Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

240	М. М ИЛЬМАН

Наконец, продифференцировав (2.1) и (2.2) трижды по е, положим затем 8 = 0. Получаем

[Д - XS' (Г0)] Г = 3Â0S" (Го) ТТ + hS'" (Го) Г3 -j-

			+	3XSf (Го) Г + 3\S> (Г0) T + 3XS" (Г0) Г2,					(2.21)
				^ = 0 н а		Б.			(2.22)
Краевой задаче			(2.21),	(2.22)	опять соответствует			однородная	зада
ча	(2.7),	(2.8).	Если предположить,			что Х0п — простое собственное
значение, то условие разрешимости приводит к равенству
v =	s w	f è	- 9' «	i ф" ж л + %		s ' (7'»,	i <	d x +
				D			D
		+	*o„S" (Г0) J cp2		dx + 1 ^ S '"		(T0) J	d*] .	(2.23)
				D	П		D

Мы ВИДИМ , ЧТО i n пропорционально An-

Резюмируем теперь наши результаты. Для каждого целого числа

л ^ 0 мы определили решение краевой задачи (2.1), (2.2) в виде
Т п (х, е) = Г0 +	еЛпфп + ^ б2Гге + О (е3),	(2.24)
Я„ (8) = п+	&Хп “Ь б 2Яга h О (е3).	(2.25)

Мы показали, что %п задается формулой (2.15) и пропорционально

А п, а Я„, определенное согласно (2.23), и Тп пропорциональны AI. Поэтому (2.24) и (2.25) — это разложения по степеням еЛ„, т. е.

Рис 1.

по степеням амплитуды линеаризованного решения. Эскиз графика гАп как функции от Xпоказан на рис. 1; ради простоты предполагается,

что S" (Г0) = 0.

Кривая н-го порядка (еЛп)2 — парабола с вершиной в точке бифур кации Я0п, вогнутая в правую или левую сторону соответственно тому,

XV. ВО ЗМ У Щ Е Н И Е Р Е Ш Е Н И Й Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗА Д А Ч

241

положительно или отрицательно X. Единственным исключением является вертикальная прямая Ä,0 (е) = 0 при п — 0.

Этим кривым можно дать следующую интерпретацию. Соответ ственно каждому выбору интенсивности X источника существует некоторое число решений Т (х, X). На рис. 1 изображена амплитуда

еЛ «линейной части» Т (х , X) для X, достаточно близких к бифурка ционному значению Х0п.

П р и м е р . Пусть D — прямоугольный параллелепипед с ребрами длины L i , Ь2 и L g , и пусть 5" (Т0) = 0. Решением задачи (2.7), (2.8) является

Т птр —	8 \ ! / 2	ппх	тли	рлг	(2.26)
Т птр —	I COS-;—-COS		- ~ C	O S - Г -	(2.26)
—	— я 2 р я2 , /я2 , р2				(2.27)
—	-Ц + 7\|-+7\|'J >				(2.27)
где Аптр — произвольная	постоянная	и т,	п,	р = 0,	1, 2............
Тогда равенство (2.15) дает
	Хптр — 0.				(2.28)

Подставляя (2.28) в правую часть (2.13), получаем однородное уравнение, совпадающее с уравнением (2.7), которому удовлетворяет

Т. Поэтому Т пропорционально Т, и, переопределяя соответствую щим образом е, можно получить

				Т п т р — 0.							(2.29)
Подставляя (2.26) — (2.29)				в (2.23),		получаем			в итоге
	V	_	9 п 25 ( Г о )			Г я 2 , т 2 , р 2 1
	птр ~		8LiL2L3[S' (Г0)]2			L	L\	1 L\	Ц	J ‘	(2.30)
Равенство (2.27)		показывает,			что		все	Х0іптр)		имеют	один знак,
а (2.30) — что кривые еЛ как функции от X все вогнуты вправо или
влево в	зависимости		от	знака	5'"	(То)		(рис.	2). Кроме того, если
Li, L 2,	L 3 рационально			независимы,			то	все	собственные значения
простые.

1 6 - 0 1 2 8 5

242		М. МИЛЬМ АН
242
3.	Самоподдерживающиеся колебания
Рассмотрим нелинейное		уравнение
	и„ — ихх +	и =	е/ («,), 0 < X < я.	(3.1)
Здесь	8 — малый параметр, а		/ (щ) — нелинейная	«демпфирующая

сила», которая при малых щ имеет тот же знак, что и щ, и противо положный знак при больших щ. Когда и не зависит от х, а f (щ)

= щ ---- і-м®, (3.1) является уравнением Ван дер Поля. Известно,

что все решения этого обыкновенного дифференциального уравнения стремятся к простому периодическому движению, характеризующе муся единственными амплитудой и частотой, не зависящими от началь ных условий. Поэтому для уравнения (3.1) мы ищем решения и (х, і), периодические с некоторой угловой частотой со:

и (x,t + ^ - ) = u (x,t).

(3.2)

Потребуем также, чтобы и (х, t) удовлетворяла граничным условиям

	и (0,	t)	= и (я, f) =			0.			(3.3)
Для упрощения рассуждений		положим’ f =				cot	в (3.1)—(3.3) и затем
опустим штрихи. Получаем следующую задачу:
со2utt—	ихх +	и =		е/ (ющ),		0 < х < я ,			(3.4)
	и (х, t +			2я) =	и (х, /),				(3.5)
	и (0, t)		=	и (я,	t)= 0.				(3.6)
Будем искать теперь	и (х, t,		г)	и со (е)в окрестности				8 =	0 в виде
рядов Тейлора по е:
и (X, t, е) =	«о ( я , і) +		8и (X, 0		+ - j e2'u (*> 0 +			• •	(3 J )
со (е) = co0- f 8(ö+ Y e2cö+						• • •	•

Уравнения для величин нулевого порядка в этих разложениях можно получить, полагая е = 0 в (3.4)—(3.6). Уравнения для величин более высокого порядка можно получить повторным дифференцированием

(3.4)—(3.6) по е, полагая затем 8 = 0.

Полагая в (3.4) — (3.6) 8= 0, имеем
g>S«oh+ «<>** + «о= 0,	(3.9)
и0(X, t + 2я) = «о (х, 0. “о (0, 0 = Мо (я,0 = 0.	(ЗЛО)
При
^ „ - ( І + и У ' 2	(3.11)
эта система имеет решение

XV. В О ЗМ У Щ Е Н И Е Р Е Ш Е Н И Й Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗА Д А Ч	243
u0n = Ап sin пх cos t -f- Вп sin пх sin t, n = 1,2, . . . .	(3.12)

Амплитуды An и Bn пока не определены. Задавая начало отсчета переменной t, можно принять Вп = 0. Поэтому

и0п—Ап sin пх cos t.		(3.13)
Дифференцируя (3.4) — (3.6) один раз по е и полагая е = 0,		получаем
— «XX + U=	— 2(і)0о)«о(( + f (®о«о<)>	(3.14а)
и (х, t + 2я) = и (х,	t), и (0, t) = и (л, t) = 0.	(3.14b)

Неоднородная задача (3.14) имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть (3.14а) ортогональна (3.12), собственным функциям самосопряженной однородной задачи (3.9), (ЗЛО). Этот критерий разрешимости приводит к следующим требованиям:

2 я я

	(о0(ол2Лп+		J	I sin'nxcos//( — (о0Лпsin пх sin ^) dxdt = 0,	(3.15)
	2 я	Я	о	о
	2 я	Я
	j	j	sinnxsintf{ — щАп sin пх sin t) dx dt—0.		(3.16)
	о	о
Здесь	uot и иш		вычислены из (3.13). Условие (3.15) определяет о
через Ап, а (3.16) определяет Ап.
Для получения				конкретных результатов примем
				f (ѵ) = о— у о3.	(3.17)
Тогда	(3.16) дает
				А , - 0, ± 1 ^ 5 .	(3.18)
Выберем Ап = +				, поскольку другой знак соответствует измене

нию фазы решения. Интеграл в (3.15) равен нулю, поэтому мы получаем

щ = 0.

(3.19)

Подставляя теперь (3.18) и (3.19) в правую часть (3.14а) находим

•• * 4 "і/З

—ихх + и = [sin 3пх sin 3( — 3 sin 3пх sin t — 3 sin пх sin 3/].

(3.20)

Решение задачи (3.20), (3.14b) имеет вид

•	т/з	sin 3пх sin	3t ■		Уз	sin пх sin 3t-
и — — ~					18 (1 +«2)
		Уз		sin 3пх sin t + Dsin пх sin t + E sin nxcost, (3.21)
		18п2

где D и E — произвольные постоянные.

16*

244 М. М И ЛЬМ А Н

Продифференцируем (3.4) — (3.6) дважды по е и положим е —0. В силу (3.19) получаем

®о u tt —	и х х -f-	и — — 2 ш 0со«о» 2ft>oU t f (®ou of) 1
и (x, t +	2я) =	(3.22)
и (x, t +	2я) =	и (x, t), и (0, t) = и (я, t) = 0 .

Из условия разрешимости задачи (3.22) и равенств (3.11), (3.13) и (3.21) следует, что

	£ = 0,					(3.23)
••	У і + п 2 /,	1 ,	9	\		(3.24)
0 —	72 У	«2 +	9		Х	(3.24)
0 —	72 У	«2 +	1+ П 2 )

Объединим полученные результаты и вернемся к первоначальной переменной t. Для каждого целого числа п существует форма колеба

ния вида		_ gy
4 У З		г У з
ип (X, t, е) = — У	1	sin пх cos сопі + « [ — g\|- sin Зпх sin Зсо^ +
’зУі + л 2

Уз	Уз
- Г 18 (Г+ д2)sin пх sin 3a>nt— -Щ5- Sin Зпх sin соnt +
	+ Dsinnxsinco„^J + 0(e2),	(3.25)
со^ e ) = K T + g - 8ay	+ "i ( l - 7b + Tj ^ ) + O H .	(3.26)

Это колебание ответвляется при г = 0 от частного решения линеари-

4 Уз"	(3-26) следует,
зованнои задачи, имеющего амплитуду Зу \| _\| _Т'

что с возрастанием е из-за наличия нелинейной демпфирующей силы частота каждой формы колебаний уменьшается.

4. Вынужденные колебания струны с нелинейной восстанавливающей силой

Рассмотрим описываемые модельным уравнением малые периодиче ские колебания однородной струны, закрепленной на одном конце и гармонически возбужденной на другом, под действием нелинейной восстанавливающей силы. Соответствующие уравнения имеют вид

ult — uxx = eF (и),		0 < х < л ,	(4.1)
и ( 0 , t) — 0 ,	u(n,t) = / I c o sc ö ^,		( 4 . 2 )
u ( x , t + ^ ) = u ( x , t ) ,			(4.3)
S t	U
j [«* + «?— 2e	f F(u)du^^dx—E.		(4.4)
о	о	~

XV. В О З М У Щ Е Н И Е Р Е Ш Е Н И Й Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗА Д А Ч

245

В уравнение (4.1) явно входит восстанавливающая сила порядка малости е, так что наши выводы будут справедливы в окрестности линейного вынужденного колебания. Ниже рассматривается случай,

вкотором силовая функция входит в дифференциальное уравнение,

ане в граничное условие.

Естественно рассматривать со в (4.2) как наперед заданную вели чину, но не считать и (х , /, со, е) аналитической по е для со, близких к резонансной частоте. Поэтому в (4.4) для заданного значения энер гии Е мы будем рассматривать со и и как функции от Е, А и е. Тогда, как мы увидим, и и со обе будут аналитичны по е. Равенство (4.3) выражает требование, что результирующее движение имеет тот же

период,

что

возбуждение.

В задаче (4.1)—(4.4) удобно положить

f = со/,

затем

опустить

штрихи.

Получаем следующую

задачу:

соzUtt — uxx = eF (и),

0 < х < я ,

(4.5)

w (0, /) =

и (я, /) = А cost,

(4.6)

и (х,

/ +

2я) — и (х, /),

(4.7)

у j

+ со2«? — 2е j

F (и)

dx = Е.

(4.8)

Представим и (х , /, е) и со (Е,

А,

г) их рядами Тейлора по 8 в окре

стности 8 =

и (х,

/, е) =

ио (х,

гщ (х, / ) + . . . ,

(4.9)

со

(Е,

А,

е) =

со2 (Е , А)

есо* (Е,

А) + . . . .

(4.10)

Уравнения для первых коэффициентов в этих разложениях можно получить, полагая в (4.5)—(4.8) s = 0, а для следующих коэффициен тов — предварительно дифференцируя эти равенства по 8.

Полагая е = 0 в (4.5)—(4.8), получаем

®оиогг — иохх —0»			0 < х < я ,	(4.11)
	Я
4	J	[ < + й>ХЖ.=о^ = £		(4.12)
	о
и равенства (4.6), (4.7)	с и0 вместо и.		Решением системы (4.11),		(4.6)
и (4.7) является		д
		д		(4.13)
	и0 = —------ sinconxcos/.			(4.13)
	и	SinCÜ0Jt	и	4	'

Подстановка (4.13) в (4.12) дает тогда следующую линейную характе ристическую зависимость между Е и со0:

4п Е { s in шпЯ 2

sin2o)0n;

246	М. М И ЛЬМ А Н

На рис. 3 изображен график Е как функции (4.14) от со0. Пока не выполнено неравенство

(4.15)

уравнение (4.14) не имеет корней со0. При Е -> оо число корней моно тонно возрастает, и они приближаются к значениям со0 = 1 , 2 , . . . .

Поэтому для каждого Е, удовлетворяющего (4.15), существует по край ней мере один корень со0>не равный целому числу. Соответствующая

этому корню конечная функция и0 определяется по формуле (4.13). Продифференцируем (4.5)—(4.8) один раз по е и положим е = 0.

Получаем

п	(oJuih — ^i xx— —	F (и0), 0-<х<Ся,	(4-16)
п		«о
^	^Uoa:ui3cH_®ouoiUit_b2ö)\u%t — ^ F (и) <4uJt=()dx = 0		(4-17)
О		о

и равенства (4.6), (4.7) с щ вместо и. Так как однородное уравнение, соответствующее (4.16), не имеет решений, удовлетворяющих усло вию (4.6), то решение задачи (4.16), (4.6) единственно. Нетрудно найти, что

«1=	Аа>і cos t		Bk	Sin kx -f- 2	Clh	cos jt sin kx,	(4.18)
«1=	sin (О0Я 2	№— (o5		Sin kx -f- 2	fc2-	cos jt sin kx,	(4.18)
	h=l			ft=l
				i—0
где коэффициенты Bk		и Cjk определяются формулами
				о о			(4.19)
		sinö)0x = 2 BkSinkx,					(4.19)
				1
		00			0 < х < ! я .		(4.20)
	F («o) =	2	Cjk cos jt sin kx,		0 < х < ! я .		(4.20)
		k =	i
		»=о

XV. В О ЗМ У Щ Е Н И Е Р Е Ш Е Н И Й Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗА Д А Ч

247

Тогда, подставляя (4.18) в (4.17), получаем

	> Ш ' « И «	S, к
fof	smcofl51 о о	S, к
	■ sn kBfjDh
	&— <£>%

где Du определяются формулой

Лсор ■cos со0х = 2 Dk coskx, 0 < .х < .п .

s in £00л:

h=0

(4.21)

(4.22)

Объединим полученные результаты и вернемся к первоначальной переменной t. Мы определили периодические колебания вида

и	£) = ж Ь г sin	cos ы +	8 [ ж	^ г	2	ж = ц sin kxcos ы +
					k =	i
		00
	+	2	sin kx cos /«>*] + 0 (e2).				(4.23)
		5—0	0
		h—1
	со2 (£, Л, e) =		coj +	ecoj +	0 (e2).		(4.24)

В (4.23) и (4.24) м„ и coj заданы как функции Е, А и е, определяемые согласно (4.14) и (4.21) соответственно. Поэтому (4.23) определяет и (х, t, Е, А, е), а (4.24) —со (Е , А, г). Можно рассматривать эти равенства как параметрические с параметром Е. Из (4.23) видно, что нелинейность приводит к возникновению гармоник с частотой прило женного возбуждения. Соотношение (4.24) можно рассматривать как характеристическую зависимость, которая определяет Е (энергию

при t = — ) как функцию от е, А и о.

П р и м е р .	Выберем	F (и) = —и3.		(4.25)
		F (и) = —и3.		(4.25)
Тогда для I со0	— « \|< С 1»	п — 1.2, . . .,	выражение (4.21)	можно
упростить. Используя полученный результат и (4.24), получаем
	со“ а* со:	9 е А 2	О (в2)*	(4.26)
	со“ а* со:	16я2 (со0 — П)2	О (в2)*	(4.26)

Качественное поведение со как функции (4.26) от со0 при е > 0 отра жено на рис. 4.

Исключим теперь со0 из (4.14) и (4.26) или из графиков 3 и 4. Полу чим Е как функцию от со. Эта нелинейная характеристическая зависи

2 4 8

М. М И ЛЬМ А Н

мость показана на рис. 5. Нелинейность отклоняет линейные характе ристические кривые вправо, как это происходит в случае обыкновен ного дифференциального уравнения, описывающего поведение «жесткой» пружины. Отметим следующие интересные свойства нели нейных характеристических кривых:

(i)неограниченное возрастание со, связанное с резонансом, отсут ствует;

(ii)возможны «явления скачка».

Чтобы показать это, рассмотрим эксперимент, в котором амплиту да At зафиксирована, а частота медленно убывает. Если на рис. 5

О)

мы начнем с точки В, то с уменьшением со энергия Е постепенно убы вает, а затем медленно возрастает, пока не будет достигнута точка С, в которой касательная вертикальна. При дальнейшем уменьшении со

происходит внезапный скачок энергии в точку D, после которой Е опять постепенно убывает. Такое явление можно экспериментально

XV. ВО ЗМ У Щ ЕН И Е Р Е Ш Е Н И Й Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х К Р А Е В Ы Х ЗА Д А Ч

249

наблюдать в системах, описываемых обыкновенными дифференциаль ными уравнениями.

Д е й с т в и е р а с п р е д е л е н н о й с и л ы . Изменим теперь рассмотренную выше задачу, введя в (4.1) распределенную силовую функцию А sin X cos соt и оставляя закрепленными обе концевые точки. Тогда уравнение (4.5) и условие (4.6) нужно изменить следую щим образом:

(£?ии — ихх — eF (и)	= A sin X cos со/, 0 < x < i t ,	(4.27)
и (0, t)	— и (я, t) = 0.	(4.28)

Итак, мы должны решить уравнение (4.27) при условиях (4.28), (4.7)

и	(4.8).	Полагая е = 0, для задачи, соответствующей	(4.27), (4.28)
и	(4.7),	получаем решение
		А	(4.29)
		и0— і _ ш2 sinXcost.	(4.29)

Затем, подставляя (4.29) в (4.8), получаем линеаризованную характе ристическую зависимость (см. рис. 6):

А*

Е [(4.30)

4 ( 1 -cog)

Поскольку возбуждающая сила, будучи пропорциональна sin х, порождает только самую низшую форму колебаний свободной системы, существует единственная точка резонанса.

Продифференцируем (4.27) и (4.28) по е и положим е = 0. Полу чаем

®о uitt — иіхх— — ®i иосі Ч- F (щ)і				(4-31)
я		uo
j [ tiQxulx +	(i>luotult + 2(£>\u It — j F (u) rfa]j=o dx = 0.			(4.32)
о		0
Дифференцирование	(4.28) и (4.7) при	e =	0 только заменяет в них
и на щ. Решение задачи (4.31), (4.28),		(4.7)	имеет вид
	оо
“і =	sinXcost + 2 щ і Ь ш s i n k x c o			s (4• 33>

где коэффициенты cjk определяются согласно (4.20). Подстановка (4.33) в (4.32) тогда дает

		оо			я	і-»8	F (и) du dx. (4 .3 4 )
,2	= (1 — cog)2 у		сд	2 (1 cog)3	г	Г	F (и) du dx. (4 .3 4 )
1	А	х л	1 — cog)2	л A 2	J	J
		j=0			о	о

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2625 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ