
книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения
..pdf4 0 |
Д Ж . X. В ОЛ К О В Ы С С К ИЙ |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим следующую задачу на соб ственные значения:
(г3у'У + Гг3 [1 — а2] у = 0,
у' (0) = у (1) = 0,
где %фиксировано и а2 — постоянная. Сравнивая эту задачу с линеа ризованной задачей (1.4), мы видим, что
Ц = к 2(1 - а )), а)= 1 - ^ г -
Применение (2.1е) (cp (г) ^ 1) и теоремы сравнения Штурма при водит к выводу, что с) ^ а), ч. т. д. *).
Нам понадобится следующая лемма:
Л е м м а 1. Если Я > Хп и ср £ Ss, то |
|
|
|
|
для |
/ = 1, 2, |
. . . , |
п |
(3.6) |
и |
|
|
|
|
\гҢд2)У\^2Х* для |
/ = 1, 2, |
. . . , |
п. |
(3.7) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая (2.2) на qj, имеем
\ Iг3 (<?!)')' — г3(q'jf + №r3q) — Хгг3с)щ) = 0.
По теореме 2 c f > 0 для j ^ n . Так как ср^О, имеем
[г3 (qb'Y + ^ 2r3q2i> 0 . |
(3.8) |
Интегрируя (3.8) от 0 до г, приходим к неравенству
Г
(tfy + W ± -$ t* q U t)d t> 0 .
Ü
Переписывая его в виде
ГS
[</! + 2Â2 j j t3q2j (t) dt ds] > 0
оо
и замечая, что функция
Г |
S |
q) (г) + 2л2 j |
j t3q) (0 dt ds |
г) Эта теорема является частным случаем более общей теоремы о спектраль ной задаче Аи — кВи = ои, где А, В — самосопряженные положительно опре деленные операторы в некотором гильбертовом пространстве, ВА~Х вполне
непрерывен. |
Если кі ^ |
къ ^ |
^ кп ^ |
. . . — собственные значения |
задачи |
Аи — кВи = |
0 (каждое |
записано |
столько |
раз, какова его кратность) |
и І п < |
< к < A,n+j, то существует ровно п (с учетом кратности) отрицательных собствен ных значений щ, 02.......... ап (см. [7]).— Прим. ред.
I II . Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О СУ ЩЕ С ТВ О ВА НИ Я В Ы П У Ч Е Н Н Ы Х ФОРМ |
41 |
монотонно возрастает |
по г, |
при помощи (2.3) |
получаем |
|
г |
s |
|
I |
s |
Яі (г) -г 2л2 |
j -jr j |
t3q1(t) dt d s< 2Â2 j |
j t3q] dt ds, |
|
Ü 0 |
|
Ü |
0 |
|
или |
|
1 |
s |
|
|
|
|
||
|
<7? < 2 Я2 j |
-p- j t%q)(t)dtds. |
||
|
|
r |
0 |
|
Применяя (2.5) и (2.4), выводим |
|
|
|
||||
|
|
<?| ( r ) < АЩ } ( r ) < 4 ^ |
(0) - 4Я2, |
(3.9) |
|||
что доказывает |
(3.6). |
|
|
|
|
||
Чтобы доказать (3.7), перепишем (3.8) в виде |
|
||||||
|
|
|
j> (??)' + |
2Я2 J t* q }(t)d f\> 0. |
|
||
Таким образом, |
функция |
и |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
л3(<7і)' + 2А2 j |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
монотонно возрастает по г, и из (2.3) поэтому получаем |
|||||||
|
ОС |
|
|
|
dt, |
||
или |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
— 2Я2 j |
t3qj (t) d tt^r3(<7І(/-))'<2Я2 jtt/H O |
|||||
|
|
и |
|
Г |
|
|
|
Из (3.9) находим |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
к 3(<7І(0)'К 2Л4> ч. т.д. |
|
|
||
Теперь докажем следующую теорему: |
|
|
|
||||
Т е о р е м а |
3. |
При Я ;> Яп отображение Тj |
компактно х) (вполне |
||||
непрерывно) на Se, |
} = 1, 2, . . ., п. |
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Сначала покажем, что Tj непрерывно |
||||||
при |
Я > Яп. |
Рассмотрим |
последовательность |
функций {фѵ.} cz Se |
|||
(е > |
0 фиксировано), сходящуюся по норме Ct к функции <р (которая, |
||||||
конечно, содержится в 5е). |
Пусть {ф/ѵ} — образ этой |
последователь |
|||||
ности при отображении Tj, |
т. е. Tj (срѵ ) |
= %v. Для |
каждой <рѵ обо |
значим через cfv собственные значения задачи (2.2), (2.3). При фикси-
х) Отображение Tj компактно, если оно непрерывно и множество Tj (5е) (секвенциально) компактно.
42 |
Д Ж . X. В О Л К О В Ы С С К И Й |
рованном j ^ я соответствующая собственная функция qjv, удовлетво ряющая условию нормировки (2.4) и условию qjv (0) > 0, существует и единственна. Лемма 1 показывает, что функции qjv равномерно ограничены. Собственные функции qjv удовлетворяют следующему интегральному уравнению, эквивалентному задаче (2.2), (2.3):
I |
s |
(3.10) |
qjv= я ^ |
^ ^3(і Сѵфѵ) qjv dt ds. |
Так как с% ^ е-1, из (3.10) легко вывести, что {ф/ѵ} равностепенно непрерывны. Поэтому, согласно теореме Арцела, можно выбрать под последовательность {qjva}, которая сходится равномерно к функции
qj. Так как собственные значения задачи Штурма — Лиувилля непре рывно зависят от коэффициентов (см. [4]), последовательность собствен ных значений {с/ѵ}, а значит, и подпоследовательность (с/V(J} сходятся
к /-му собственному значению с/ задачи
(г*у')'+ Wr* U - dfa] у = 0, у' (0) = у (1) = 0. |
(3.11) |
Из (3.10) видно, что производные q}Vg сходятся равномерно к q),
а потому из дифференциального уравнения следует, что и вторые про изводные qjVg сходятся равномерно к q". Теперь покажем, что пре
дельная функция qj удовлетворяет равенствам (3.11). Имеем
1( ' W + Я Ѵ (1 — с)ф) q} К I [г3 {qj - qjVa)Y |+
+ АѴ31(1—с)ф) qj — {1 — CjVaq>vJ qjV(j | +
+ 1(r3q'ivaY + ЯѴ3 (1 - cfvocpVo) q}Vg|.
Последний член правой части этого неравенства обращается в нуль тождественно. Полагая ѵа ->- °°, мы видим, что qj удовлетворяет усло виям (3.11) и представляет собой собственную функцию, соответствую щую собственному значению с/. Наложение условия нормировки (2.4) и ограничения qs (0) > 0 приводят к единственности qj. Поэтому a posteriori заключаем,'что выбирать подпоследовательность не было необходимости. Отсюда следует, что
qjv-^qj
равномерно. Поэтому из (2.5) имеем
ІІФ/ѵ — Ф Л І - ^ о и |
Г П ф ) = |
Ф > |
Таким образом, Tj непрерывно на Se. |
|
|
Теперь покажем, что Tj (Se) при Я > |
Яп секвенциально компактно. |
|
(Так как Tj (SE) — метрическое пространство, |
секвенциальная ком |
пактность эквивалентна компактности.) Таким образом, мы должны доказать, что любая последовательность {ф;ѵ} элементов из Tj (Ss) содержит сходящуюся подпоследовательность.
III. Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О |
СУ ЩЕ С ТВ ОВ АНИЯ |
В Ы П У Ч Е Н Н Ы Х ФОРМ |
43 |
|
Из (2.4), (2.5) и (3.6) |
находим, что для |
<р 6 |
Se образ % = |
(<р) |
удовлетворяет неравенствам |
|
|
|
|
\^ j\< U |
|Ф ; Ю 2/2, |ф і|< 2 |
Я 2. |
|
Так как любая последовательность функций с равномерно огра ниченными производными является равностепенно непрерывной, последовательности {ф7Ѵ} и {ф/ѵ} равномерно ограничены и равносте пенно непрерывны. Из теоремы Арцела вытекает, что Tj(Se*) — компактное множество, ч. т. д.
Т е о р е м а 4. При X > Хп существует в* > 0, такое, что Tj отображает SE* в SE# для / = 1, 2, . . п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала проверим, что % 6 S. Непре рывная дифференцируемость функций % с очевидностью следует из (2.5). Условия (2.1а) и (2.lb) немедленно вытекают из (2.4) и (2.5). Теперь покажем, что выполняется (2.1с). Из (2.5) имеем
|
Г |
|
|
Фі ( / • ) = - ITT |
j *3<?i (0 d t ^ O . |
|
|
Тогда уравнение (3-6) дает |
о |
|
|
|
|
|
|
Итак, "iSpj 6 S и Tj отображает S8* |
в S. |
|
|
Теперь докажем от противного, что существует такое е = е*, для |
|||
которого Tj отображает SE* в себя при / |
= 1, 2, |
. . ., л. Предполо |
|
жим, что при Х > Хп не существует е* > |
0, такого, |
что Tj отображает |
Se* в Se* при / = |
1, |
2, . . ., п. Отсюда следует, что существует схо |
||||
дящаяся последовательность |
функций |
{фѵ} с |
(J S E*, такая, что |
|||
|
|
|
|
|
(J Se*, |
£* > о |
|
|
lim % Ѵ = |
Ф / € S — |
|
||
|
|
V-*-co |
|
8 * > 0 |
|
|
где tyj = Tj (<pv). Отсюда следует, |
что функция ф7 (г) должна тожде |
|||||
ственно равняться нулю в точке |
1 — 1 /X2. Поэтому |
|||||
|
|
S |
3 j |
t3qjv (t) dt ds = |
0. |
|
|
|
1 - 1 Д 2 |
о |
|
|
|
Пусть Ѳѵ = s '3 |
j |
t3q]v (t) dt. Из (3.6) |
видно, |
что Ѳѵ и dÖv!ds равно- |
||
|
fl |
|
|
1. Так как производные dQv/ds |
||
мерно ограничены для 1 — MX2, ^ |
равномерно ограничены, {Ѳѵ} — равностепенно непрерывная последо вательность функций. Согласно теореме Арцела, она содержит равно мерно сходящуюся подпоследовательность {ѲѴ0}. При этом
44 |
Д Ж . X. В ОЛ К О В Ы С С К ИЙ |
и так как Ѳѵ неотрицательна, lim Ѳѵ = 0. В частности, при s = 1 это дает
Ѵ -* о о |
0 |
= 0.
Из (3.6) и (3.7) мы видим, что tzq)v<5 и ее производные равномерно ограничены. Повторяя последние рассуждения, мы находим, что существует подпоследовательность {7;vCT(j/} последовательности {qjVa}, такая, что
! і т ^ а , ( 0 = 0 для |
*€[0,1]. |
|
|
Ѵ->оо |
G |
|
|
Так как в качестве первоначальной последовательности {фѵ} |
можно |
||
было взять ее подпоследовательности |
{фѴао,}, то последний |
вывод |
нарушает условие нормировки (2.4), и это противоречие означает, что существует е* > 0, такое, что Т^ отображает S e* в себя для / =
=1, 2, . . ., п, ч. т. д.
При помощи замечания 1, теоремы 3 и теоремы 4 мы доказали, что
условия теоремы Шаудера |
о неподвижной точке выполняются. Сле |
довательно, существует яр* |
€ Se*, такая, что |
|
Ф* = З Д * )- |
Это доказывает первую |
часть теоремы существования. Тот факт, |
что Qj = cflj имеет } — 1 нулей, был доказан в теореме 1.
4. Обсуждение
Краевая задача (1.1)—(1.3) трактовалась как отображение (2.2)— (2.5). Ее можно также поставить в следующей форме: для каких зна чений с2 краевая задача
Gq+ А,2 (1 — е2р) q = 0,
Gp = \ ~ \ q \
р'(0) = р'(0) = 9(1) = Р ( 1 ) = 0, р (0) = 1,
имеет нетривиальные решения при фиксированных значениях К? Набор {с2} этих собственных значений назовем спектром данной
нелинейной задачи. Наши предыдущие результаты показывают, что этот спектр состоит из отрицательной и положительной частей. Когда к растет, спектр сдвигается вправо и появляются добавочные положи тельные собственные значения. Это соответствует возникновению действительных решений из мнимых.
В основе этой лекции лежат результаты работы [6]. Общая мето дика, использованная здесь для доказательства существования реше ний, может быть применена к более общим нелинейным краевым зада чам для обыкновенных дифференциальных уравнений.
III. Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О СУ ЩЕ С ТВ ОВ АНИЯ В Ы П У Ч Е Н Н Ы Х ФОРМ |
4 5 |
5. Приложение. Свободно опертая пластина
Если край пластины свободно оперт, то краевая задача задается уравнениями (1.1), (1.2), (1.3а) и
Q' (1) + О + ѵ) Q (1) = 0, р (1) = 0. |
(5.1) |
Здесь V — коэффициент Пуассона, заданная физическая постоян ная. Уравнение (5.1) заменяет (І.ЗЬ). Соответствующая линеаризо ванная задача имеет вид
GQ + X2Q— 0, Q' (0) = 0, Q'(l) + (l+v)Q(l) = 0.
Нетривиальные решения этих |
уравнений при X = Xj даются соот |
|||||
ношениями Q] = |
j l (Xjr), |
где |
Xj |
есть /-й |
корень уравнения |
|
U ; (к) + xJi |
(X) = |
0. |
для |
этой |
задачи, |
вполне аналогичную |
Теорему |
существования |
теореме существования для защемленной пластины, можно получить в точности тем же путем, если при определении множества 5 заме нить (2.1а) условием <р (0) ^ 1, а условие (2.4) — соотношением
1 S
q) (1) + 2Х* j s-3 \ tzq) (t) dt ds = 4>A
и о
ЛИТЕРАТУРА i)
[1]von Kârmân T., Festigheitsprobleme im Maschinenbau, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, Leipzig, 1910, pp. 348—352.
[2] |
Friedrichs K. O., and Stoker J. J., The non-linear |
boundary value problem |
|
{3] |
of the buckled plate, Amer. J. Math., 63 (1941), 839—888. |
circular plates, |
|
Keller H. B., Keller J. B., and Reiss E. L., Buckled |
states of |
Q. Appl. Math., 20 (1962), 55—65.
[4]Курант P. и Гильберт Д ., Методы математической физики, т. I, Гостех-
издат, М., 1951.
[5]Cronin J., Fixed points and topological degree in nonlinear analysis, A.M.S.,
Providence, 1964, pp. 130ff.
[6]Wolkowisky J., Existence of buckled states of circular plates, Comm. Pure
|
Appl. Math., 20 (1967), 549—560. |
и рождения вторичного тече |
|
[7*] Юдович В. И., Пример потери устойчивости |
|||
[8*] |
ния жидкости в замкнутом сосуде, Матем. сб., 74 (116):4 (1967), 565—579. |
||
Ворович И. И., О поведении круглой пластины после потери устойчивости, |
|||
[9*] |
Ученые записки Ростов, ун-та, XXXII, 4 (1955), 55—60. |
||
Ворович И. И., Некоторые оценки числа решений для уравнения Кармана |
|||
|
в связи с проблемой устойчивости пластин и оболочек. Проблемы гидродина' |
||
|
мики и механики сплошной среды. К шестидесятилетию акад. Л. И. Седова, |
||
[10*] |
«Наука», |
М., 1969, стр. I ll—118. |
потери устойчивости. Пробле |
Ворович |
И. И., О поведении пластин после |
||
|
мы механики твердого деформируемого тела. |
К шестидесятилетию академика |
|
|
В. В. Новожилова, «Наука», 1970. |
|
х) Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.
IV
ФОРМЫ ИЗГИБА УПРУГИХ КОЛЕЦ1)
И. Таджбахш
1.Введение
Вэтой лекции рассматриваются вопросы существования нетривиаль ных решений (форм изгиба) нелинейных уравнений равновесия нера стяжимых упругих колец при гидростатическом давлении. Опреде ляющие уравнения выводятся из условия стационарности потенциаль ной энергии кольца. При исследовании ветвления решений вблизи недеформированного состояния используется метод лекции II. Для всех значений давления, превосходящих критическое, доказывается существование по крайней мере одной формы изгиба. Для этой цели показано, что существует нетривиальное гладкое решение, минимизи рующее потенциальную энергию (ср. с лекцией I). Чтобы доказать существование по крайней мере одного решения произвольной нормы,
мы используем тот факт, что краевая задача эквивалентна некоторой вариационной задаче. В конце лекции приведены численные резуль таты.
2. Формулировка краевой задачи
Рассматриваются положения равновесия упругого нерастяжимого кольца, подвергаемого (безразмерному) гидростатическому давлению р.
Недеформированной формой |
кольца является |
окружность радиу |
|
са 1. |
Геометрия кольца показана на рис. 1. Здесь s обозначает длину |
||
дуги, |
а 0(s) — угол между касательной к кольцу и осью х. Кривизна |
||
k (s) определяется по формуле |
|
|
|
_________ |
k = Ѳ5, |
(2. 1) |
х) Эта лекция основана на работе Таджбахша и Одеха [7].
IV. Ф О Р М Ы И З Г И Б А У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
4 7 |
X (s) и у (s) — декартовы координаты частицы s кольца, удовлетворяю щие соотношениям
X, = cos Ѳ (s), ys = sin Ѳ (s). |
(2.2) |
Система координат фиксируется требованиями
Ѳ (0) = |
0, |
х (0) |
= 0, |
у (0) = |
0. |
(2.3) |
Деформированное кольцо должно удовлетворять следующим усло |
||||||
виям: |
|
|
|
|
|
|
Ѳ (s + |
2л) = |
Ѳ (s) + 2л, |
|
(2.4) |
||
X (s + 2л) |
= |
X (s), |
у (s + |
2л) = |
у (s). |
(2-5) |
Эти равенства дают |
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
j *( £ )# = 2л, |
|
|
(2 . 6) |
||
2я |
о |
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos Ѳ(£) d%— 0, |
j sin Ѳ(l) dl = 0. |
(2.7) |
||||
о |
|
|
|
о |
|
|
Безразмерная потенциальная энергия кольца имеет вид |
|
|||||
|
|
2л |
|
|
|
|
У = 4 |
j ( 6 - l ) 2cfs-tt7, |
|
(2. 8) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
где интегральное выражение в правой части есть энергия деформации кольца (в соответствии с теоремой Эйлера — Бернулли), a W — работа внешних (гидростатических) сил,
2л |
|
W — — р у j (xys— yxs)ds — л. |
(2.9) |
о |
|
Выражение в скобках в (2.9) представляет собой разность площадей, ограниченных кольцом в деформированном и недеформированном состояниях.
Используя (2.1) и (2.2), функционал (2.8) можно записать в виде
2л s
V (Ѳ) = const + у j |
| ѳ | + р j sin[0(s) — Q (l))dl^ ds. |
(2.10) |
о |
0 |
|
Обозначим через Ѳ вариацию Ѳ; она должна удовлетворять условиям
2л |
2я |
Ѳ(0) = é (2л) = j é (s) sin Ѳ(s) ds = |
j Ѳ(s) cos Ѳ(s) ds = 0. (2. 11) |
0 |
о |
48 |
И. ТАДЖБАХШ |
Запишем первую вариацию V в произвольном допустимом «направле
нии» Ѳ:
2я s
V [Ѳ] = J J |
{ 2Ѳ* (s) és (s) + pè (s) j cos[Ѳ (s) - Ѳ-&)} dl - |
о |
0 |
|
— P j é (l) cos [Ѳ (s) — Ѳ(£)] d l } ds. (2.12a) |
|
о |
При перемене порядка интегрирования третье слагаемое в правой
части (2.12а) |
принимает вид |
|
|
|
|
||||
2я |
2jt |
|
|
|
|
|
|
|
|
j H l) dl |
t |
cos [0(s)-0(g)]ds = |
|
|
|
||||
0 |
i' |
|
|
|
|
2я |
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
— Y j è (s) ds j |
cos [Ѳ (s) — Ѳ(I)] dl, |
||
что в силу (2.7) |
равно |
|
|
0 |
s |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2я |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
j |
Ѳ is) j cos [Ѳ (s) — Ѳ(£)] dl ds. |
|
|
|||
Следовательно, |
(2.12a) |
можно записать в виде |
|
|
|||||
V [Ѳ] = |
2я |
|
|
|
|
j cos[Q(s)~Q(l)]dl} ds. |
|
||
j |
I ѳ8 (s) é, |
(s) + pé (s) |
(2.12b) |
||||||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
Приравнивая нулю V [Ѳ] |
с учетом |
условий |
(2.11), |
получаем для Ѳ(s) |
|||||
следующее уравнение |
Эйлера: |
|
|
|
|
S
Q s s — p j cos [Ѳ (s) — Ѳ(£)] d l~ Р-! cos Ѳ(s) + p2 sin Ѳ(s), 0 ^ s ^ 2 n ,
(2.13)
где p! и p2 — постоянные множители. Последовательными дифферен цированиями из интегро-дифференциального уравнения (2.13) можно исключить P j и р2. При этом получается следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно k = Ѳ5:
( т Ь + ^ - К т ) . “ 0- |
<2-і4> |
Интегрируя по s, получаем
kM + ^ & - c k — p= 0, |
(2.15) |
где с — произвольная постоянная интегрирования.
IV. Ф О Р М Ы И З Г И Б А У П Р У Г И Х К О Л Е Ц |
49 |
Уравнение (2.14) можно также получить, рассматривая V как функционал от Ѳ, х, у и вводя с помощью переменных множителей дифференциальные связи (2.2).
Уравнение (2.15) с учетом условий (2.6), (2.7) имеет при всех р
тривиальное решение k = 1, с = у — р. Удобно ввести новые пере
менные
v(s) = k(s) — \, |х = у |
— с, ß = c + p — y = P + 1 — M-, |
(2-16) |
относительно которых (2.15) принимает вид |
|
|
Oss + R |
= ß — { ü 2(ö+ 3). |
(2.17) |
Давление задается формулой |
|
|
p = H + ß — 1. |
(2.18) |
Теперь тривиальное решение краевой задачи (2.17), (2.6), (2.7) при всех р имеет вид v (s) == 0 , ß = 0 , р, = р + 1.
Дифференциальное уравнение (2.17) можно проинтегрировать двумя квадратурами; его решение v(s) выражается через эллиптические функции. Граничные условия (2.6) и (2.7) приводят тогда к трансцен дентным уравнениям относительно произвольных постоянных инте грирования. Мы не используем этот подход.
Из (2.4) следует, что v (s) должна быть периодической функцией с периодом 2п/п, п = 1,2, . . . . В приложении показано, что слу чай п = 1 несовместим с граничными условиями. Поэтому далее предполагается, что п ^ 2.
Так как уравнение (2.17) инвариантно относительно замены неза
висимой |
переменной s* = |
± s + const, достаточно рассматривать его |
|
решение на интервале (0, |
длиной в половину периода с гранич |
||
ными условиями |
|
|
|
|
о . ( 0 ) = о , ( £ ) = 0 . |
(2.19) |
|
В силу |
периодичности ѵ условие (2.6) можно привести к виду |
|
|
|
|
п/п |
|
|
|
j v(s)ds = 0. |
(2.20) |
о
зх
Поскольку функция V определена на промежутке 0 ^ s ^ —, она
может быть непрерывно и периодически продолжена с помощью соот
ношений V (—s) = » (s) и и |s ■—у j = V (s).
Покажем теперь, что решение ѵ уравнения (2.17), удовлетворяющее при п ^ 2 условиям (2.19) и (2.20), автоматически удовлетворяет
4 - 0 1 2 8 5