книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим следующую задачу на соб­ ственные значения:

(г3у'У + Гг3 [1 — а2] у = 0,

у' (0) = у (1) = 0,

где %фиксировано и а2 — постоянная. Сравнивая эту задачу с линеа­ ризованной задачей (1.4), мы видим, что

Ц = к 2(1 - а )), а)= 1 - ^ г -

Применение (2.1е) (cp (г) ^ 1) и теоремы сравнения Штурма при­ водит к выводу, что с) ^ а), ч. т. д. *).

Нам понадобится следующая лемма:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая (2.2) на qj, имеем

\ Iг3 (<?!)')' — г3(q'jf + №r3q) — Хгг3с)щ) = 0.

По теореме 2 c f > 0 для j ^ n . Так как ср^О, имеем

Интегрируя (3.8) от 0 до г, приходим к неравенству

Г

(tfy + W ± -$ t* q U t)d t> 0 .

Ü

Переписывая его в виде

ГS

[</! + 2Â2 j j t3q2j (t) dt ds] > 0

оо

и замечая, что функция

г) Эта теорема является частным случаем более общей теоремы о спектраль­ ной задаче Аи — кВи = ои, где А, В — самосопряженные положительно опре­ деленные операторы в некотором гильбертовом пространстве, ВА~Х вполне

< к < A,n+j, то существует ровно п (с учетом кратности) отрицательных собствен­ ных значений щ, 02.......... ап (см. [7]).— Прим. ред.

рованном j ^ я соответствующая собственная функция qjv, удовлетво­ ряющая условию нормировки (2.4) и условию qjv (0) > 0, существует и единственна. Лемма 1 показывает, что функции qjv равномерно ограничены. Собственные функции qjv удовлетворяют следующему интегральному уравнению, эквивалентному задаче (2.2), (2.3):

Так как с% ^ е-1, из (3.10) легко вывести, что {ф/ѵ} равностепенно непрерывны. Поэтому, согласно теореме Арцела, можно выбрать под­ последовательность {qjva}, которая сходится равномерно к функции

qj. Так как собственные значения задачи Штурма — Лиувилля непре­ рывно зависят от коэффициентов (см. [4]), последовательность собствен­ ных значений {с/ѵ}, а значит, и подпоследовательность (с/V(J} сходятся

к /-му собственному значению с/ задачи

Из (3.10) видно, что производные q}Vg сходятся равномерно к q),

а потому из дифференциального уравнения следует, что и вторые про­ изводные qjVg сходятся равномерно к q". Теперь покажем, что пре­

дельная функция qj удовлетворяет равенствам (3.11). Имеем

1( ' W + Я Ѵ (1 — с)ф) q} К I [г3 {qj - qjVa)Y |+

+ АѴ31(1—с)ф) qj — {1 — CjVaq>vJ qjV(j | +

+ 1(r3q'ivaY + ЯѴ3 (1 - cfvocpVo) q}Vg|.

Последний член правой части этого неравенства обращается в нуль тождественно. Полагая ѵа ->- °°, мы видим, что qj удовлетворяет усло­ виям (3.11) и представляет собой собственную функцию, соответствую­ щую собственному значению с/. Наложение условия нормировки (2.4) и ограничения qs (0) > 0 приводят к единственности qj. Поэтому a posteriori заключаем,'что выбирать подпоследовательность не было необходимости. Отсюда следует, что

qjv-^qj

равномерно. Поэтому из (2.5) имеем

пактность эквивалентна компактности.) Таким образом, мы должны доказать, что любая последовательность {ф;ѵ} элементов из Tj (Ss) содержит сходящуюся подпоследовательность.

Так как любая последовательность функций с равномерно огра­ ниченными производными является равностепенно непрерывной, последовательности {ф7Ѵ} и {ф/ѵ} равномерно ограничены и равносте­ пенно непрерывны. Из теоремы Арцела вытекает, что Tj(Se*) — компактное множество, ч. т. д.

Т е о р е м а 4. При X > Хп существует в* > 0, такое, что Tj отображает SE* в SE# для / = 1, 2, . . п.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала проверим, что % 6 S. Непре­ рывная дифференцируемость функций % с очевидностью следует из (2.5). Условия (2.1а) и (2.lb) немедленно вытекают из (2.4) и (2.5). Теперь покажем, что выполняется (2.1с). Из (2.5) имеем

равномерно ограничены, {Ѳѵ} — равностепенно непрерывная последо­ вательность функций. Согласно теореме Арцела, она содержит равно­ мерно сходящуюся подпоследовательность {ѲѴ0}. При этом

и так как Ѳѵ неотрицательна, lim Ѳѵ = 0. В частности, при s = 1 это дает

= 0.

Из (3.6) и (3.7) мы видим, что tzq)v<5 и ее производные равномерно ограничены. Повторяя последние рассуждения, мы находим, что существует подпоследовательность {7;vCT(j/} последовательности {qjVa}, такая, что

нарушает условие нормировки (2.4), и это противоречие означает, что существует е* > 0, такое, что Т^ отображает S e* в себя для / =

=1, 2, . . ., п, ч. т. д.

При помощи замечания 1, теоремы 3 и теоремы 4 мы доказали, что

что Qj = cflj имеет } — 1 нулей, был доказан в теореме 1.

4. Обсуждение

Краевая задача (1.1)—(1.3) трактовалась как отображение (2.2)— (2.5). Ее можно также поставить в следующей форме: для каких зна­ чений с2 краевая задача

Gq+ А,2 (1 — е2р) q = 0,

Gp = \ ~ \ q \

р'(0) = р'(0) = 9(1) = Р ( 1 ) = 0, р (0) = 1,

имеет нетривиальные решения при фиксированных значениях К? Набор {с2} этих собственных значений назовем спектром данной

нелинейной задачи. Наши предыдущие результаты показывают, что этот спектр состоит из отрицательной и положительной частей. Когда к растет, спектр сдвигается вправо и появляются добавочные положи­ тельные собственные значения. Это соответствует возникновению действительных решений из мнимых.

В основе этой лекции лежат результаты работы [6]. Общая мето­ дика, использованная здесь для доказательства существования реше­ ний, может быть применена к более общим нелинейным краевым зада­ чам для обыкновенных дифференциальных уравнений.

X (s) и у (s) — декартовы координаты частицы s кольца, удовлетворяю­ щие соотношениям

Система координат фиксируется требованиями

где интегральное выражение в правой части есть энергия деформации кольца (в соответствии с теоремой Эйлера — Бернулли), a W — работа внешних (гидростатических) сил,

Выражение в скобках в (2.9) представляет собой разность площадей, ограниченных кольцом в деформированном и недеформированном состояниях.

Используя (2.1) и (2.2), функционал (2.8) можно записать в виде

2л s

Обозначим через Ѳ вариацию Ѳ; она должна удовлетворять условиям

Запишем первую вариацию V в произвольном допустимом «направле­

нии» Ѳ:

2я s

При перемене порядка интегрирования третье слагаемое в правой

S

Q s s — p j cos [Ѳ (s) — Ѳ(£)] d l~ Р-! cos Ѳ(s) + p2 sin Ѳ(s), 0 ^ s ^ 2 n ,

(2.13)

где p! и p2 — постоянные множители. Последовательными дифферен­ цированиями из интегро-дифференциального уравнения (2.13) можно исключить P j и р2. При этом получается следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно k = Ѳ5:

Интегрируя по s, получаем

где с — произвольная постоянная интегрирования.