книги из ГПНТБ / Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения

на поверхности тора. Векторное поле, заданное с помощью (3.2), называется потоком на торе, соответствующим (3.1). Отметим, что каждая орбита системы (3.2) плотна на торе.

Система дифференциальных уравнений

называется структурно устойчивой, если векторное поле, соответ­ ствующее возмущенной системе

эквивалентно векторному полю невозмущенной системы (3.3а) в том смысле, что при некотором подходящем гомеоморфизме орбиты систе­ мы (З.ЗЬ) отображаются в орбиты системы (3.3а). Для п = 2 Плисс

если со2/соі иррационально, то при малых возмущениях структура потока будет меняться и, вообще говоря, не останется эквивалентной параллельному потоку. Поэтому нельзя ожидать, что плотность потока на торе сохранится при возмущении.

Если мы хотим, чтобы понятие условно-периодического решения имело физический смысл, то такие решения должны сохраняться при возмущениях. Ввиду наших предыдущих замечаний мы можем надеяться на успех в формулировке условий сохранения условнопериодических движений только при сужении класса дифференциаль­ ных уравнений. Например, для гамильтоновых систем с N степенями свободы А. Н. Колмогоров [2], [3] и В. И. Арнольд [41, [5] установили существование условно-периодических решений с N базисными часто­ тами. Мы приведем несколько других примеров систем, для которых можно построить такую теорию возмущений.

П р и м е р 1. Уравнение Дуффинга (2.1). Решения невозмущен­ ного автономного уравнения (2 .2 ) можно описать с помощью потока на торе Т0 в пространстве х, xt, t. Тор Т0 получается отождествлением поперечных сечений t = 0 и t = 2 я цилиндра с образующей, нор­ мальной к кривой (2.3). На рис. 4 он изображен сплошной линией. Координатами на его поверхности служат t и угловая координата Ѳ,

X. Т Е О Р И Я ВОЗМ УЩ ЕНИЙ У С ЛО В Н О -П ЕРИ О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 171

параметризующая кривую (2.3). Постоянная Е (энергия) из (2.3) может быть использована для параметризации таких торов. Мы полу­ чим изящное доказательство ограниченности решений возмущенного уравнения (2.1), если покажем, что существует близкий тор Тг, описы­ ваемый подобными же координатами, на котором плотна каждая орби­ та, т. е. если докажем существование условно-периодических реше­ ний (2.1) с двумя базисными частотами. (Тор Те на рис. 4 изображен

штриховой линией.) Для условной периодичности существенным ограничением является консервативность системы (2.2). (Если бы, скажем, имелось демпфирование, то мы не могли бы ожидать существо­ вания таких торов, так как все решения стремились бы к равновесию.)

П р и м е р 2 .

Здесь х и В — трехмерные векторы. Это уравнение встречается в физи­ ке плазмы. При в = 0 система (3.4) имеет однопараметрическое семей­ ство инвариантных торов (магнитных поверхностей). Существуют ли такие поверхности при малых возмущениях? Утвердительный ответ на этот вопрос является следствием условия div 5 = 0 .

где у есть m-мерный вектор, а g условно-периодична по t с базисными частотами соь . . ., соп.

Вследствие условия обратимости для g можно показать, что при

При 8 = 0 (3.6) является системой n несвязанных осцилляторов. Условно-периодические решения невозмущенной системы могут быть продолжены, если выполнено условие обратимости

При e = 0 система (3.10) имеет решения

X = x° + cot, у — у0.

4. Формулировка общей проблемы

Рассмотрим автономную систему

где г — вектор (я + яг)-мерного пространства. Эта система соответст­ вует невозмущенной форме более общей системы. Мы предполагаем,

что существует я-мерный инвариантный тор, т. е. тор, на котором векторное поле всюду тангенциально. Мы предполагаем, что вблизи тора с помощью неособого преобразования

г = <Р(*, У)

можно так ввести координаты хіг . . ., хп, уи . . ., ут, что тор будет соответствовать у = О с угловыми координатами хи . . ., хп (mod 2 я) и нормальными координатами уи . . ., ут (рис. 5). Система (4.1) поэтому принимает вид

X. Т Е О Р И Я ВОЗМ УЩ ЕНИЙ У С ЛО В Н О -П Е РИ О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 173

которое является дифференциальным уравнением на торе. На основа­ нии (4.3) и (4.4) систему (4.2) можно записать в следующем виде:

x t = F ( х , 0 ) + О (у),

(4.5)

Уі = G y ( х , 0 ) у + О (у2).

С системой (4.5) связаны следующие линеаризованные уравнения (или уравнения в вариациях):

Предположим теперь, что п-мерный вектор со и (т X т)-матрица й постоянны. Мы налагаем это жесткое ограничение, так как без него вряд ли можно что-нибудь получить. (Однако для периодического случая, п — 1, теория Флоке показывает, что существует преобразо­ вание, переводящее (4.6) в систему того же вида с постоянными коэф­ фициентами.) Мы предполагаем, что матрицуй можно привести к диа­

Wt = Gy (х, 0) W+ О( У 8 ) = ЙДО+ О (У 8).

Таким образом, (4.8) представляет собой возмущение линеаризованной системы (4.6). Поэтому мы рассматриваем системы вида

xt = со + е[ (х, у, г), yt = Qy + eg (х, у, 8),

где со — постоянный вектор, а Й — постоянная матрица, которую можно привести к диагональному виду. Конечно, f и g в системах (4.7)

соответствующее условно-периодическим решениям. Так как они растут линейно, они, конечно, не являются условно-периодическими в смысле нашего определения, но мы напоминаем, что хг, і = 1 , . . ., я, соответствуют угловым переменным. Поэтому мы будем говорить об условно-периодических решениях, если

5. Основная теорема

В этом параграфе мы будем применять к системе (4.9) различные преобразования координат. Условимся называть координаты нор­ мальными, если линеаризованные уравнения вида (4.6) имеют постоян­ ные коэффициенты. Так как коэффициенты линеаризованных уравне­ ний, соответствующих возмущенной системе (4.9), не постоянны, координаты х, у не являются нормальными.

Ставится задача найти условно-периодическое решение системы (4.9) с характеристическими числами а>и . . ., wn, ß j, . . ., ß m, такими же, как для решения невозмущенной системы (е == 0). Это строгое требование, и даже в случае периодических решений (я = 1 ) мы не можем ожидать, что (щ, ß j, . . ., ß m останутся постоянными. Поэто­ му путем введения некоторых параметров следует так видоизменить систему (4.9), чтобы можно было получить условно-периодические решения. Рассмотрим модифицированную систему

где X — постоянный я-мерный вектор, р •— постоянный яг-мерный вектор, а М — постоянная ( m X яг)-матрица. По причинам, которые позднее станут ясными, потребуем, чтобы

(ß * — оператор, сопряженный c ß , транспонированная и комплексно сопряженная матрица).

Наш основной результат состоит в том, что для данных f u g суще­ ствуют модифицирующие члены X, р, М, аналитические по е, обра­ щающиеся в нуль при е = 0 и удовлетворяющие (5.2), такие, что

X. Т ЕО РИ Я ВОЗМ УЩ ЕНИЙ У С ЛО В Н О -П ЕРИ О Д И Ч Е С К И Х Р Е Ш Е Н И Й 175

модифицированная система (5.1) имеет условно-периодические реше­ ния, аналитически зависящие от е и обладающие одинаковыми харак­ теристическими числами для всех е.

Чтобы более точно сформулировать этот результат, напомним, что характеристические числа ©ь . . ., соп, . . ., Qm определя­ лись только относительно нормальных координат. Поэтому приведен­ ное выше утверждение требует определения нормальных координат для возмущенной системы. Эти нормальные координаты 5, ц должны

е = 0. Первое уравнение в (5.3) представляет собой перепараметризацию координат на торе, ѵ (£, е) соответствует перемене положения

Теперь мы можем дать точную формулировку нашего результата..

Т е о р е м а . 'Рассмотрим систему (4.9), где со и Q удовлетворяют (4.11). Существуют единственные степенные ряды X (г), р (е), М (е), удовлетворяющие (5.2), такие, что модифицированная система (5.1) имеет условно-периодические решения с характеристическими числами, такими же, как у невозмущенного решения. Действительно, существует преобразование координат (5.3), аналитическое по £, т), е, которое переводит (5.1) в систему вида

Условно-периодические решения можно получить, подставляя в (5.3)

Чтобы сохранить выводы этой теоремы для первоначальной систе­ мы (4.9), мы должны исследовать те условия, при которых

Эти равенства представляют собой уравнения разветвления. Отметим, что они содержат другие параметры, естественные для данной задачи. Чтобы существовало достаточное количество параметров для выпол­ нения (5 .6), в конкретных примерах необходимы специальные огра­

ничения.

Не давая полного доказательства этой теоремы, мы сейчас пока­ жем только, что для X, р, М и и, V, V можно определить формальные степенные ряды по е, удовлетворяющие требованиям этой теоремы. Главной трудностью этого доказательства является доказательства сходимости, приведенное в [6].

и подставим их в (5.3). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 8, определим искомые коэффициенты. Остановимся на коэф­ фициенте при первой степени е; степени более высокого порядка рас­ сматриваются аналогично. Из (5.3) и (5.4) для ц = О получаем

Для членов разложений более высокого порядка получаем уравнения, отличающиеся от (5.10), (5.11), (5.12) только тем, что их правые части содержат дополнительные функции, зависящие от коэффициентов низших порядков.

Нужно показать, что дифференциальные уравнения в частных производных (5.10) — (5.12) допускают периодическое по £• решение при любом выборе правой части. С помощью почленного разложения этих уравнений в ряды Фурье (ср. (1.2)) можно показать, что такое решение существует. Условия (4.11) и (5.2) являются точными усло­ виями разрешимости этих уравнений. Подробности этих вычислений можно найти в [7]. В следующем параграфе этот вопрос рассматривает­ ся с другой точки зрения.

6. Уравнения разветвления

Если ввести некоторые понятия из дифференциальной геометрии, то можно дать более эффективное и изящное объяснение результатов, обсуждавшихся в § 5. Такой подход дает сжатое и ясное описание необходимого пространства параметров (задаваемого с помощью (5.2)) и показывает, когда такие параметры действительно имеются в кон­ кретной ситуации.

G дифференциальным уравнением