книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Теперь возьмем А' и X, оба содержащиеся в А, причем X' < X.

Вводя определение

1

fu (X, X'; х) = j fu (х, Qu (X; х) + (1 — Ѳ) и (X'; х)) dQ,

о

легко получаем, что в D

L [и (X; х) — и (А/; x)] — Xfu (X, X'; х) [и (А; х) — и (X'; х)] =

= (А —А') f (х, и (X’; х)) > 0. (4.2)

Теперь из леммы о положительности, так как [и (А; х )—и (X', х)] >• > 0 , следует оценка

/ (х, и). Если в дополнение к этому нелинейность вогнута или выпукла, функция рі (А) может быть изучена более детально. Будем говорить, что f (х, и) (а) вогнута или (Ь) выпукла соответственно, если она удов­ летворяет условию Н2' и условию

Если / (х, и) удовлетворяет условиям НО, Н1 и вогнута, то, оче­ видно,

Применение следствия 3.3.3 в случае вогнутой f показывает, что Л содержит интервал 0 < А <; рі (0) и что А* ^ р4 (0). С другой сторо­ ны, для выпуклой функции / следствие 3.3.4 и оценка (4.3Ь) приводят к неравенству А*<;р1 (0). Теперь улучшим эти оценки.

fu (х, и (X; х)) > fu (х, и (Я'; х)) в D.

в условиях теоремы 4.1 мы можем определить функцию р4 (Я) для

образом, функция р4 (А) всегда постоянна при всех А > А*. Поведение этой расширенной функции pt (А) показано на рис. 1 как для вогну­

и А* не принадлежит множеству А (т. е. А открыто).

Из теоремы 4.1 и следствия 4.1.1 для вогнутой / и А < А* мы выводим, неравенство

А ^ pt (А) •< А*.

Далее, устремляя А к А* слева, приходим к (4.7).

Допустим, что А* принадлежит множеству Л. Тогда соответствую­ щее минимальное положительное решение и (А*; х) существует и конеч­

но. Из (4.7) и непрерывности по А слева выводим равенство

=М-i {fu {х, и ( ^ * ; х ) } .

Теперь, так как f (х, ф) вогнута, точно так же, как при выводе (4.5),. получаем

F (х) = /о (х) + [/„ (х, 0) — /„ (х, ф (х))] ф (х),

Р (х) = fu (X, Ф (х)).

Выберем какую-нибудь гладкую ограниченную функцию ф (х) > > и (А*; х) в D. Тогда, применяя следствие 3.3.3, получим, что А* ^

главного собственного значения pj следует тогда неравенство

Pi {fu {х, и (А*, х))} < р! {fu (х, ф (х))}, ч. т. д.

144 Г. Б. К Е Л Л Е Р

Приведенное выше доказательство наводит на мысль, что мини­ мальные положительные решения становятся неограниченными для вогнутых нелинейностей, когда Я-ѵЯ*. Тогда расширенная функция

решены точно (см. [6]), решение остается ограниченным при Х-х-Х*, тогда как ди/дХ-> оо. Тогда X* есть точка множества Л. Есть

основания предполагать, что (4.7) также остается справедливым для выпуклых нелинейностей.

Другое фундаментальное различие между случаями вогнутых и выпуклых нелинейностей относится к единственности положитель­ ных решений. Для вогнутых нелинейностей единственность имеет место:

С л е д с т в и е 4.1.3. Пусть f (х, ср) удовлетворяет условиям НО, Hl, Н2', НЗа (m.e.f вогнута). Тогда положительное решение задачи (3.1)

тельное решение задачи (3.1) для некоторого фиксированного X из интервала 0 < X < X*. Если существует некоторое другое положи­ тельное решение и (X; х) для этого значения X, то оно должно удов­ летворять неравенству

и (X; х) — и (X; х) ^ 0, ф 0 в D.

Далее, В [и— «1 = 0 на 3D, и из вогнутости f мы выводим, что в области D

L[u— u] = X[f {х, u) — f (х, «)] =

fu (X, и) [и— и].

Из теоремы 4.1 вытекает, что X ^ {/„ (х, и)}; следовательно,

можно применить слабую форму леммы о положительности и заклю­ чить, что и (X; х) — и (X; х) ^ 0. Отсюда следует, что и — и = 0,

ч. т. д.

Известно (см. [6]), что в некоторых специальных случаях выпуклых нелинейностей положительные решения не обладают свойством един­ ственности. Следующая теорема содержит условия, достаточные для ■единственности в некоторых случаях выпуклых и более общих типов нелинейностей.

Тогда положительное решение задачи (3.1) единственно для каждого X из интервала 0 < 7 X -< щ {р} .

Отсюда, по лемме о положительности, следует, что ѵу (Я; х) > 0 в D, если 0 < Я < pj (0). Предположим, что (Я; х) > 0 для всех ѵ

^ п — 1. Тогда

Теперь, применяя условие Н4 к (5.2), получаем

Lvn — Ци (х, цп_і) пп > 0 в D, Вѵп = 0 на dD.

Поэтому из леммы о положительности следует, что ѵп (Я; х) > 0 в D, если 0 < Я < pt {/u (х , пп-і)}- Далее, из НЗа следует, что fu (х, і»л) <Г < fu (х, 0) в D для всех п ^ 1. Поэтому из вариационной характе­ ристики (4.4) собственного значения р4 следует неравенство

Рі {/и (*» 0)} < Pj {/„ (х, ѵп)}, п > 1 ,

которым и заканчивается доказательство.

Т е о р е м а 5.2. Пусть f (х, ф) удовлетворяет условиям НО, Н 1, Н2', НЗа, Н4. Тогда для всех Я из интервала 0 < Я < р„ {fu (х, 0)} последовательность [ѵп (Я; х)}, определенная соотношениями (5.1), монотонно убывает, т. е.

Ѵп+і (к ѵп (Я; х), X 6 D, л = 1, 2, 3, . . . .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из свойства строгой вогнутости функ­ ции / (х, и) следует неравенство

Тогда из теоремы Лебега об ограниченной сходимости для инте­ гралов Римана следует, что в (5.7) можно перейти к пределу под знаком интеграла, что приводит к равенству

н (Я; х) = Я j G (х, I) f (I, и {X; I)) dl-

D

Отсюда следует, что и (X; х) — положительное решение задачи (3.1). По следствию 4.1.3, и является единственным решением, ч. т. д.

З а м е ч а н и е . Можно показать точно так же, как в работе Веллмана и Калабы [7], что последовательность {ип(Я; х)} сходится квадратично, т. е. для х 6 D выполняется оценка

шах I ѵп+і — ѵп |< ki шах | ѵп— ѵп_і I2,

где ki — постоянная, не зависящая от п. В то же время итерационная схема Пикара, использованная при определении последовательности {ип(Х\ х)}, вообще говоря, сходится лишь как геометрическая про­ грессия, т. е.

шах I un+l — ип К &2 шах | ип — ип_і |.

Заметим, что мы получили также другое доказательство того факта, что А содержит интервал 0 < X < pt (0) = {fu (х, 0)}, причем

щ (0).

6. Устойчивость положительных решений

Всякое решение и (Я; х) краевой задачи (3.1) можно рассматривать как стационарное решение слабо нелинейной параболической задачи

Точное определение будет дано ниже, но, грубо говоря, мы назы­ ваем и(Х; х) устойчивым, если для всех начальных данных вида

решение задачи (6.1) стремится экспоненциально по t к и (X; х) с точ­ ностью до величин первого порядка по е.

Предполагая, что решение задачи (6.1), (6.2) имеет вид

U (х, і) = и (X; х) + гѵ (х) е~аі + О (е2),

мы находим, с точностью до первого порядка по е, что а и ѵ (х) долж­ ны удовлетворять условиям

Таким образом, нетривиальные решения ѵ ф О существуют тогда и только тогда, когда а есть собственное значение задачи (6.3), а ѵ = = V (ос; х) — соответствующая собственная функция. Если собствен­ ные функции задачи (6.3) в некотором смысле полны, то при некото­ рых ап

V (х) = 2 апѵ(сс„; х)

П

и решение задачи (6 .1), (6 .2 ) с точностью до первого порядка по е имеет вид

U (*, t) = u(k; х) + 8 2 апѴ(сс„; х) е~апі-{- О (в2).

П

Таким образом, у нас есть основание ввести следующие определения:

О п р е д е л е н и я . Решение и (А; х) задачи (3.1) называется устойчивым, если главное собственное значение а = ос4 задачи (6 .3) положительно; оно называется неустойчивым, если а 4 отрицательно, и нейтрально устойчивым, если а 4 = 0. Для любого набора решений задачи (3.1) то из них, которому соответствует наибольшее главное собственное значение задачи (6.3), называется относительно более устойчивым.

Необходимо заметить, что функция / (х, и) предполагается непре­ рывно дифференцируемой по и. Это предположение сохраняется всюду в данном параграфе.

жительное решение относительно более устойчиво, чем любое другое положительное решение при том же значении А. Кроме того, если f (х, и) вогнута (или выпукла), то относительная устойчивость набора

тельное решение задачи (3.1). Обозначим соответствующее главное собственное значение задачи (6.3) через а (А). Тогда (при обычном обозначении скалярного произведения) мы имеем вариационную характеристику главного собственного значения