книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

30 Д Ж . Б. К Е Л Л Е Р

Если для некоторого п выполняются оба условия (5.5) и (5.6), то при 70, замененном на Хп, выводы теоремы 5 сохраняются. Кроме того, поскольку и0 (t, X) == 0, решение и (/, Ä.), определяемое согласно (4.22),

му по непрерывности при X, близких к Хп, и (t, X) также имеет п про­ стых нулей.

Простым условием, гарантирующим выполнение (5.5) при всех «,

следует, что (5.6) нарушается при всех п. Если выполнено (5.8), мы не можем сказать, разрешимо ли уравнение разветвления относительно

затем в (4.9), получаем решение ип (t, а) задачи (4.1) — (4.3). Поскольку мы знаем, что X (а) можно записать в виде (4.29), существует более простой путь разыскания коэффициента при а2, чем нахождение Ьаа (0, Xn)!b%(0, Хп). Предположим, что V (t, а) и X (а) имеют вторые производные по а при а = 0 и что производные ѵа и ѵаа дважды непре­ рывно дифференцируемы по t. Эти предположения оправдываются условиями, наложенными на g (и, t), и дополнительным требованием, что guuu (0, t) существует и непрерывна по t. Тогда дифференцирова­ ние (4.10)— (4.13) по а при а = 0 дает последовательность задач для производных от V (/, а) и А, (а) при а = 0. Мы уже нашли, что v (t, 0) = = фп (t) и X (0) = Хп. Задача для ѵа задается с помощью (4.18) — (4.20)

Задача для vaa (t, 0) имеет вид

Для того чтобы (5.9) — (5.11) было разрешимо, правая часть (5.9) долж­ на быть ортогональна ср„ — решению соответствующей однородной задачи. Это условие ортогональности дает

<2

Хп j S u u u (0, 0 <Рп (0 dt

3 J & ( 0 , t)<pZ(t)dt tl

Так как Хаа (0) является коэффициентом при a2 в конечном разложе­

В этом случае применима теорема 6, вскрывающая природу бифурка­ ции при X = Хп. Резюмируем результаты этого параграфа в виде двух теорем.

ризованной задачи при и == 0 с соответствующей собственной функ-

ние и (t, X), непрерывное по X, с п простыми нулями в открытом проме­

а остальные условия теоремы 7 сохраняются. Кроме того, предполо­ жим,'что guuu (0, t) существует и удовлетворяет условию

О ^ X — Хп фіуп,в соответствии с тем, положителен или отрицателен интеграл в (5.21), задача (5.16) — (5.18) имеет при Х ф Х п ровно два

отличных от и0.(t, X) == 0 и стремящихся к ы0 = 0 при X, стремя­ щемся к Хп, не существует.

6. Продольный изгиб неоднородного стержня

Применим теперь предыдущую теорию к задаче о продольном изгибе неоднородного стержня, зажатого на концах и подвергнутого заданной

•сжимающей нагрузке. Угол наклонаф (х) касательной к стержню удо­ влетворяет следующему уравнению равновесия и граничным условиям:

Постоянная X в (6.1) пропорциональна применяемому осевому усилию, а А (х) пропорциональна произведению момента инерции поперечного сечения стержня в точке л: и модуля Юнга материала стержня в точке х. Мы предполагаем, что А (х) — положительная и непрерывно диффе­

34 Д Ж. Б. КЕЛЛЕР

В частности, —ф (х) является решением при том же самом к. Можно сформулировать теперь наши результаты следующим образом:

Т е о р е м а 9. Пусть А (х) положительна и непрерывно диффе­ ренцируема при 0 ^ X 1. Тогда для каждого целого положительного п существует положительная постоянная уп, такая, что при кп ^

Эта теорема показывает, что продольный изгиб стержня в п-м типе колебаний при нагрузке кп предсказывается линейной теорией (6.3), (6.4) и состояние изгиба существует для всех нагрузок, несколь­ ко больших кп. Вопрос, продолжают ли они существовать при много больших нагрузках, этой теоремой не решается. Значения + ф п (х, к) при X = 0 задаются формулой (5.15) и показаны на рис. 1. Показано также несколько других решений + ф + 2kn и ± ф + (2k + 1) я. Предполагаемое продолжение каждого решения для к, много боль­ ших, чем кп, изображено штриховой линией.

ЛИТЕРАТУРА

Теория ветвления для обыкновенных дифференциальных уравнений была впервые разработана А. Пуанкаре с целью разыскания периодических решений уравнений небесной механики. Она развивалась и применялась многими авто­ рами, но всегда для случая периодических решений. Основы этой теории при­ ведены в книге Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных диф­

мы следовали пожеланию К- О. Фридрихса рассмотреть краевые задачи и задачи с более общими дополнительными условиями. Мы применили эту теорию к зада­ че § 6; см. J. В. Keller, The shape of the strongest column, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 5 (1960), 275—285. Позже в статье J. В. Keller, H. В. Kel­ ler, Е. L. Reiss, Buckled states of circular plates, Quarterly of Applied Mathematics, 20 (1962), 55—65, она была применена к сингулярной системе четвертого поряд­

ка. Г. Б. Келлер высказал предположение, что применение теории ветвления к краевым задачам можно обобщить, если рассмотреть условия, содержащие линейные функционалы искомых решений. Мы обнаружили, что не более трудно развить теорию, использующую условия, содержащие нелинейные функционалы.

Теория ветвления решений краевых задач для обыкновенных дифферен­ циальных уравнений была развита также в работе О. Vejvoda, On perturbed nonlinear boundary value problem, Czech, math. J., 11 (86) (1961), 323—364.

Примечание переводчика. Задача § 6 рассматривалась также в работе Д. П. Зерагия «О ветвлении решений одной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка», Дифференциальные уравнения, 7, № 9 (1971), 1603—1610. Ветвление периодических решений дифференциаль­

ных уравнений рассматривается в гл. V! книги М. М. Вайнберга и В. А. Треногина «Теория ветвления решений нелинейных уравнений», изд-во «Наука», М., 1969.

Ill

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫПУЧЕННЫХ ФОРМ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПРИ ПОМОЩИ ТЕОРЕМЫ ШАУДЕРА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ

Джей X. Волковысский

1. Введение и формулировка краевой задачи

Рассмотрим осесимметричную деформацию тонкой круглой упругой пластины постоянной толщины, находящейся в равновесии под равно­ мерной сжимающей нагрузкой, приложенной вдоль края. Будем описы­ вать поведение этой пластины нелинейными уравнениями Кармана [1], которые для нашей задачи можно свести к системе четвертого порядка:

где обыкновенный дифференциальный оператор G определяется выра­ жением

перемещения и Р — 1 — безразмерное радиальное напряжение. Пред­ положение о симметрии и гладкости приводит к условиям

стины жестко защемлен, то должны выполняться дополнительные граничные условия

Q( 1) = о, р (1) = о. (І.ЗЬ)

Первое условие означает, что угол наклона на краю равен нулю, а второе — что радиальное мембранное напряжение на краю равно заданному горизонтальному давлению.

Для всех X краевая задача (1.1) — (1.3) допускает тривиальное реше­ ние Q (г) == 0, Р (г) = 0, соответствующее состоянию чистого радиаль­ ного сжатия. Это решение называется невыпученной формой. Другие действительные решения называются выпученными формами. Ёсли (Q (г), Р (г)) — нетривиальное решение задачи(І.І) — (1.3)для фикси­ рованного значения X, то (—Q (г), Р (г)) есть также решение этой задачи для тех же значений X. Поэтому выпученные формы встре­ чаются парами, которые различаются только знаком Q.

Задача (1.1) — (1.3) может быть линеаризована около невыпученной формы, что приводит к линейной краевой задаче второго порядка:

что имеется одна пара выпученных форм без внутренних узлов для всех значений X, больших А,ь и что не существует других выпученных форм, когда X равно или меньше, чем Х2. Во второй статье было уста­ новлено, что для каждого положительного целого числа п существует пара осесимметричных выпученных форм с п — 1 внутренними узла­ ми, когда нагрузка X немного больше, чем Хп. В нашей лекции показа­ но, что эти пары выпученных форм продолжают существовать при всех X > Хп. Точнее, будет доказана

ствительных решений задачи (1.1)—-(1.3), причем члены каждой пары отличаются только знаком функции Qj. Каждая Qj имеет / — 1 вну­ тренних узлов.

Эта теорема будет доказана сведением краевой задачи (1.1)—(1.3) к виду, допускающему применение теоремы Шаудера о неподвижной точке. Новое здесь состоит в том, что эта теорема использована в нашей работе для доказательства существования более чем одного решения. Однако мы не доказываем предположения о том, что таким путем можно найти все выпученные осесимметричные равновесные формы.

В приложении мы покажем, как изменить доказательство теоремы существования, чтобы можно было получить аналогичную теорему для пластины со свободно опертым краем.

Э Отметим, что исследование вопроса о числе решений и определение соответствующих форм равновесия после потери устойчивости проведено Воровичем[8] при помощи аналитического метода Ляпунова — Шмидта в значительно более общей ситуации (для кольцеобразной пластины при заданной равномерной поперечной нагрузке и с учетом реакции основания). В случае пластины про­ извольной формы наиболее общие результаты по вопросу об оценке числа реше­ ний содержатся в работах Воровича [9, 10].— Прим. ред.

Здесь с) — собственные значения, а qj — соответствующие собст­ венные функции линейной краевой задачи (2.2), (2.3). Уравнение (2.2) есть просто уравнение (1.1), где Р заменено на cfф, а Q — на cflj. Равенство (2.4) дает условие нормировки собственной функции qj,

а (2.5) представляет собой интегральную форму уравнения (1.2) вместе

скраевыми условиями Р (0) = 0 и Р (1) = 0, причем функция Q заменена на c,qj, а Р — на С/ф7-. Так как собственные значения с) задачи (2.2), (2.3) простые, равенства (2.2)—(2.5) для каждого за­ данного сf определяют единственное отображение функции ср в %, которое мы представляем равенством

Ввиду связи между отображением (2.6) и нашей первоначальной граничной задачей (1.1)—(1.3) ясно, что существование нетривиальных действительных решений задачи (1.1)—(1.3) можно установить, дока­ зав, что для положительных cf отображение Tj имеет неподвижную точку.

С этой целью мы применим следующую форму (см. [5]) теоремы Шаудера о неподвижной точке: компактное отображение замкнутого выпуклого подмножества банахова пространства в себя имеет непод­ вижную точку. В следующем параграфе мы докажем нашу теорему существования, установив, что Tj на Se удовлетворяет предположе­ ниям этой теоремы и что соответствующие решения (Qj, Pj) с Qj = =c,-qj и Pj = cjxpj имеют требуемое качественное поведение.

3. Доказательство теоремы существования

З а м е ч а н и е 2. Из теории Штурма — Лиувилля следует, что задача (2.2), (2.3) имеет бесконечное число простых собственных зна­ чений cf, причем их единственная точка сгущения есть —оо. Позднее мы увидим, что эти собственные значения имеют конечную верхнюю грань, так что можно их упорядочить, причем с\ будет наибольшим:

значение с\ задачи (2.2), (2.3) удовлетворяет неравенству

(3.2)

Кроме того, собственная функция qj ( / = 1 , 2 , . . .), соответ­ ствующая собственному значению с), имеет только / — 1 внутренних нулей.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим следующую задачу на соб­ ственные значения:

l - ß * O 0 , т. е. ß j < y .

Так как ф ^ т£ (г), из теоремы сравнения Штурма следует, что

^ < ß f ,

следовательно,

Явное решение задачи на собственные значения (3.3), (3.4) пока­ зывает, что Zj (г) имеет / — 1 внутренних нулей. Из теоремы сравне­ ния Штурма мы поэтому выводим, что qj (г) также имеет / — 1 внут­ ренних нулей.

Заметим, что предположение ф 6 SE существенно для заключения о том, что <7у имеет / — 1 нулей, так как существуют функции ф из мно­

множество собственных функций, первая из которых q± имеет много внутренних нулей для достаточно больших X.

Мы интересуемся только положительными собственными значе­ ниями с), так как они отвечают действительным решениям. Следующая теорема дает условия существования положительных собственных значений.

Т е о р е м а 2. Если X > Хп и ф 6 Se, то существует п положи­ тельных собственных значений с}, j = 1 , 2 , . . . , п. Кроме того,

(3.5)