 (1966),	371—420.

	СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редакторов перевода................................................................................		5
Предисловие ......................................................................................................................		6
Введение	...........................................................................................................................	7
I. Потеря устойчивости колонны — элементарный пример бифуркации.
Эдвард Л. Р е й с с .................................................................................................		9
1. В в ед ен и е ..........................................................................................................		9
2.	Краевая задача при заданных перемещениях концов......................	9
3.	Эластика при заданном на конце давл ен и и ...........................................	12
II. Теория ветвления решений обыкновенных дифференциальных урав
нений. Джозеф Б. К е л л е р ................................................................................		19
1.	Введение .....................................................................................................	19
2.	Вывод уравнения разветвления...........................................................	20
3.	Линеаризованная за д а ч а ........................................................................	22
4.	Ветвление для уравнения второгопорядка ....................................	25
5.	П ри м ер .........................................................................................................	29
6. Продольный изгиб неоднородного стержня ..................................		32
Литература .................................................................

III.Доказательство существования выпученных форм круглых пластин при помощи теоремы Шаудера о неподвижной точке. Джей X. Вол-

ковысекий ...............................................................			.	.........................................	35
1.	Введение и формулировка		краевой задач и .........................		35
2. Краевая задача как отображение.......................................................					37
3.	Доказательство теоремы	существования		......................................	38
4.	О бсуж дение................................................................................................				44
5.	Приложение. Свободно опертая пластина.........................................				45
Литература........................................................................................................					45
IV. Формы изгибаупругих колец.			И. Таджбахш,...................................		46
1.	В в еден и е.....................................................................................................	задачи			46
2.	Формулировка краевой	задачи			46
3.	Бифуркация................................................................................................		из функционального анализа . . .		50
4.	Предварительные сведения		из функционального анализа . . .		52
5.	Существование состояний изгиба для р >			3 ..................................	54
6.	Существование решений с произвольной			н ор м ой .........................	57
7.	Численные результаты...........................................................................				59
8.	Заклю чение................................................................................................	1.	С. А нт м ан		60
9.	Приложение: случай п =	1.	С. А нт м ан	..........................................	60

Литература.........................................................................................................		62
V. Задача о бифуркациивтеории сверхпроводимости. Ф. Одех . . . .		63
1.	Введение и формулировка краевой задачи ......................................	63
2.	Бифуркационная задача ...................................................................	64

С О Д Е Р Ж А Н И Е

253

Существование нетривиальных решений для Я, > А,0

...............

Литература .....................................................................................................

VI. Теория бифуркаций в случае нелинейных эллиптических

дифференциальных уравнений и систем.

Мелвин С. Бергер . . .

1. В в еден и е.....................................................................................................

замечания

Исторические

...................................................................

П рим еры .....................................................................................................

в гильбертовом простран

4. Нелинейные операторные уравнения

стве .................................................................................................................

бифуркационных

задач

Формулировка

%L2u...................................

Спектр

линеаризованной

задачи

Liu =

Метод

возмущений

...........................................................................

Случай р =

1 (бифуркация при простом собственном значении)

Случай р >

1 (бифуркация при кратном собственном значении)

10.

Вариационные

операторы

сим м етрией ......................................

операторам

11.

Применения

теории

бифуркаций

к вариационным

107

с симм етрией............................................................................................

Литература........................................................................................................

112

VII.

Теория бифуркаций

случае нелинейных

эллиптических

диффе

114

ренциальных уравнений (продолжение).

Мелвин С. Бергер . . .

12.

Вариационные операторы без

сим м етрии ......................................

114

13.

Уравнения Кармана выпучивания тонкихупругих оболочек

118

14.

Операторы,

представимые

виде

компактных

возмущений

119

15.

тождественного

оператора...................................................................

Применение

степени

отображ ения...................................................

122

Добавление

редактора

перевода

...............................................................

127

Литература...........................................................................................................

127

VIII.

Некоторые позитонные

задачи,

выдвигаемые нелинейной

теорией

129

генерации

тепла. Г. Б.

Келлер...................................................................

1. В в ед ен и е ....................................................................................................

129

2. Лемма о положительных операторах..............................................

решений

131

Существование

несуществование . положительных

134

4. Вогнутые и выпуклые нелинейности

строго..........................................вогнутых

нели

139

5. Ньютоновская

итерационная

схема для

145

нейностей ....................................................................................................

положительных

решений

Устойчивость

148

Литература

.....................................................................................................

(150

IX.

Бифуркационные

явления

теории

поверхностных

волн.

152

Дж. Дж. Стокер...........................................................................................

Общая

формулировка граничной задачи . . ..............................

152

2. Линейная теория малой амплитуды

..................................................

153

3. Теория мелкой воды: уединенные и кноидальные волны . . .

158

Литература.................................

165

X.Теория возмущений условно-периодических решений дифферен

циальных уравнений. Ю. М о зе р ..........................................................			167
1.	Введение ....................................................................................................		167
2.	Периодические	р еш ен и я ..........................................................	168
3.	Типичные задачи для условно-периодических движений . . . .		169
4.	Формулировка	общей проблемы ......................................................	172

254							СОДЕРЖАНИЕ
	5.	Основная		теорема ................................................................................						, .....................................				174
	6.	Уравнения		разветвления..............................						, .....................................				176
	Литература.........................................................................................................													180
XI.	Некоторые задачи о выпучивании в нелинейной теории упругости.													181
	К. Сенсениг			................................................................................................										181
	1. В в ед ен и е .............................				граничной			задач и						181
	2.	Формулировка			граничной			задач и						182
	3.	Частное	решение ....................................................................................											184
	4.	Возмущенная			задача................................................................................									185
	5.	Решение	задачи				1 ....................................................................................							188
	6.	Решение	задачи				2 ...................................................................................							190
	7.	Заключение			............................................................................................									193
	Литература........................................................................................................													193
XII.	Формы равновесиянелинейно упругих стержней. Стюарт Антман													194
	1.	Введение........................................................................................................				основных		уравнений						194
	2.	Формулировка				основных		уравнений						195
	3.	Решение ур авн ен и й ...............................................................................												196
	4.	П рим ер ........................................................................................................												198
	5.	Теоремы существования длянерастяжимых стержней . . . .												201
	6.	Теоремы	существования длярастяжимых							стерж ней....................				204
	7.	Заклю чение................................................................................................												208
	Литература.........................................................................................................													208
XIII. Неединственность							прямоугольных		решений			задачи	Бенара.	200
	Поль Г. Рабинович						........................................................................................							200
	1. В в еден и е.....................................................................................................					формулировказадачи								209
	2.	Математическая				формулировказадачи								211
	3.	Линеаризованные					уравнения...............................................................							212
	4.	Итерационная			схема ...........................................................................									221
	5.	Доказательство				сходимости		............................................................						224
	Литература			................................................................................................										226
XIV.	Изменение устойчивости в течении Куэтта. Г.										Ф.	Вайнбергер . . .		228
	1. В в ед ен и е ....................................................................................................													228
	2.	Задача о	возмущениях .......................................................................											221
	3.	Неотрицательные					операторы ..........................................................							239
	4.	Специальные результаты.......................................................................												233
	5.	Заклю чение.................................................												236
	Л и тер атур а ......................................................................													236
XV.	Возмущение			решений некоторых					нелинейных			краевых	задач.	237
	м .	Мильман												237
	1. В в ед ен и е .....................................................................................................						температурный		режим	в	теле, содержащем			237
	2.	Установившийся					температурный		режим	в	теле, содержащем			237
-3.*		нелинейный источник тепла						............................................................			. .............................			237
-3.*		Самоиоддержнвающиеся колебания*									. .............................			242

4.Вынужденные колебания струны с нелинейной восстанавливаю

щей с и л о й	................................................................................................. 244
Литература.................................................................................................	. 251

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформ лении, качестве перевода и другие просим присы лать по адресу: 129 820, Москва И-110, ГСП, 1-й [Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

Т Е О Р И Я В Е Т В Л Е Н И Я И Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е З А Д А Ч И

Н А С О Б С Т В Е Н Н Ы Е З Н А Ч Е Н И Я

Р е д а к т о р ы Д . Ф . Б о р и с о в а , Н . И .П л у ж н и к о в а Х у д о ж н и к С . А . Б ы ч к о в

Х у д о ж е ств е н н ы й р е д а к т о р В .	И . Ш а п о в ал о в
Т ехн и ч ески й р е д а к т о р А . Д .	Х о м як о в

К о р р ек то р ы С . А . Д е н и с о в а и Л . Д . П а н о в а

С дан о в	н абор 2 4	/X	1 9 7 3 г .
П о д п и сан о	к п еч ати	7	/Ѵ 19 7 4 г .

Б у м а га ти п . № 2	6 0 x 9 0 i / i e = 8 б у м . л .
У ел . п еч . л . 16 .	У ч .-и зд . л . 1 4 ,9 1 . И зд .

№ 1 /6 9 6 9 . Ц е н а 1 р . 4 0 к . З а к . 0 1 2 8 5

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О « М И Р »

М о ск в а , 1-й Р и ж ск и й п е р ., 2

О р д е н а Т р у д о во го	К р асн о го знам ени
М о ск о в с к ая ти п о гр аф и я № 7
« И с к р а револю ц и и »	С ою зп олиграф п ром а

п р и Г о с у д а р ств ен н о м к о м			и тете С овета
М и н и стров	СССР	по д е л а м	и з д а т е л ь с т в ,
п оли граф и и и		кн и ж н о й	т о р го в л и .
М осква	К -1 ,	Т р е х п р у д	н ы й п е р ., 9

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2626

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ