Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

9 0 М. С. Б Е Р Г Е Р

где Р і	— однородный			оператор	степени pt >		1	(т. е.	Pt (ои) =
= сіп Рі(и),		р і>	1) и
		И P tu -	P tv \|	\| < ko { IIи f	r 1^ +	IIр0 - 1 }	IIи -	о II,
		1№ -ед< м 1М 1рЖМ1р,>
с постоянными k0 и ki, не зависящими от и и ѵ.
Л е м м а		7.1.	Если	при сделанных выше предположениях или (а)
Ni (и) =	0,	или (b) N г (и) = 0, то			первое уравнение			(7.4)	однозначно
разрешимо относительно у и решение зависит от (еь								. . .,	ер). Кроме
того, для реиіения у =				у (еь . . .,	ер) справедлива следующая оценка:
II У II	I е ірі >где I е \| = \| е4 \| +				. . . +	\| ер \|	й k3> 0		не зависит
от (ги	. ..,	8р).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно рассмотреть случай (а), так как случай (Ь) совершенно ему аналогичен. Кроме того, достаточно показать, что отображение

		Tsy~{y-Ei — Е2 У1 Р (N2					(y-h 2! eiui))
							г—1
при достаточно малом (е \| — \|					1+ . . . +		\|ер \| и	£ = (6!,		. . . , ер), опре
деленном неравенством				\|\| г/\|\| <	\| е \|,	является		сжимающим. С			этой
целью получим следующую оценку:						пусть у, у £ Н			и \|\| у \|\|, \|\| у \|\| <		\| в \|;
		V			V
положим и = у-\- 2 егиг> и = У+ 2						Eiuh тогда
		і=і			г=1
IТгУ -	Tty II <	И(liLi -	U) II - II Nz (и) -			N2(Й)\|К
<	kkt { II у \|\|Рг" 1 +		II У\|\|р*“ 1 +		1е \рі- ‘} IIу - у I«				3kkt I е \|рг"1II г/-		у II.
Поэтому при		достаточно малых \| е \|					можно	найти		положительное
число	а < 1,	такое,	что	\|\| Теу — Теу \|\| ^ а \|\| у — у \|\|. Следователь
но, уравнение Теу — у имеет единственное решение,										т. е. если	\| г \
достаточно мало, то у однозначно определяется через е = (elf . . .,											ер).
Более того, решение у этого уравнения в шаре \|\| у									\|\| ^	\| г \| удовлетво
ряет неравенству
!МІ = II Т&у		Т0у-\- 7'0г/\|\|<;\\Тгу— Т0у У+ II Toy \|\|-<

<k { IIN2 (и) - Nz (у) И+ IIN2 (у) ||}< 2AAt I в |рі.

8.Случай р = 1 (бифуркация при простом собственном значении)

Для операторного уравнения (7.1) в предположениях § 7 мы даем здесь довольно полный анализ существования, числа решений и спек тральной теории.

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л УЧ А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й				91
Т е о р е м а 8.1 (существование и число решений). Пусть уравне
ние (7.1) удовлетворяет	предположениям	§ 7	и выполнено условие
(PtUi, щ) Ф 0, і = 1, 2,	где и1— нормированная собственная функ
ция задачи Lpi — ХпЬ2и. Тогда в случае (а)		или в случае (Ь) для собст
венных значений X, близких к Хп, уравнение (7.1) имеет единственное
однопараметрическое семейство решений		малой	нормы.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно		рассмотреть случай		(а),

поскольку случай (Ь) совершенно ему аналогичен. Согласно лемме 7.1, если I е I достаточно мало, нужно рассмотреть только второе уравне ние (7.4). Следовательно, мы должны рассмотреть действительные решения е уравнения

8 (\|і — р„) =	(Р2 (w) + R 2	(w),	Ui),	(8.1)
где w = у + е«і. Покажем	теперь, что при		достаточно	малых е,
исследуя решения более простого уравнения
е (ц — И*) = (Р2 (е«і),		Ui),		(8.2)

можно полностью описать решения уравнения (8.1). С этой целью отметим, что справедливы следующие неравенства:

I (Р2 (w) — Р 2 ( e u i) , U i) \^ k о ! 8 \|м +1,				(8.3)
I (R2 (w), Mi) I		=	О (I в I»).	(8.4)
Из них следует, что при достаточно малых \| е \| уравнение (8.1)				можно
записать в виде
е (р — р„) = (Р2 (8«і) +	Р 2 iw)	Р 2 (еUi) + R z iw), Ui) =
= ІР2 (8Mi), Ml) +	ІР2 iw) — P2 (euj), Ui) + (P2 iw), Ul) =
		-	(P2 (etii), Ui) [ l + o (1)].	(8.5)

Исследуем теперь решения уравнения (8.2). Во-первых, отметим, что

для	8 = 0 мы имеем у = 0,	и поэтому уравнение					(7.1) при X — Хп
имеет только тривиальное		решение			и — 0.	В силу однородности
оператора Р 2 при 8 + 0 имеем
	е1 -Р* (р — рп) =		(Р2 іщ), Ui) = const.					(8.6)
Поэтому при достаточно малых			\|	е \|	решения	нелинейного		уравне
ния	i h + Ni) и = X (L2 +	N z) и		в	окрестности		X — Хп	образуют
однопараметрическую ветвь и (е),					такую,	что	lim X (е) = Хп и
lim	Ии (е) II = 0.
£-*0

С п е к т р а л ь н а я т е о р е м а 8.2. В предположениях тео ремы 8.1 локальное поведение однопараметрической ветви качест венно описывается четностью чисел рі, р2, знаком выражений (Р^Мі, іц) (і = 1, 2) и знаком Хп. .

92	М. С. Б Е Р Г Е Р

Д о к а з а т е л ь с т в о . Случай (а). Согласно теореме 8.1, нужно только исследовать уравнение

8і-Р2 (ц — цп) = (Р2(и1), щ).

По предположению, (Р2 (щ), щ) Ф 0, и поэтому

= ((X — fxn) (Р2 (ы±), Mi)- 1 .

(8.7)

Таким образом, качественная зависимость X = X (е) от е вблизи X = = Хп определяется четностью или нечетностью р2и знаком (Р2 (щ), щ).

С л у ч а й (Ь). Как и в случае (а), уравнения (7.4) можно свести к уравнению

&1~РІ (ц — |т„) = —\i(P i {Ui), Ui).

Поэтому е ^ - 1 = — (fi — ц„) {Pi{üi), щ)~г, откуда и следует утвержде-

ние теоремы.

С л е д с т в и е 8.4. Пусть выполнены предположения теоремы 8.1. Тогда ветвление имеется в правой полуокрестности Хп (Хп положи тельно) и отсутствует в левой только при выполнении следующих условий):

в случае (а), если	{Р2щ,	wt) <	0, р2 нечетно,
в случае (Ь), если	(Рщи	щ) >	0, рі нечетно.

С л е д с т в и е 8.5. В предположениях теоремы 8.1 бифуркацион ная картина имеет следующий вид:

Рис. 1.

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У ЧА Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

9 3

Доказательства этих следствий вытекают непосредственно из следую щих уравнений:

случай (а): е^г-і = (р, —р„) (Р2щ, щ)-1,	(8.8)
случай (Ь): ері_1 = — ^ (р — рп) (РіЩ, Щ)'1-	(8.9)
Г

Отметим, что в силу результатов § 6 приведенный здесь анализ применим к любым вопросам теории бифуркаций для краевых задач с дифференциальными операторами, функции Грина которых поло жительны или являются осцилляционными ядрами (в окрестности наименьшего собственного значения).

9. Случай р > 1 (бифуркация при кратном собственном значении)

Кратные собственные значения Хп линеаризованного уравнения LiU = XL2u требуют более глубокого исследования и более подробного анализа. Этот трудный случай, известный под названием «вырожде ния», будет рассматриваться далее вместе с вопросами о существовании и числе решений. В этой связи на возможность получения серьезных результатов указывает теорема Реллиха (§ 3, пример 8). Ниже рас сматривается только спектральная теория таких задач.

Т е о р е м а 9.1. Пусть Хп — собственное значение кратности р > 1 уравнения Ьщ = ХЬ2и с нормированными собственными функ циями щ, . . ., Up. Тогда в предположениях теоремы 8.1 в случаях (а) или (Ь) можно дать локальное описание поведения решений (если они

существуют) уравнения	(7.1) при условии, что для достаточно малых
I е I = I ei I + . . . + I	ер I ф О
	Сіщ) ,	2 Сіщ)фО, 1 = 1,2.	(9.1)
і — 1		i = l

Локальная характеристика является тогда односторонней в том смы сле, что бифуркация имеет место только при Х > Х п или Х< іХп, но не с обеих сторон.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассматривается случай (а) (случай (Ь) совершенно аналогичен). Согласно лемме 7.1, достаточно исследовать р уравнений

еДр — F'n) = № (» )1«О» г‘= 1 . •••>			Р>		(9.2)
р
где д а = р + 2 гіиіі	как в теореме 8.1,	достаточно		на самом деле
г = 1			Ц
рассмотреть уравнения
	р				(9.3)
(Р	Pp) ~ (Pz ( 2 Вг^і) >^г) >	І = 1,	. . . ,	р,	(9.3)

г = 1

94 М. С. Б Е Р Г Е Р

Умножая каждое из них соответственно на ег				и суммируя	по і,
получаем
( 2	e0 ( l- 1 - ,u n ) = (Рг ( 2 ^ щ) ,		2	•	( 9 - 4 )
i=l		i—i	i=l
Следовательно,	при p = pn уравнение (7.1) имеет решение только
в том случае, если	= 0, т. е. если у = 0 и и = 0.
	V	Р
К тому же, так как (Р 2 (2		8г«г)> 2 е;«г)	0 при достаточно малых
	г=1	г=1

I е I Ф 0, это скалярное произведение, будучи непрерывной функцией (еь . . ., ер), не должно менять знак. Поэтому (9.4) показывает, что бифуркация может иметь место лишь при кг > 'К п или %<С Хп, но не

собеих сторон.

Сл е д с т в и е 9.2. Если р = 2, то малые по норме решения нелинейной задачи в окрестности Хп могут быть определены из одно мерной задачи нахождения числа ненулевых действительных корней

некоторого алгебраического уравнения степени рі + 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По условию теоремы достаточно иссле довать корни системы двух уравнений (в случае (а))

(р — рп) £і =	(Р2 (е4щ +	г2и2), щ),	(9.5)
(Р — рп) 82 =	(Р2 (gj«! +	82и2), и2).	(9.6)

Полагая g2 = и используя однородность оператора Р,, получаем уравнение относительно s4:

(р — Р „ ) (1 + k ? ) = 8 ) (Р2 (щ + ku2), U i + ku2),

т. е. в условиях теоремы мы получаем два значения elt имеющие раз личные знаки. С другой стороны, для определения k имеем уравнение степени р, + 1:

к (Р2 (щ + ku2), Ui) = (Р2 (Ui + ku2), и2).

П р и м е р . Пусть G — ограниченная область в R3. Рассмотрим краевые задачи

	Аи +	к (е (х) и + / (и)) =				0 в G,	(9.7)
	Аи — f (и) +		ке (х) и = 0 в G				(9.8)
с граничным условием		и =	0	на dG.			(9.9)

Здесь	/ (и) = a qug + a q+iuq+1 +			. . .	(q — некоторое		целое число,
большее единицы, a q		0) и е (х) >		0.	Тогда	простое;
• 1)	все Хп положительны,		обязательно

	VI. Т ЕО Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л УЧ А Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й		9 5
2)	для уравнения (9.7)
	(Р2и, и) = j	aquq+1 dx,
	G
а для уравнения (9.8)
	(Р3ц, и) — j	aqu12+ dx;
	G
3)	если q нечетно и либо a q >	0, либо a q < 0, то применимы все
результаты этого параграфа.

10.Вариационные операторы с симметрией

Вэтой части нашей работы рассматривается широкий класс опе раторных уравнений в действительном гильбертовом пространстве Н , для которых независимо от числа решений р линеаризованной задачи всегда имеет место бифуркация. Кроме того, для этого класса уравне ний существует замечательная теория кратности, аналогичная линей

ной аналитической	теории	возмущений Реллиха,	упоминавшейся
в примере 8 § 3.	является	интерпретация задачи	А и — КВи как
Основной идеей

уравнения для критических точек функционала ср2 (и) на поверхности уровня ср! (и) = R, где А и В — вариационные производные функ ционалов фі и ф2 соответственно, а R — некоторое действительное число, которое может меняться. Класс операторов, для которого справедлива такая интерпретация, соответствует классу самосопря женных операторов в линейном случае и «вариационным» операторам в общем случае (этот термин будет формально определен позднее).

Рассмотрим вариационную задачу: найти критические точки функционала ц>2 (и) на поверхности уровня ф3 (и) = R. Группа авто морфизмов этой вариационной задачи состоит из таких отображений пространства Н в себя, которые оставляют эту задачу инвариантной. Мы говорим, что вариационная задача обладает свойством симметрии, если эта группа автоморфизмов имеет нетривиальный элемент а, такой, что из ои = и следует и == 0. Например, для квадратичного функционала таким элементом является антиподалъное отображение і: и ->■ —и. Ради простоты во всем этом параграфе особое внимание будет уделено задачам с антиподальным отображением в качестве симметрии. Другой тип симметрии в случае комплексных функцио нальных пространств упоминался в примере 7 § 3, а именно и еІѲи для всех действительных Ѳ.

Для бифуркационных задач этого класса будет найдено счетное множество различных нормированных решений ип (R) полной нели нейной проблемы, соответствующих параметру R (который может меняться от нуля до бесконечности) и «собственному значению» K (R). Это будет сделано при некоторых ограничениях с использова-

96 М. С. Б Е Р Г Е Р

нием результатов работы [lb] (ср. Дж. Шварц [28]). Затем, полагая R -+■0, мы перейдем к линейной задаче, чтобы показать, что Хп (R) стремится к Кп, собственным значениям линеаризованной задачи, которые считаются столько раз, какова их кратность.,

В этом параграфе нелинейными инвариантами, отвечающими бифуркационным задачам, будут критические точки сп (R) (я = 1 , 2 , ...) вариационной задачи, которые вычисляются с помощью некоторого

принципа минимакса.	Для построения	соответствующих связей
на поверхности уровня	<pt (и) = R для	сп (R), п > 1, потребуются

инволютивная симметрия вариационной задачи и ее гомотопический инвариант, известный под названием категории Люстерника — Шнирельмана. Эта система нелинейных инвариантов, которую в линей ном случае можно вычислить с помощью принципа минимакса Куран та, устойчива относительно рассматриваемых здесь нелинейных воз мущений и «измеряет» существование и число действительных реше ний нелинейной задачи.

Перейдем теперь к понятию абстрактного вариационного х) опе

ратора.		ср (и) имеет производную	Гато
О п р е д е л е н и е .	Функционал	ср (и) имеет производную	Гато
ф' (и, V) в направлении ѵ, если
И ш / Ф ( “ + * ° ) - Ф ( цП =ч>' {и,у).
t-*0 1	1	>
О п р е д е л е н и е .	Оператор А	называется вариационным,	если

существует определенный на Я функционал q> (и), такой, что его производная Гато в направлении ѵ имеет вид (ѵ, Аи ) при любом ѵ 6 Я.

Здесь] символ ( ,	) означает скалярное произведение в	Я.
Л е м м а 10.1.	Пусть А — непрерывное отображение	простран

ства Н, наделенного сильной топологией, в Н, наделенное слабой топо логией. Тогда оператор А является вариационным в том и только том случае, если для всех и, ѵ £ Я

1	1	1
j	{и, A(su))ds— J (V, A (sv)}ds =	f (u — v, A(v + s(u — v)))ds. (ЮЛ)

ОО О

Функционал ф (и), соответствующий А (и), можно			записать
в виде
Ф («)= j	(и, A(su))ds.		( 10.2)
о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ясно,	что	если выполнены условия (10 .1 )
и (10 .2 ), то	1
	1
Ф ( м + гЭ) — q>(u) = t j		{и, A(u-t-stv))ds.	(10.3)
____	о

Я Чаще употребляется термин «потенциальный оператор» Прим, ред.

VI. Т Е О Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С ЛУЧ АЕ Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й

9 7

Поэтому (V, А и) есть производная Гато функционала ф (и) в направ лении V. С другой стороны, если А — вариационный оператор, то суще ствует функционал ф (и), такой, что

-%■ [ф(и + /0)] = -^- [ф (u + tv + w)\ е=о==(о, А (и А-tv)).		(10.4)
Интегрируя (10.4) по t	от нуля до единицы, получаем
	1
Ф(и) — Ф (V) = j (и — о, A (o + s (и — v))) ds.		(10.5)
	u
Полагая в (10.5) о = 0,	ф(0) = 0, имеем
	1
	Ф (и) = j (и, А (su)) ds.
	о

П р и м е р . Если А — линейный оператор и Я — гильбертово пространство, то ясно, что условие (10 .1) эквивалентно самосопряжен ности А. Поэтому операторы, удовлетворяющие условию (10.1), можно рассматривать как нелинейные обобщения линейных самосопряженных операторов.

Используя равенство (10.2), определим теперь для каждого вариа ционного оператора некоторые множества из Я, которые будут инте

ресовать нас в дальнейшем.
О п р е д е л е н и е .			Пусть	R — фиксированное			положительное
число.	Тогда			1
				1
	ЛН= { « \| « 6 Я,			j	(и, A (su))ds^.R^ ,
				0
				1
	дАн =		{ и \и £ Н ,	j	(и, A (su))ds = R ^ .
				о
Если А — ограниченный линейный						самосопряженный оператор
и Я — гильбертово		пространство, то ЗЛН представляет собой сферу
в Я	относительно	оператора		Л;	для	нелинейного	оператора Л

дАп является некоторым бесконечномерным многообразием и будет слу жить для нормирования элементов и £ Н. Интересно определить связь между свойствами оператора Л и соответствующего множе

ства ЗЛН.	мы можем предложить вариационный		принцип		определе
Теперь
ния совокупности		решений операторного уравнения		(Lä +	N t) и —
— К (Lz +	Я 2) и.	В предположении, что Л =	+	Я 4 и В = L2 +

+ Я 2 — вариационные операторы, этот принцип будет таким:

7 - 0 1 2 8 5

98	М. С. Б Е Р Г Е Р

Найти критические точки функционала

Y (и, L2u) + j (и, N2 (su)) ds,

подчиненного связи

у (а, LiU) -г j (и, Nt (su)) ds = Д.

Здесь R может меняться от нуля до бесконечности. Обозначим этот вариационный принцип символом V (R).

Т е о р е м а	10.2. Если операторы L,, Л2 самосопряженные, а Nu
N 2 вариационные, то совокупность решений нелинейного операторного
уравнения (Li +	Nx) и = X (L2 + N z) и совпадает с критическими
точками, определяемыми при некотором R с помощью вариационного
принципа V (R).

Доказательство сразу же следует из определения и леммы 10.1. Таким образом, бифуркация от и == 0 при X = Хп будет поэтому обес печена, если для вариационной задачи V (R) найти критическую точку с произвольно малой нормой, и соответствующее собственное значе ние X (R) будет стремиться к Хп при || и (R) ||->- 0.

О п р е д е л е н и е . Пусть оператор Л = Lt + Ny. Н —>- Я вариа ционный. Тогда А принадлежит классу I, если

(i)Li—ограниченный самосопряженный положительно определ ный оператор;

(ii)А (—и) = —А (и)\

(iii) Ni	—ограниченный	непрерывный оператор из Н, наделен
ного слабой топологией, в		то же пространство, наделенное сильной
топологией:
(iV)	II NiU - NiV \|\|<	k { II и Г - :1+ Ко Г 1■'1} II и - а \|\|
для Ии И^	k3, \|\|ü\|\|s^ £ 3, где	k и k3 —постоянные, не зависящие от и,

V, и рі —некоторое целое число;

(ѵ) (NiU, и) ^ 0,

Следующий результат содержит некоторые геометрические след ствия из приведенного выше определения о природе поверхности уровня дАн. Всюду ниже мы считаем число R строго положительным.

Т е о р е м а 10.3. При условии, что R ф 0 достаточно мало,

дАп — замкнутое,	ограниченное,	звездное в Н множество, гомеоморф-
ное сфере dLR =	{и \| (Lyu, и) = 2R},		причем этот гомеоморфизм
осуществляется с помощью лучей,		проходящих через начало.Кроме того,
дАп симметрично относительно		начала	координат и для и 6 дАя

	VI. Т ЕО Р И Я Б И Ф У Р К А Ц И Й В С Л У ЧА Е Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й				99
справедливо неравенство		\|\| и \|\|^	k (R)> 0, где k (R) — постоянная,
не зависящая от и.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ип 6 дАп и ип -+ и сильно					в Н .
Тогда в силу (ііі)		N xu и поэтому
	у {L iU ,	и)+ jI	(и , N i (SU)) d s =	R ,
		0
т. e. u £ d A R. Следовательно, dAH— замкнутое				множество.
Чтобы доказать ограниченность дАн при достаточно малых ненуле
вых R, заметим, что для и 6 дАн
	у (Ltu, и) + j1		(и, Ni (sw)) ds = R
		о
и,	согласно (ѵ), у (LjW, u ) ^ R .
к >	В силу положительной определенности Llt существует постоянная
к >	0, такая, что \|\| и \|[2 ^	2%R. С другой стороны, если дАп не являет

ся равномерно ограниченным снизу от нуля, то существует ограничен

ная последовательность	такая, что		\|\| ип \|\|->-0. Так как
Н — гильбертово пространство, то		существует	слабо сходящаяся
подпоследовательность	{unj} € дАн,	!! ип.\\ —>- 0. Следовательно,

ип.-^~ 0 сильно, а поскольку дАн замкнуто, 0 6 дАн, что невозможно,

так как А (0) = 0. Докажем теперь,		что дАк — звездное множество.
Во-первых, заметим, что	любая прямая, проходящая через начало,
обязательно пересекает dAR. Действительно, если и Ф 0, то
	1
f (t) = t2у	(LiU, и) - f 1 j	(и, Ni (stu)) ds

— непрерывная функция от t, принимающая значения между 0 и + оо, когда t меняется в интервале (0, оо), т. е. для каждого R существует положительное число tR, такое, что tRu £ дАв . Чтобы доказать звездность дАн, покажем, что любая прямая, проходящая через начало, пересекает дАп ровно два раза. Предположим, что и £ дАн и, кроме того, что для некоторого действительного t, отличного от ± 1 , tu 6 6 дАн. Тогда

у Р (LiU, и) - f 1 j1 (и, Ni (stu)) ds —R.

	о
Полагая o = l —t2 и st = i,	находим, что если t= + 1 ^ 1 —0, то
у (1 — a) (LiU, и) +	j (и, Ni(xu))dx = R.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2610 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ