книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

100 М. С. БЕРГЕР

Так как и£дА н, то

V i -о

— О у (LjU, и)-f j (и, N1{xu)) dx = 0.

В силу свойств множества дАк, вытекающих из его определения, это последнее равенство может выполняться в том и только том случае,

если о = 0. С другой стороны, если t = — ] / l — а, то равенство

дает

-V 1 - 0

— Oy^jM, u ) + j (и, Ni (xu)) dx = 0.

Иснова это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда

а= 0.

Чтобы доказать, что дАв гомеоморфно д2н и что этот гомеоморфизм осуществляется при помощи лучей, проходящих через начало, пред­ положим, что и 6 дАв и tu £ Ö2H. Тогда

1

у {LiU, и) + j (и, Ni (su)) ds = R

^-{Liu, u) = R.

Поэтому, разрешая эти уравнения относительно t 2, находим, что

ц — tu определяет взаимно однозначное и взаимно непрерывное ото­ бражение дАн на <ЗЕН.

Симметрия дАн относительно начала сразу же следует из того факта, что если и в дАн, то, так как А = Li + Ni — нечетный опера­ тор, —и также принадлежит дАв .

женный линейный оператор; (іі) В (—и) = —В (и);

ного слабой топологией, в это же пространство, наделенное сильной

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение леммы является непосред­ ственным следствием нечетности операторов А и В.

Перейдем теперь к вычислению нелинейных инвариантов для бифур­ кационных задач, связанных с операторами классов I или II. Как было упомянуто в начале этого параграфа, этими инвариантами будут некоторые критические точки сп (R) вариационного принципа V (R).

Чтобы определить связи, соответствующие этим критическим точкам, мы исследуем «нелинейные» подмножества единичной сферы и много­ образия дЛн, используя свойства топологического инварианта, описы­ ваемого в ближайших параграфах.

Обозначим через Рд бесконечномерное действительное проективное пространство, получаемое отождествлением антиподальных точек сферы

02н = { « | j| M I2 = P }

гильбертова пространства Я.

Определим теперь категорию Лютсерника — Шнирельмана замкну­ того подмножества Л относительно P “ обозначаемую символом cat ^Л,

как наименьшее целое число k, для которого существует покрытие Л замкнутыми множествами А и . . ., A k из Рд, каждое из которых

гомотопно точке относительно P r . Если такого числа не существует,

то положим cat ооЛ = оо. Это определение согласуется с определерв

нием Дж. Шварца, приведенным в [28], где рассматриваются также

многие свойства этого инварианта. Само пространство Рд обладает относительно категории некоторыми специальными свойствами. (Они упоминаются в [lb] и были известны Л. А. Люстернику [29] еще в 30-х годах.) В частности,

(i)cat ооРд^оо; рн

(ii)Рд содержит множества каждой категории п = 1, ... . Дей­

ствительно, cat ооРд = т + 1 ; рн

102 М. С. Б Е Р Г Е Р

(ііі) если Х и Y — проективные пространства и X с Y, то catx A =

Категория Люстерника — Шнирельмана является топологической величиной, и поэтому она может быть определена для пространства

дЛд, т. е. множества дАк с отождествленными антиподальными точ­

ками. Пространство дАн гомеоморфно Яд» и, следовательно, упомя­ нутые выше свойства (і) — (ііі) для него тоже справедливы. Важно также отметить, что категория инвариантна относительно гомеомор­

физма т: дАд — Яд, индуцированного гомеоморфизмом т: дАп-+ $2Н из теоремы 10.3.

Значение понятия категории для настоящей работы определяется его применением к изучению возмущения вырожденных критических точек квадратичных функционалов, выражающихся кратными интегра­ лами. Действительно, гомотопические классы, порожденные на дАв категорией Люстерника — Шнирельмана, дают нелинейный аналог ортогонального дополнения. Дальнейшие свойства категории будут приводиться по мере необходимости.

Мы можем определить теперь нелинейные инварианты бифурка­ ционных задач, содержащих операторы класса I или II. Этими инва­

риантами являются числа

1

^An,a [J/]„ — совокупность всех таких множеств на дАн для фиксирован­ ного целого п.

Для обоснования утверждения, что эти числа действительно обра­ зуют множество нелинейных инвариантов нашей задачи, мы докажем следующие факты:

(i) для линеаризованного уравнения L\U = XL2u инвариантами сп (Я) являются собственные значения ЯлД, которые считаются столько раз, какова их кратность;

(ii) существование при достаточно малых Я решения полного нелинейного уравнения Аи = ХВи в каждом классе [Ѵ]п на дАв с соответствующим «собственным значением» Xn(R)\

(iii) «устойчивость» чисел сп (Я) относительно нелинейных возму­

ветвей решений нелинейного уравнения в окрестности р-кратного собственного значения линеаризованной задачи Ь^и — XL2u. (Этот факт будет доказан ниже в теореме о бифуркации.)

Л е м м а 10.5. Пусть S есть п-мерное подпространство элемен­ тов {и} бесконечномерного гильбертова пространства Н и Т -=

VJ. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У Ч А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й ЮЗ

= {и I и 6 S, Y II и И2 = R}. Пусть Р д -1) — множество элементов,

полученное отождествлением антиподальных точек множества Т, рассматриваемое как подпространство Р„. Тогда cat «, Рң1-11 = п.

Доказательство этого результата является непосредственным след­ ствием свойств (іі), (ііі) категории Люстерника— Шнирельмана и того

факта, что cat рпРп = п + 1.

З а м е ч а н и е . В этих обозначениях обычный принцип минимакса Куранта — Фишера можно записать следующим образом:

Этот принцип справедлив также для собственных значений крат­ ности > 1 , если каждое Ап считается столько раз, какова его кратность. В следующем утверждении устанавливается аналог этого факта для «нелинейных» подпространств на сфере как допустимых множеств.

Кроме того, Хп1 (R) = АД для некоторого собственного значения Хт задачи Llu = XL2u. Согласно лемме 10.5, имеем АД АД и, по опре­ делению, А71 (R)=Xl. Таким образом,

АГ1 ( Р )> АД ( Р )> АД ( Р ) > . . .

104 М. С. Б Е Р Г Е Р

Д о к а з а т е л ь с т в о . Этот результат является непосредствен­ ным следствием работы автора [lb] (теорема IV.3.1) или Браудера [30]; в несколько ином виде он содержится в работах Дж. Шварца [28], Пале [31] и Красносельского [12]. Доказательство опускается.

Исследуем теперь устойчивость чисел сп (R). Обозначим через сп (R)

значения критических точек функционала у {Ьги, и) на 52л, вычис­

ленные с помощью обобщенного принципа минимакса Куранта

(лемма 10.6), а через сп (R) — соответствующие критические точки

1

функционала у (L2u, и) + J {и, N z (su)) ds на дАв , вычисленные

о

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У Ч А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ю 5

вость критических чисел сп (R) выражается во всех случаях следую­ щим результатом:

Л е м м а 10.7. Имеет место неравенство |сп (£>)— cn (R )\^.K R °, где сг> 1 — некоторая постоянная.

Последние два знака равенства основываются на сохранении классов [К]п и [Ѵ']п при гомеоморфизме t: dAR->- 02д. Таким образом,

\~cn (R) -с „ (/?)|<

где а > 1 .

Основным в этом параграфе является следующий результат, уста­ навливающий связь между числами сп (R), существованием «малых» действительных решений нелинейного уравнения Аи — № и и их числом.

Т е о р е м а 10.8. От каждого собственного значения уравнения LiU — %Ь2и в случаях (а) или (Ь) ответвляется по крайней мере одна ветвь нетривиальных решений нелинейного уравнения (Lj + JV}) и = = X (Ь2 + N 2) и. От собственного значения Хп кратности р ответв­ ляется по крайней мере р таких ветвей.

«собственное значение», соответствующее решению задачи А и = КВи на дАн в гомотопическом классе [ѴЧП.

где и — собственная функция задачи Ltu = %Ь2и на dhR с собствен­

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У Ч А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ю7

С другой стороны, предположим, что сп (R) = cn+i (R) для некоторого і и малого R. Тогда, по лемме 14 работы Дж. Шварца [28], эти ветви не исчезают, и, более того, они образуют континуум решений, «соеди­ няющий» ип (R) и ип+і (R), т. е. различные ветви образуют (п + 1)- мерную поверхность.

11.Применения теории бифуркаций к вариационным операторам

ссимметрией

Мы рассматриваем здесь две основные задачи. Первый пример из нелинейной теории упругости служит иллюстрацией бифуркацион­ ной задачи для случая (Ь), а второй из теории периодических решений автономных систем иллюстрирует случай (а).

П р и м е р 1 *). Уравнения Кармана зажатой тонкой упругой пластины.

Уравнения Кармана для тонкой зажатой пластины были приведены

г) См. также [38].— Прим, перев.

Если предположить, что на dß действуют только сжимающие силы,

сматривается как однозначно определяющее / по известному да. Урав­

нение (11.6) рассматривается в гильбертовом пространстве Н = W2,z (ß) с нормой

1МІ2,2= 2 { |D “« |2dQ. I а 1=2 a

Используя методы § 10, можно переформулировать (11.6) в виде уравнений Эйлера — Лагранжа следующей вариационной задачи:

найти критические точки функционала у (Lw, да) на поверхности

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л УЧ А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Ю9

Кроме того, можно показать, что С (w, w) ^ 0 и [| Cw — Cv ||<

Те о р е м а 11.2. Для уравнения Кармана и + Си = KLu справед­ ливы следующие результаты:

Те о р и я с у щ е с т в о в а н и я .

(i)От каждого собственного значения линейного уравнения и — KLu ответвляется по крайней мере одна ветвь нетривиальных решений нелинейного уравнения. Это только те точки К, в которых разветв­ ляется нулевое решение.

(ii)Эти ветви могут быть продолжены до больших значений норм.

Те о р и я к р а т н о с т и .

(Ш) От простого собственного значения задачи и = KLu ответв­ ляется только одна ветвь решений.

(іѵ) От собственного значения Кп кратности р задачи и — KLu ответвляется по крайней мере р ветвей решений.

С п е к т р а л ь н а я т е о р и я .

Д р у г и е р е з у л ь т а т ы .

(ѵііі) Для любого ответвившегося решения и потенциальная энер­ гия V (и) отрицательна.

(іх) Для равномерно сжимаемой круговой пластины при малых прогибах радиальная симметрия собственных функций линейной задачи сохраняется.

Приведем доказательства этих результатов.

(i) является следствием абстрактных теорем 5.1 и 10.8, когда оператор А = + С принадлежит классу I, а В = L 2— классу II.

(ii)является следствием теоремы Штурма — Лиувилля 10.7.

(iii)является следствием теоремы 8 .1 .

(іѵ) является следствием теоремы 10 .8 .

(ѵ) требует специального доказательства. Предположим, что суще­