книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

I

участок

— У"млРюх = #лл:і+ ^ >(і/м1_Н/сд1)—M i-,

(1-75)

y<ML Bzs.l = RA+ PУMj_•

II

участок

Ум2 Виз2 = Явх ~Ъ-Р(Ум2“Ь^сд2)—М 2\

(1-76)

но I и II участков.

' „ M,+SH2- M 2

п M z+SH i-M ,

Ra= —------------- -

и ң в —— -------1----- L —реакции в опорах

Я

Я

А и В;

•ч I

гг

^Ч1

^*^Р2

(1.77)

Х14-Х2= /пЯ0;

— =

с,пр.

Обозначим

Хп

kl-

Р

1 +

k l - - цР / 1+

Р

(1.78)

B«

Вс

\

D

&

°1

~ѵмі /

—“*2

и решаем

уравнения

(1.75)

и

(1.76);

получаем

1

.

. г

1 .

,

Mx+SHv—Ah,

.

Умх = - £

А

sin « Л -

—

А

cos kxxx-

- І — ^ ----- - Хг+ А я;

HP

(1.79)

Мг 4- 5Я 2— /И, *1+

УСДХ

- ß —

(—

А sin kxxx

ЯВся.

сді

VК

— — Л2cos kxxx— —1

------- хх +

Л3] + ЛА;

(1.80)

1 т

.

,

1

—

« 2x a -

Умп — — A

s m k2x2— —

2Л c o s

ft2

А

m 2 +

-

s h - m xv l T .

(1.81)

1

ЯР

Ло "i An,

J

3

- J - X2 cos V a - Ma +

Ml *a+ ^

+ V

(1-82)

/to

/ 7 1

J

( У м х ) х х= 0 =

8>

І У м о ) х о = 0 =

^>

(і/ м 1 ) а-1= 0 ==0>

(і / л(2 )ло= 0 =

(1.83)

(!/« ]_ )а' і = 0 =

O’ (Уся2 )х 2= 0 ~ ® ’ [А І(д,'1)]а.і _

о := Л 1 1, [Л4(.ѵ2)] А2_ о~ А 1 2,

согласно которым

мх

JTL-i

_M 4 +

SH2— Af2.

А —

Л*і .

Л —

— —

■

1

* >

HP

л

2

Ѵ иэх ’

л 3

В>ІЗХ

(1.84)

T

M2 +

SH1- M 1 .

м 2 .

IT

М2 .

л"

х - о .

1

HP

^2ß»32 ’

;

л 2

и1г

Щ В\І32

Моменты

Мг и /И2

отгріеделяются из

условий

совмест­

ности

деформаций ©

точке

сопряжения первого и

второго

участков:

^Уі)хх~Нх = ІУ2Іхг=Н.,'

ІУм1)хі=Н1= (Ум2)х2=Нпі

(1.85)

■которые

дают

систему

уравнений

относительно Мг и М 2.

( щ ^ sin

ш

cos к,Н ' + ш

cos k' H ' ) +

+м ‘ ( -ң р a*W i+

ш

c°sKH,+ J - J - sin*A ) =

HP

2^1,32

= —

fl — — cos kxH,— —

cos £2Я, I ;

P

\

H

1 1

Я

2 - 1

AI,

f-c o s k1H1+

Л Дизі

sin kxHx+

HP

sin 62Я 2) -f

V

HP

1 1

)

-f M2 I

sjn kxHx—

HP

sin k2H2-}- cos k2H^\ =

—S

Я , sin k2H 2

H 2 sin

(1 .86)

M -

Щ

1 д? , 4

1 я3

-

я’

U

1

бЯЯиз,

12ЯН31

1 яяСдх

1 ЯЯсд2

6ЯЯ„32У) 1

'

я3

4

я3

4

1

у

+м8(^бЯДиз,

2Янз2

нвсч

ЯЯсд,

б Я Д ^

9

(

Н ' Н * I

Н ' Н * I

+ 6ЯЯ„3і

ЯБсд,

\ .

V

6ЯВ„з3 +

ЯБсд,

J

’

/VI,

я,

я?

я?

+ Мг

н\

щ

Яиз,

2ЯЯІІЗі +

2ЯД

2ЯЯнз,

2ЯЯ

Я2 \ _

/ Я,Я;

Н\Н2

(1.89)

В„з2 J

I 2Я 7Ц ^ 2НВ„3

После определения М, и /И2 из системы

(1.86)

или (1.89)'

из выражений (1.79 — 1.80)

или (1.87—1.88)

определяются про­

гиб и угол поворота в точке крепления массы.

При действии

продольной

силы эти величины равны:

(Яі).ѵ =//, =

M1-I-SH2- M 2

Ь О р - sin ^ Я .-Я ,'

HP

Ml (coskxHx—1);

(1.90)

p

M x

^ — ІУ'іА)х= Н1 — ~й~й ---- Sil1

1

K\&113^

M i

4- S H 2- M

2 (cos kxHx—1).

(1.91)

H P

При ее отсутствии

M X+ S H 0- M 2 ( H x

H \

М1 я*.

(1.92)

(Уі)л-=Я1=

Н

Вс

6В,I

в ПЗ^ 2

Н.

(ЯМі + Я 2М1- Я 1/И3- 5 Я 1Я3).

(1.93)

Ѳ= (^ і )= _2

Умх^>«х

— Мі +7?ла'і —

(1.94)

—

= Рл~рВ(~~уМі);

II

участок

Улі25 нз2 = Й4.2-|-Rbx'a

(1.95)

—Усдд^сд., = Я 5+Я( —г/діа),

где

о с

Миз- М 1- М а

Кв

поворота

на І и

II участках

Уi s

Л'1+ 11 + -ТГ -) { -

^ Аі cos k^ +

= - —

в.

+

1

sin kxxx-]-

Мт- М 1- М Ъх^

+AJ

(1.96)

— А,

К

H P

Ѳх = у'Мг ~ А \ sin klXl+ A 2cos К х г+ М™ А - 2;

(1.98)

ГІГ

„ - X ■ , , Т

г , Мнз — М ,— AL

(1.99)

%=Ум9 = Аі sin Лал:2+ Л

2 cos /г2л'о - f ------ —-±----- •

2

HP

A4„з— Мх— М 2

х\

Мх

х\

Уі=~

НВи

— 4-

Риз,

2

6

+

■ °СД1

*і +

Л3*,+ Л 4;

( 1. 100)

/И„з- М ,— М 2

хі ,

М2

хі ,

Уъ— ---------------- 5--------------- —

т

5

— +

в нз0

Риз,

2

Миз- М ,-

AL

,

Т-

, Т .

( 1. 101)

H -------------

Р с д 2

*Ѵ2”гЛзЛ2

^4>

Ѳх= •

Mx

м,

1

-1-Л •

( 1. 102)

V

-1—

ЯР„

Я . З , Л 1

1

■у + 4’

Ѳ2 =

м2

м,

+ At>

(1.103)

Виз2■ Х 2 - р

ЯР„

М.

*

sin /г,Я,-(-

cos kxHx— -J_

cos k2H2 \ -f-

1 1

kx Bm

pH

^

PH

+ M 2 (

cos &,Я,— -І— cos k2H%-

1

s[nk9H21=

К B,

PH

PH

2^нз,

= M„3 I cos /г.Я, — - 1—cos k9Hn 1 ;

VPH

1

PH

“

(1.104)

AL

kl B"l±. sin kxHx+ .

sin /г,Я ,-

cos kxHx\ -

РЯ

РЯ

-M2 [

sin £ ,Я ,+

A 5ü!2- sin £аЯ , - cos k9H9) =

РЯ

PH

" “

--А4ИЗ ' kxB,иг

sin

ЯЯ

sinЙ2Я2- 11 .

я,

ЯЯ

Я?

+

^

W

~

Я,

+

м X Д,

2ЯД,

2ЯД,

Ян

2ЯД,зо /

+

я;

= м„

я;

я?

2ЯД,

2ЯД,

2ЯЯ„

Яг

Я?

Я?

я2

я?_\

ЯД,

+ 2Д,

6ЯЯН +

ЯЯедз

6яяИЗаJ+

а д

Яг

я?

+

и

, я;

Я? \

яд

6ЯЯ„

НВ'СД2

■и2Д,з2

6ЯЯ„з3 j

= м

я.

я*

Яг

Я?

(1.105)

Ясл

Я

6ЯЯ„

+ ■

6Д,з. Я

AW,}

я в с

'

При растягивающей силе,

Р—заменяется на

(—Р), а коэффи­

Мх

м т—м х—м ъ

уНі= - ^ ( і- « * а д ) +

PH

X

я ,-

Д1 UH3в. .. sin k^H-A ;

(1.106)

Мг

sin ДЯГ

А4„3

A4^—A42

(cos kxHx—1).

(1.107)

Ѳ=- т

Д

PH

'С1

При отсутствии осевой силы

А41+ 5 Я 1-А42 ( Я,

Щ ■ Мг Я],

(1.108)

Ун-L—

Я

Я с

6Я у ЯСДі 2

Яг

(1.109)

— 2НВ— (А4ИЗЯ1+/И,Я 2-ЬА42ЯL—5ЯгЯ2).

б)

Пр и бл .и ж ен н о е р е ш е н и е'

где

и fo—перемещения в точке приложения

силы.

Аналогичные выражения имеем для правого участка, но

вместо Иг подставляем Я3,

Определив потенциальную энергию деформированной ocaj

и работу внешних сил и приравняв вариации

по qx и q%, по­

лучаем

Sfl+P/Bn) .

•

S

Qi-

(1.113)

h

Qi----j—>

где

*2

f _ R

3 (l-2 ? 1+ 4?2)

9 ( 1 - 2 ? 1

+

т

?

\

-

'

3

. ,

1 Ml

НѴЛ 1 - 8)2

^

1132

я 88 ( і - 8)3

+

+

Вся.

P V

-P

f

1+2-

P

. 9 | - 4 - 3 8 + 2 g

в,

F

І Ш Щ Т Ч і Г

Be

в СД2

p

'

2P

9

8 + 2 8

+

В

- P f

1

ß c

(1.114)

-’ад.

“ I S f l g R T ’

БсД1 +

_ _ В с Д 2

(1.115)

# 8

Я( 1 - 8 )

Полный прогиб ів точке приложения

силы

S

Л

,

Р

V

, 5

(1.116)

/

Ч

1 Рсд

)

+ Т

‘

U1

/

Умг 1

<7i

Я

■9 — + 3

(1 — —

(U17)-

2ЙЯ (1 - ^ )

Я2

Я2 \

U m 1 )x - H 1

3

S(l+P/5c4 ) ( l - 2 y

(1.118)

2

Я / ^ l - ë x )

При нагружении

упругой системы согласно

схеме рис.

формация

левого участка

Ум± —

ѲЯ

—

+ (1-- 3 g ) _ ;

(1.119)

я 3

1

Я3 _

У с д 1 = =Ѳ.\',

(1.120)

где

Ѳѵ Ѳ.,— углы поворота и сдвига в точке крепления тела.

Заменяя в (1.119—1.120)

Н1 на Я2, получим деформа­

ции

участка

лежащего справа от момента

Ум,

-

п

ѲЯ

+2

+ ( 1 - 3 с ,) _

( 1. 121)

3

2ga(l- 3 g a+3§ä) L ’“ Я3

Я2

Уо2

Вг

Ум,.

( 1. 122)

Приравнивая изіменение потенциальной анергии системы

приращению работы внешних моментов по

параметрам Ѳх и

Ѳ2,

получаем

Ѳ=ѲХ 1 +

5 С

-f Ѳ2= Л/1]і

1 + P /ß c

1

(1.123)

/ я

J4

где

'3

1 2 ^ -1 8 ^ + 1 5 ^ -6 ? i+ l .

I , —B„

Я ^ І - З ^ + З ©

12gj-30g+ 33g2— 18£г+ 4

ИЭз

Я(1- & ) ( ! - 3 ^ +

3©*

5c

Всд.

1 + 2

p

ЗОЯ?2(54^— 135g + 1 3 5 8 -6 0 ^ + 1 0 )

- P

5c

( І - Зс ^+З © 2

+

2

I

р

+

в сд..

Вс

Р (1 +

2.

X

Всд1 ■-1

30Я (1 - ег) (54§{-8 1 ^ + 5 4 ^ -2 4 ^ + 4 )

(1.124)

X

(1 —35i+3g)a

/ 1 = Вс.1Я5х + 5 ЧаЯ (1 -5 1).

(1.125)

Поперечный прогиб в точке л = Я 1

будет

Унг — Миз

(1 +piBch m

L(2е - з £ х+ 1)

н ь

(1.126)

/ 3-2(зеі—з ^ + і )

/ 4 .

§ 8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА

Пример

I. Упругая система

симметрична.

Вес груза

S =0,514

кг,

диаметр

и толщина

соответственно

равны:

D —8,2

см;

6=1,3 см. Момент инерции груза

относительно оси

уу:

г

S

£>гр

0,514

8,2а

ппоо

кг

„ .

Число вит-

/ = ----- і*_ = .-------

——

= 0,0022

см сек2.

g

16

g

16

ков пружин іг= і 2=4,1;

длина каждой

из них

Я1= Я 2=53

мм.

Средний диаметр пружин D=37,6

мм,

диаметр проволоки d=

= 3,5

мм,

отношение

н

вес пружин 5=0,08

кг.

От­

—2- = 2,83;

Яі =

H°^s =0,0592 — ,

1925

кг

где /|=1.339 (согласно

таблице 4),

а 5 НЗо =140,5 кг см2.

0 ^19

ѵг

Мпоп =

Итак получаем ^=16,94 — ; ш = 28 гц.

g

см

раметров системы. ßa=2,998, поэтому

/2=1,41,

0 = 28,8

гц.

Расчет частоты поворотных

колебаний

осуществлялся по фор-

муле (1.21). При этом

согласно

(1.53) Ві =

Ң

—. ~ — fh =

= 0,0069—1—, в которой по данным

таблицы 5 /м —1,46;

сле-

кг см

тсм А/

будет: /s= 0,00222 кг см сек2, а искомая частота о =

= 40,8

гц.

лице 7, (стр. 51)

в которой линейные размерности выражены

в см, а весовые

в кг. Сопоставление расчетных и опытных

п -- ----- 1

-Ö4

-0,1

0

0,2

Рис.

9