книги из ГПНТБ / Колебания и устойчивость упругих систем машин и приборов

численных работах не учтены инерция вращения и одвдг се­ чений балок.

Несимметричные системы, в которых упругие элементы обладают различными геометрическими и жесткостнымзд ха­ рактеристиками, рассмотрены в работах [30, 31]; рассматри­ ваются колебания свободно опертой балки с несимметрич­ ным креплением массы и отмечается важность рассмотре­ ния нелинейной системы с неидентнчнымп пружинами.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ЗАКРЕПЛЕННОГО МЕЖДУ ПРУЖИНАМИ

§ 1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА В СЛУЧАЕ ОДИНАКОВЫХ ЖЕСТКОСТЕЙ ПРУЖИН

Система состоит из двух 'цилиндрических пружин и за­ крепленного между ними твердого тела (рис. 6, 7). .Пружи­ ны обладают одинаковыми жеетностными и геометрическими характеристикам,и; масса пружины значительно меньше мас­ сы закрепленного тела и может быть учтена с различной степенью точности, т. е. приближенно или точно. Связь пружин с опорами осуществляется .обычно посредством сил

трения, возникающих между торцами и опорами при предва­ рительном осевом поджатии пружин. В продольном направ­

лении действует возмущающая сила Q—Q0F(t), где F(t)~ закон возмущения продольных колебаний, а Q0—амплитуда.

(Учет особенностей пружинных элементов и погрешнос­ тей их изготовления и монтажа, объясняет появление ряда паразитных колебаний, таких, как поперечные, поворотные и крутильные колебания тела. Основными причинами, івызы-

19

івающими появление паразитных вибраций являются следую­

леблется согласно допускам на изготовление пружин в пре­ делах 0,5—1,5 мм для 1—3 классов точности [40]. По новым

техническим требованиям [47] этот допуск значительно рас­ ширен и величина е] выросла до (0,02-4-0,08)Я0. Это обсто­ ятельство будет способствовать значительной интенсификации паразитных колебаний при резонансных частотах. Данные о погрешностях, полученные при контрольной проверке пружин серийных электровіибрационных машин, приводятся в таб­ лице 3;

б) нецентральная передача продольной силы Р, происх дящая из-за неточностей установки прикрепленного тела по отношению к оси пружины. Если гнезда под пружины расто­ чены по 5 классу точности (например Л5/Х5), то отклонения диаметра витка составляют ± 2%, а для диаметра £)=(40-4- -4-80) мм максимально возможное значение эксцентриситета

20

Кроме тото, 'В 'опорном витке .всегда имеет место эксцен­ тричное приложение осевой сжимающей силы с плечом, зави­ сящим от обработки опорных витков и опорной поверхности [1]. Равнодействующая сжимающей нагрузки у шлифован­ ных витков отстоит от оси пружины приблизительно на 0,05

пружины мал (^0,1 Н), а форма упругой оси не особенно отличается от прямолинейной. Это дает возможность принять

дольной силой и -соответствующим крутящим моментом и вы­ ражаемой формулой:

DPp\LS\n2ct

4(1+ р sin2 а)

Система пружин с одинаковой навивкой обеспечивает меньшее значение возімущающего крутящего момента, кото­ рый является в овою очередь источником появления паразит­ ных колебаний.

§ 2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАЗИТНЫХ КОЛЕБАНИИ

Для описания собственных продолы-ю-крутлыно-попереч- -ко-поворотных колебаний упругой системы воспользуемся уравнениями Лагранжа

(1.3)

21

Составим выражения потенциальной энергии; при нагру­ жении пружины поперечной силой и сосредоточенным изгиба­ ющим моментом соответствующие перемещения равны

щими перемещение или поворот в точке крепления тела от

Аналогичная связь существует между продольными и крутильными перемещениями; величина продольной силы н крутящего 'момента выражается соотношениями

Следовательно, потенциальная энергия упругой системы при продольно-мрутильно-поперечно-поворотных перемещени­ ях запишется в азиде

Обобщенные силы с учетом всех перечисленных в гл. I. и. I. § I возмущающих сил и моментов будут

<г„=едО ; Q ^ K 3K3y2F2{ty,

( 1. 10)

Qe= K 2y2eF2{t),

где

22

Ki = Qo sin ß0;

ß0 — угол передачи возмущающего усилия, т. е. угол между юсыо пружины и возмущающим усилием Q.

Подставляя полученные соотношения в уравнения Лаг­ ранжа, получаем систему дифференциальных уравнений .[15]

M x + ( a i X - М = K ^ + K ^ i t y ,

Бели возмущение подается в поперечном направлении и основными рабочими колебаниями являются поперечные, то неперпендикуляріность Осп пружин к опорной поверхности дает возмущающей силе продольную составляющую, а рас­ порное усилие, связанное с поперечными 'Колебаниями, обус­ ловливает .появление периодических изгибающих и крутящих моментов. Учитывая вышесказанное, система дифференци­ альных уравнений при поперечном возмущении примет вид:

Mx+(alx —b1y) = KiF(t)+K2y2F2(t);

М у + ^ у —dß) = K ^ i t );

I ß + ( d ß - d 3y) = K 2ey2F2(t).

§ 3. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

а) П р о д о л ь н о-к р у т и л ь н ы е к о л е б а н и я

При малых отклонениях тела от положения статическо­ го равновесия нелинейные связи выражены слабо и поэтому могут не учитываться. При этом системе (1.11) распадается на две самостоятельные системы, одна из которых

Mx+{a1x — bl(p)= KiF(t),

описывает продолы-го-крутильиые колебания тела.

23

В уравнениях (1, 13) коэффициенты av, bx, я2 характе­ ризуют продольную и крутильную жесткости и на основании

24

Если в упругой системе тело закреплено симметрично и жесткости пружин равны, то ів этом случае при поперечных перемещениях тела будут отсутствовать угловые, а при уг­ ловых перемещениях не будет поперечных, поэтому D2=DS = О и система (1.17) распаяется па два самостоятельных урав­ нения

которые дают следующие парциальные частоты поперечных и поворотных 'колебаний тела

^ П С

Ж '

§4. ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДИНАКОВЫМИ ПРУЖИНАМИ

ответствует статическому прогибу системы от единичной по­ перечной силы S (рис. 6).

Общую деформацию системы следует рассматривать как

где Ra = (Mx-{-SH/2-{-M2)/H—реакция в опоре А,

в2ЕІН

7іШ(2+р,)

Моменты в заделке Мг и М2, ввиду симметрии упругой

3

системы, равны между собой и реакции RÄ = RB = — ■

25

Обозначая

дифференцируя второе уравнение системы (1.22) и подстав­ ляя в первое, получим решение уравнений (1.22) в виде

Постоянные Л^ ...,Л 4 и момент М 1 определяются из усло­ вий на границах и в точке крепления тела

(Улдх^о — (і/сд).ѵ=о— (УлЛѵ=о—

M x= SkB„3{1 — cos kH/2) 2P sin kH/2

Итак, учитывая направление координат для положитель­ ных значений у, получаем

ляя х = Я /2, получим выражение для Dy.

вместо Р следует подставить (—Р), а коэффициент k заменить на k*j, причем

26

(1.30)

тогда указанные выражения принимают вид:

-отсюда

27

§ 5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЖЕСТКОСТИ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ С ОДИНАКОВЫМИ ПРУЖИНАМИ

а) П о п е р е ч н а я ж е с т к о с т ь

Выражения Dx и Z)4 могут быть получены и прибли­ женным методом Ріитца—Тимошенко. При этом предполага­ ется, что форма упругой оси, соответствующая изгибу от по­ перечной силы S для случая жесткого крепления -концов, описывается функцией статической формы деформированной пружины (рис. 6)

где ^ —перемещение в точке крепления тела. Полный прогиб от изгиба и сдвига витка

где q3. — сдвиговая деформация пружины в точке креп­ ления тела. Определяя потенциальную энергию изгиба -и сдвига, а также работу внешних сил и приравнивая далее вариации по qx и q3 потенциальной энергии системы и ра­ боты внешних сил, окончательно полудням:

Объединив выражения, получим формулу полного ста­ тического прогиба в точке х —Й/2:

28