книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

При повороте на угол <р центр пружины перемещается по дуге ^ab, длина которой при малых углах поворота может

быть вычислена по формуле ^ab = <р-А.

С другой стороны известно, что поперечная деформация при действии поперечной силы R согласно (1.29) 'будет:

или

й/?я

Определяем отсюда Р и подставляем в уравнение изгибаю­ щего момента (1.іі79). Далее, используя полученное выраже­ ние и формулу (1.177), преобразуем уравнение (1.176), ре­ шая его относительно ср:

б) П о в о р о т н а я ж е с т к о с т ь

Особенностью расчета поворотных колебаний является тот факт, что при повороте закрепленного тела на некоторый Іугол пружины деформируются неодинаково* (одна из (них сжимается, а другая растягивается. В результате система оказывается нагруженной дополнительным моментом, про­ порциональным углу поворота, и жесткость системы увели­ чивается. Определим угловое перемещение Ѳ при действии момента Л4І13 в плоскости хоу (рис. 26).

Для этого воспользуемся уравнениями изгибающего мо­ мента и поперечной силы, которые при данном виде наг­ ружения упругой системы имеют вид:

79

возникающая в пружинах; при симметричном .расположении

где Спр — продольная жесткость пружин, лежащих по одну сторону от оси, относительно которой поворачивается тело и равная в данном случае

Граничные условия задачи, условия сопряжения в точке креп­ ления массы те же, что и (1.34).

Решая систему (1.184) совместно с граничными условия­ ми и выражением (1.185), получим для угла поворота в точке

Таким образом полученные выражения (1.183), (1.189) показывают, что жесткость системы зависит от расстояния h между пружинами и растет с увеличением этого расстоя­ ния.

В системах, в которых величина предварительного под­ жатая, а следовательно, начальной осевой силы незначитель­ на или вообще равна нулю, уравнение угла поворота в точ­ ке крепления груза запишется в виде

80

В формулах, связанных с лорут,ильными колебаниями, будут иметь место следующие поправки; поперечная дефор­ мация по дуге "'ab примет вид

2(Я3/192Внз+ Я 2/4 ВСд)

+ С,кр

§ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИВЕДЕННЫХ МАССЫ И МОМЕНТОВ' ИНЕРЦИИ ДЕТАЛЕЙ ВИБРОПИТАТЕЛЯ

Итак, мы располагаем всеми жесткостными коэффици­ ентами, связанными с продольными, поперечными, крутиль­ ными и поворотными деформациями.

Остановимся теперь на определении приведенной массы, входящей в уравнение (1.171). Эта масса должна учитывать кинетическую энергию упругих элементов. Характер возму­ щающих сил таков, что он обусловливает только:колебания, в процессе которых массы движутся в противоположных на­ правлениях. Поэтому, как известно из теории колебаний, су­ ществует узловое сечение упругого элемента, которое оста­ ется неподвижным и положение которого при продольных колебаниях приближенно может быть определено из равенст­ ва (рис. 25).

(1.195)

На Мг

но, т. к. масса пружины пропорциональна ее длине, то

Mnpyiltj Ма

(1.196)

МПруж2 Мг

При определении поправки к массе (активной или реак­ тивной), учитывающей инерцию распределенной массы пру­ жины, следует исходить из той части упругого элемента, ко­

сная система, соответствующая рнс. 25, может быть приведе­

Поэтому для определения перемещений в точках крепления масс можем воспользоваться уравнениями (1.65, 1.70), пе­ ренеся начало координат в узловую точку

Кроме того, !в рассматриваемой системе должны выпол­ няться условия

82

Используя при определении уг соотношение ЯГ= ЯХ—Я„ и решая (1.200) совместно с (1.198), получаем уравнение для расчета узлового сечения поперечных колебаний

В„3

Величина попіраівочиого (коэффициента к массе и моменту инерции тел при поперечных и поворотных колебаниях опре­ деляется на основе формул (1.66) ,и (1.70), но пределы ин­ тегрирования берутся от 0 до На или Я,. В результате по­ лучаем следующие выражения коэффициентов привидения:

83

. Прежде чем перейти к крутильным колебаниям обратим­ ся к формуле (1.194). Для пружин с круглым сечением про­ волоки это выражение принимает вид

D

.рое слагаемое при значениях— ^ 0,7 не превышает 0,1 и,

п

следовательно, может не учитываться при расчетах узлово­ го1сечения и коэффициента привидения полярного момента инерции. С учетом сказанного последние можем определить по формулам

84

§ 4. ПОДБОР ЖЕСТКОСТИ ПРУЖИН С УЧЕТОМ ПАРАЗИТНЫХ ЧАСТОТ

.При расчете вибраторов тіа паразитные колебания ос­ новная задача заключается в том, чтобы удалить рабочие частоты от паразитных. Для удовлетворения этим требова­ ниям следует составить отношения поперечных, поворотных и крутильных собственных частот к основным — продольным частотам, и использовать полученные соотношения для под­ бора таких параметров упругих элементов, которые обеспе­ чат заданное удаление основного резонанса от паразитных. •

Для получения этих отношений запишем предварительно выражения, соответствующие продольной, крутильной, по­ перечной и поворотной частотам. Согласно (1.14) и (1.16)

Коэффициент, связывающий продольную и крутильную резо­

Коэффициент, связывающий продольную и поперечную резонаионые частоты,

85

4P

(1.216)

Коэффициент, связывающий продольную и поворотную резонан­ сные частоты,

В системах, ів которых продольная сила равна нулю, фор­ мулы для определения продольной, крутильной, поперечной и .поворотной собственных частот, будут .иметь вид

§ 5. ПРАКТИЧЕСКИМ ПРИМЕР РАСЧЕТА И ЕГО ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА

Полученные формулы и соотношения используем для расчета серийного электровибропитателя ПЭВ-4 с электро­ магнитным вибратором С-920, выпускаемого цхинвальским заводам «.Вибромашина». .Приведем характеристики электро­ магнитного вибратора С-920 по каталогу.

86

Параметры упругой системы: средний диаметр D =10,3 см, диаметр проволоки d = 2,5 ом, высота одной пружины Н0 =

В10W H 10в-2,54- 12,1 = 312000 кг см2;

см

кг сек-1

жин, относящаяся к реактивной массе—14,15/g

см Полная активная масса, с учетом поправки на массу

упругих элементов при продольных колебаниях, будет

ДМа)Л вычислялась по формуле (1.197).

Итак, приведенная масса системы для расчета продольных колебаний

25 кг сек2 ■Мпрод------

g СМ

87

При поперечных колебаниях узловое сечение определяем по формуле (1.201)

312000

1 + 48

27000-24,22 30,3/85,4

1-30,3/85,4

икроме того На-\-Нг = Нг отсюда # а= 5 см; Нг = 7,1 см. Учитывая, что

Для расчета крутильных и поворотных колебаний в плоскостях yoz, хоу, xoz необходимо . знать момент инерции относительно осей хх, zz и уу.

Момент инерции активной и реактивной массы опреде­ лялся экспериментально [34] методом маятниковых колеба­ ний. Для этого каждое из тел подвешивалось на неподвиж­ ной оси таким образом, что оно могло свободно качаться под действием собственного веса без большого трения. По­ вернув тело вокруг оси подвеса на (5ч-8)°, выводим его из равновесия и затем отпускаем :без начальной скорости. Се­ кундомером замеряется продолжительность 100 колебаний,

88